Координаты Эддингтона – Финкельштейна

В общей теории относительности координаты Эддингтона-Финкельштейна представляют собой пару систем координат для геометрии Шварцшильда (например, сферически симметричной черной дыры ), которые адаптированы к радиальным нулевым геодезическим . Нулевые геодезические — это мировые линии фотонов ; радиальные - это те, которые движутся прямо к центральной массе или от нее. Они названы в честь Артура Стэнли Эддингтона ^[1] и Дэвида Финкельштейна . ^[2] Хотя они, похоже, вдохновили эту идею, ни один из них никогда не записывал эти координаты или метрику в этих координатах. Роджер Пенроуз ^[3], кажется, был первым, кто записал нулевую форму, но приписывает ее вышеупомянутой статье Финкельштейна, а в своем эссе на премию Адамса позже в том же году - Эддингтону и Финкельштейну. Наибольшее влияние оказали Миснер, Торн и Уилер в своей книге «Гравитация» ссылаясь на нулевые координаты под этим именем.

В этих системах координат движущиеся наружу (внутри) радиальные лучи света (каждый из которых следует по нулевой геодезической) определяют поверхности постоянного «времени», тогда как радиальная координата является обычной координатой площади, так что поверхности симметрии вращения имеют площадь 4 π р ² . Одним из преимуществ этой системы координат является то, что она показывает, что кажущаяся сингулярность на радиусе Шварцшильда является всего лишь координатной сингулярностью , а не истинной физической сингулярностью. Хотя этот факт был признан Финкельштейном, он не был признан (или, по крайней мере, не прокомментирован) Эддингтоном, основной целью которого было сравнение и противопоставление сферически-симметричных решений в теории гравитации Уайтхеда и версии теории относительности Эйнштейна.

Метрика Шварцшильда

Решение Шварцшильда в координатах Шварцшильда с подавлением двух пространственных измерений, оставлением только времени t и расстояния от центра r . Красным показаны входящие нулевые геодезические. Синим цветом выделены нулевые геодезические. Зелёным обозначены нулевые световые конусы, по границам которых движется свет, а внутри конусов движутся массивные объекты.

Координаты Шварцшильда — , и в этих координатах хорошо известна метрика Шварцшильда: ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$

где

${\displaystyle d\Omega ^{2}\equiv d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.}$

— стандартная риманова метрика единичной 2-сферы.

Обратите внимание, что здесь используются соглашения о метрической сигнатуре (− + + +) и натуральных единицах , где c = 1 — безразмерная скорость света, G — гравитационная постоянная , а M — характерная масса геометрии Шварцшильда.

Координата черепахи

Координаты Эддингтона-Финкельштейна основаны на координате черепахи — имени, которое происходит от одного из парадоксов Зенона Элейского о воображаемой гонке между «быстроногим» Ахиллесом и черепахой .

Координата черепахи определяется: ${\displaystyle r^{*}}$

${\displaystyle r^{*}=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|.}$

чтобы удовлетворить:

${\displaystyle {\frac {dr^{*}}{dr}}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}.}$

Координата черепахи приближается по мере приближения к радиусу Шварцшильда . ${\displaystyle r^{*}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2GM}$

Когда какой-либо зонд (например, луч света или наблюдатель) приближается к горизонту событий черной дыры, его временная координата Шварцшильда становится бесконечной. Исходящие нулевые лучи в этой системе координат имеют бесконечное изменение t при выходе из горизонта. Координата черепахи должна расти до бесконечности с соответствующей скоростью, чтобы компенсировать это сингулярное поведение в системах координат, построенных на ее основе.

Увеличение временной координаты до бесконечности по мере приближения к горизонту событий является причиной того, что информация никогда не может быть получена обратно от любого зонда, отправленного через такой горизонт событий. И это несмотря на то, что сам зонд тем не менее может путешествовать за горизонт. Именно поэтому метрика пространства-времени черной дыры, выраженная в координатах Шварцшильда, становится сингулярной на горизонте – и, таким образом, не может полностью отразить траекторию падающего зонда.

Метрика

Входные координаты Эддингтона – Финкельштейна получаются заменой координаты t новой координатой . В этих координатах метрику Шварцшильда можно записать как ${\displaystyle v=t+r^{*}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}.}$

где снова стандартная риманова метрика на 2-сфере единичного радиуса. ${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$

Аналогично, исходящие координаты Эддингтона – Финкельштейна получаются путем замены t нулевой координатой . Тогда метрика определяется выражением ${\displaystyle u=t-r^{*}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}.}$

В обеих этих системах координат метрика явно невырождена на радиусе Шварцшильда (хотя на этом радиусе одна компонента обращается в нуль, определитель метрики все равно не обращается в нуль, и обратная метрика не имеет членов, которые там расходятся).

