Тензор убийства

В математике тензор Киллинга или тензорное поле Киллинга является обобщением вектора Киллинга для симметричных тензорных полей вместо просто векторных полей . Это понятие в римановой и псевдоримановой геометрии и в основном используется в общей теории относительности . Тензоры Киллинга удовлетворяют уравнению, аналогичному уравнению Киллинга для векторов Киллинга. Как и векторы Киллинга, каждый тензор Киллинга соответствует величине, которая сохраняется вдоль геодезических . Однако, в отличие от векторов Киллинга, которые связаны с симметриями ( изометриями ) многообразия , тензоры Киллинга обычно не имеют такой прямой геометрической интерпретации. Тензоры Киллинга названы в честь Вильгельма Киллинга .

Определение и свойства

В следующем определении скобки вокруг индексов тензора являются обозначением симметризации. Например:

${\displaystyle T_{(\alpha \beta \gamma )}={\frac {1}{6}}(T_{\alpha \beta \gamma }+T_{\alpha \gamma \beta }+T_{\beta \alpha \gamma }+T_{\beta \gamma \alpha }+T_{\gamma \alpha \beta }+T_{\gamma \beta \alpha })}$

Определение

Тензор Киллинга — это тензорное поле (некоторого порядка m ) на (псевдо)римановом многообразии , которое симметрично (то есть ) и удовлетворяет: ^{[1] [2]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}=K_{(\beta _{1}\cdots \beta _{m})}}$

${\displaystyle \nabla _{(\alpha }K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}=0}$

Это уравнение является обобщением уравнения Киллинга для векторов Киллинга :

${\displaystyle \nabla _{(\alpha }K_{\beta )}={\frac {1}{2}}(\nabla _{\alpha }K_{\beta }+\nabla _{\beta }K_{\alpha })=0}$

Характеристики

Векторы Киллинга являются частным случаем тензоров Киллинга. Другим простым примером тензора Киллинга является сам метрический тензор . Линейная комбинация тензоров Киллинга является тензором Киллинга. Симметричное произведение тензоров Киллинга также является тензором Киллинга; то есть, если и являются тензорами Киллинга, то также является тензором Киллинга. ^[1] ${\displaystyle S_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{l}}}$ ${\displaystyle T_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$ ${\displaystyle S_{(\alpha _{1}\cdots \alpha _{l}}T_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}}$

Каждый тензор Киллинга соответствует константе движения на геодезических . Более конкретно, для каждой геодезической с касательным вектором величина постоянна вдоль геодезической. ^{[1] [2]} ${\displaystyle u^{\alpha }}$ ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}u^{\beta _{1}}\cdots u^{\beta _{m}}}$

Примеры

Поскольку тензоры Киллинга являются обобщением векторов Киллинга, примеры в разделе Killing vector field § Examples также являются примерами тензоров Киллинга. Следующие примеры фокусируются на тензорах Киллинга, которые не просто получены из векторов Киллинга.

Метрика FLRW

Метрика Фридмана –Леметра–Робертсона–Уокера , широко используемая в космологии , имеет пространственноподобные векторы Киллинга, соответствующие ее пространственным симметриям, в частности вращениям вокруг произвольных осей и в плоском случае для трансляций вдоль , , и . Она также имеет тензор Киллинга ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle K_{\mu \nu }=a^{2}(g_{\mu \nu }+U_{\mu }U_{\nu })}$

где a — масштабный коэффициент , — базисный вектор t -координаты, и используется соглашение о сигнатуре −+++ . ^[3] ${\displaystyle U^{\mu }=(1,0,0,0)}$

метрика Керра

Метрика Керра , описывающая вращающуюся черную дыру, имеет два независимых вектора Киллинга. Один вектор Киллинга соответствует симметрии временного переноса метрики, а другой — осевой симметрии относительно оси вращения. Кроме того, как показали Уокер и Пенроуз (1970), существует нетривиальный тензор Киллинга второго порядка. ^{[4] [5] [6]} Константа движения, соответствующая этому тензору Киллинга, называется константой Картера .

Тензор Киллинга–Яно

Антисимметричный тензор порядка p , , является тензором Киллинга–Яно fr:Tenseur de Killing-Yano , если он удовлетворяет уравнению ${\displaystyle f_{a_{1}a_{2}...a_{p}}}$

${\displaystyle \nabla _{b}f_{ca_{2}...a_{p}}+\nabla _{c}f_{ba_{2}...a_{p}}=0\,}$.

Хотя он также является обобщением вектора Киллинга , он отличается от обычного тензора Киллинга тем, что ковариантная производная свернута только с одним индексом тензора.

Конформный тензор Киллинга

Конформные тензоры Киллинга являются обобщением тензоров Киллинга и конформных векторов Киллинга . Конформный тензор Киллинга — это тензорное поле (некоторого порядка m ), которое является симметричным и удовлетворяет ^[4] ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \nabla _{(\alpha }K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}=k_{(\beta _{1}\cdots \beta _{m-1}}g_{\beta _{m}\alpha )}}$

для некоторого симметричного тензорного поля . Это обобщает уравнение для конформных векторов Киллинга, которое утверждает, что ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \nabla _{\alpha }K_{\beta }+\nabla _{\beta }K_{\alpha }=\lambda g_{\alpha \beta }}$

для некоторого скалярного поля . ${\displaystyle \lambda }$

Каждый конформный тензор Киллинга соответствует константе движения вдоль нулевых геодезических . Более конкретно, для каждой нулевой геодезической с касательным вектором , величина постоянна вдоль геодезической. ^[4] ${\displaystyle v^{\alpha }}$ ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}v^{\beta _{1}}\cdots v^{\beta _{m}}}$

Свойство быть конформным тензором Киллинга сохраняется при конформных преобразованиях в следующем смысле. Если является конформным тензором Киллинга относительно метрики , то является конформным тензором Киллинга относительно конформно эквивалентной метрики , для всех положительных значений . ^[7] ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}=u^{m}K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}_{\alpha \beta }=ug_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle u}$

Смотрите также

• Форма убийства
• Уничтожение векторного поля
• Вильгельм Киллинг

Ссылки

1. Carroll 2003, стр. 136–137
2. Wald 1984, стр. 444
3. Кэрролл 2003, стр. 344
4. Уокер, Мартин; Пенроуз, Роджер (1970), «О квадратичных первых интегралах геодезических уравнений для пространств-времен типа {22}» (PDF) , Сообщения по математической физике , 18 (4): 265–274, doi :10.1007/BF01649445, S2CID  123355453
5. Кэрролл 2003, стр. 262–263
6. Вальд 1984, стр. 321
7. Даирбеков, Н.С.; Шарафутдинов, ВА (2011), «О конформно-киллинговых симметричных тензорных полях на римановых многообразиях», Сибирские достижения математики , 21 : 1–41, arXiv : 1103.3637 , doi : 10.3103/S1055134411010019

• Кэрролл, Шон (2003), Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности , ISBN 0-8053-8732-3
• Уолд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности , Чикаго: Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-87033-2