Обратите внимание, что для радиальных нулевых лучей v=const или =const или, что эквивалентно, =const или u=const, мы имеем, что dv/dr и du/dr приближаются к 0 и ±2 при больших r , а не к ±1, как можно было бы ожидать, если бы рассматривать u или v как «время». При построении диаграмм Эддингтона-Финкельштейна поверхности с постоянными u или v обычно изображаются в виде конусов, а линии с постоянными u или v изображаются наклоненными под углом 45 градусов, а не плоскостями (см., например, блок 31.2 MTW ). Некоторые источники вместо этого принимают , что соответствует плоским поверхностям на таких диаграммах. При этом метрика становится ${\displaystyle v-2r^{*}}$ ${\displaystyle u+2r^{*}}$ ${\displaystyle t'=t\pm (r^{*}-r)\,}$ ${\displaystyle t'}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dt'^{2}\pm {\frac {4GM}{r}}\,dt'\,dr+\left(1+{\frac {2GM}{r}}\right)\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}=(-dt'^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2})+{\frac {2GM}{r}}(dt'\pm dr)^{2}}$

что в целом соответствует Минковскому r . (Это были координатное время и метрика, которые Эддингтон и Финкельштейн представили в своих статьях.)

Это график световых конусов координат vr , где ось r представляет собой наклонную прямую линию, наклоненную вверх влево. Синяя линия — пример одной из линий константы v . На графике показаны световые конусы при различных значениях r . Зеленые линии — это различные постоянные линии. Обратите внимание, что они приближаются к r=2GM асимптотически. В этих координатах горизонт — это горизонт черной дыры (ничего не может выйти). Диаграмма ваших координат — это та же самая диаграмма, перевернутая вверх дном, в которой u и v поменяны местами. В этом случае горизонт — это горизонт белой дыры , из которого материя и свет могут выйти, но ничего не может войти.

Координаты Эддингтона–Финкельштейна пока неполны и могут быть расширены. Например, времяподобные геодезические, перемещающиеся наружу, определяемые формулой (где τ — собственное время)

${\displaystyle r(\tau )={\sqrt {2GM\tau }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v(\tau )&=\int {\frac {r(\tau )}{r(\tau )-2GM}}\,d\tau \\&=C+\tau +2{\sqrt {2GM\tau }}+4GM\ln \left({\sqrt {\frac {\tau }{2GM}}}-1\right)\end{aligned}}}$

имеет v ( τ ) → −∞ при τ  → 2 GM . Т.е. эта времениподобная геодезическая имеет конечную собственную длину в прошлом, где она выходит из горизонта ( r  = 2 GM ), когда v становится минус бесконечность. Области для конечных v и r  < 2 GM отличаются от областей с конечными u и r  < 2 GM . Горизонт r  = 2 GM и конечный v (горизонт черной дыры) отличается от горизонта с r  = 2 GM и конечным u ( горизонт белой дыры ).

Метрика в координатах Крускала – Секереса охватывает все расширенное пространство-время Шварцшильда в единой системе координат. Его главный недостаток состоит в том, что в этих координатах метрика зависит как от временных, так и от пространственных координат. В координатах Эддингтона-Финкельштейна, как и в координатах Шварцшильда, метрика не зависит от «времени» (либо t в Шварцшильде, либо u или v в различных координатах Эддингтона-Финкельштейна), но ни одна из них не охватывает все пространство-время.

Координаты Эддингтона-Финкельштейна имеют некоторое сходство с координатами Гулстранда-Пенлеве в том, что они оба не зависят от времени и проникают (регулярны поперек) либо горизонты будущего (черная дыра), либо горизонты прошлого (белая дыра). Обе не диагональны (гиперповерхности постоянного «времени» не ортогональны гиперповерхностям постоянного r .) Последние имеют плоскую пространственную метрику, в то время как пространственные гиперповерхности первого («постоянного времени») являются нулевыми и имеют ту же метрику, что и нулевой конус в пространстве Минковского ( в плоском пространстве-времени). ${\displaystyle t=\pm r}$

Смотрите также

• Координаты Шварцшильда
• Координаты Крускала – Секереса
• Координаты Леметра
• Координаты Гулстранд – Пенлеве
• Метрика Вайдьи

Рекомендации

1. Эддингтон, AS (февраль 1924 г.). «Сравнение формул Уайтхеда и Эйнштейна» (PDF) . Природа . 113 (2832): 192. Бибкод : 1924Natur.113..192E. дои : 10.1038/113192a0. S2CID  36114166.
2. Финкельштейн, Дэвид (1958). «Асимметрия прошлого-будущего гравитационного поля точечной частицы». Физ. Преподобный . 110 (4): 965–967. Бибкод : 1958PhRv..110..965F. дои : 10.1103/PhysRev.110.965.
3. Пенроуз, Роджер (1965). «Гравитационный коллапс и особенности пространства-времени». Письма о физических отзывах . 14 (3): 57–59. Бибкод : 1965PhRvL..14...57P. doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .