комплекс Козюля

Конструкция в гомологической алгебре

В математике комплекс Кошуля был впервые введен для определения теории когомологий для алгебр Ли Жаном -Луи Кошулем (см. Когомологии алгебры Ли ). Он оказался полезной общей конструкцией в гомологической алгебре . В качестве инструмента его гомологии можно использовать для определения того, когда набор элементов (локального) кольца является M-регулярной последовательностью , и, следовательно, его можно использовать для доказательства основных фактов о глубине модуля или идеала, который является алгебраическим понятием размерности, которое связано с геометрическим понятием размерности Крулля , но отличается от него . Более того, при определенных обстоятельствах комплекс является комплексом сизигий , то есть он сообщает вам соотношения между образующими модуля, соотношения между этими соотношениями и так далее.

Определение

Пусть A — коммутативное кольцо и s: ^Ar → A — A -линейное отображение . Его комплекс Кошуля K _s — это

${\displaystyle \bigwedge ^{r}A^{r}\ \to \ \bigwedge ^{r-1}A^{r}\ \to \ \cdots \ \to \ \bigwedge ^{1}A^{r}\ \to \ \bigwedge ^{0}A^{r}\simeq A}$

куда карты отправляют

${\displaystyle \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\ \mapsto \ \sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(\alpha _{i})\ \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {\alpha }}_{i}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$

где означает, что термин опущен, а означает произведение клина . Можно заменить на любой A -модуль. ${\displaystyle {\hat {\ }}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle A^{r}}$

Мотивирующий пример

Пусть M — многообразие, схема, ..., а A — кольцо функций на нем, обозначаемое . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$

Карта соответствует выбору r функций . Когда r = 1 , комплекс Кошуля имеет вид ${\displaystyle s\colon A^{r}\to A}$ ${\displaystyle f_{1},...,f_{r}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)\ {\stackrel {\cdot f}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M)}$

коядром которого является кольцо функций на нулевом локусе f = 0. В общем случае комплекс Кошуля есть

${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)\ {\stackrel {\cdot (f_{1},...,f_{r})}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M)^{r}\ \to \ \cdots \ \to \ {\mathcal {O}}(M)^{r}\ {\stackrel {\cdot (f_{1},\dots ,f_{r})}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M).}$

Коядро последнего отображения снова функционирует на нулевом локусе . Это тензорное произведение r многих комплексов Кошуля для , поэтому его размерности задаются биномиальными коэффициентами. ${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{r}=0}$ ${\displaystyle f_{i}=0}$

На рисунках: как определить геометрическую точку, в которой все функции равны нулю? ${\displaystyle s_{i}}$

В алгебраической геометрии кольцо функций нулевого локуса — это . В производной алгебраической геометрии кольцо функций dg — это комплекс Кошуля. Если локусы пересекаются трансверсально , то они эквивалентны. ${\displaystyle A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$ ${\displaystyle s_{i}=0}$

Таким образом: комплексы Кошуля являются производными пересечениями нулевых локусов.

Характеристики

Структура алгебры

Во-первых, комплекс Кошуля K _s из (A,s) является цепным комплексом : композиция любых двух отображений равна нулю. Во-вторых, отображение

${\displaystyle K_{s}\otimes K_{s}\ \to \ K_{s}\ \ \ \,\ \ \ \,\ \ \ \,\ \ \ (\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})\otimes (\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{\ell })\ \mapsto \ \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{\ell }}$

превращает его в dg-алгебру . ^[1]

Как тензорное произведение

Комплекс Кошуля является тензорным произведением: если , то ${\displaystyle s=(s_{1},\dots ,s_{r})}$

${\displaystyle K_{s}\ \simeq \ K_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes K_{s_{r}}}$

где обозначает производное тензорное произведение цепных комплексов A -модулей. ^[2] ${\displaystyle \otimes }$

Исчезающий в обычном случае

При образовании регулярной последовательности отображение является квазиизоморфизмом, т.е. ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{r}}$ ${\displaystyle K_{s}\to A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(K_{s})\ =\ 0,\qquad i\neq 0,}$

и что касается любого s , . ${\displaystyle H^{0}(K_{s})=A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$

История

Комплекс Кошуля был впервые введен для определения теории когомологий для алгебр Ли Жаном -Луи Кошулем (см. Когомологии алгебры Ли ). Он оказался полезной общей конструкцией в гомологической алгебре . В качестве инструмента его гомологии можно использовать для определения того, когда набор элементов (локального) кольца является M-регулярной последовательностью , и, следовательно, его можно использовать для доказательства основных фактов о глубине модуля или идеала, который является алгебраическим понятием размерности, которое связано с геометрическим понятием размерности Крулля , но отличается от него. Более того, при определенных обстоятельствах комплекс является комплексом сизигий , то есть он сообщает вам соотношения между образующими модуля, соотношения между этими соотношениями и так далее.

Подробное определение

Пусть R — коммутативное кольцо, а E — свободный модуль конечного ранга r над R. Запишем для i -й внешней степени E. Тогда, если задано R -линейное отображение , комплекс Кошуля, ассоциированный с s, является цепным комплексом R - модулей : ${\displaystyle \bigwedge ^{i}E}$ ${\displaystyle s\colon E\to R}$

${\displaystyle K_{\bullet }(s)\colon 0\to \bigwedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}E\to \cdots \to \bigwedge ^{1}E{\overset {d_{1}}{\to }}R\to 0}$,

где дифференциал определяется как: для любого из E , ${\displaystyle d_{k}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i}}}\wedge \cdots \wedge e_{k}}$.

Верхний индекс означает, что термин опущен. Чтобы показать, что , воспользуемся самодвойственностью комплекса Кошуля. ${\displaystyle {\widehat {\cdot }}}$ ${\displaystyle d_{k}\circ d_{k+1}=0}$

Обратите внимание, что и . Также обратите внимание, что ; этот изоморфизм не является каноническим (например, выбор формы объема в дифференциальной геометрии дает пример такого изоморфизма). ${\displaystyle \bigwedge ^{1}E=E}$ ${\displaystyle d_{1}=s}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{r}E\simeq R}$

Если (т.е. выбран упорядоченный базис), то задание R -линейного отображения равносильно заданию конечной последовательности элементов в R (а именно, вектора-строки), а затем устанавливается ${\displaystyle E=R^{r}}$ ${\displaystyle s\colon R^{r}\to R}$ ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{r}}$ ${\displaystyle K_{\bullet }(s_{1},\dots ,s_{r})=K_{\bullet }(s).}$

Если M — конечно порождённый R -модуль, то положим:

${\displaystyle K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M}$,

который снова является цепным комплексом с индуцированным дифференциалом . ${\displaystyle (d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m}$

i -я гомология комплекса Кошуля

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K_{\bullet }(s,M))=\operatorname {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\operatorname {im} (d_{i+1}\otimes 1_{M})}$

называется i -й гомологией Кошуля . Например, если и является вектором-строкой с элементами в R , то является ${\displaystyle E=R^{r}}$ ${\displaystyle s=[s_{1}\cdots s_{r}]}$ ${\displaystyle d_{1}\otimes 1_{M}}$

${\displaystyle s\colon M^{r}\to M,\,(m_{1},\dots ,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{r}}$

и так

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_{1},\dots ,s_{r})M=R/(s_{1},\dots ,s_{r})\otimes _{R}M.}$

Сходным образом,

${\displaystyle \operatorname {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r}m=0\}=\operatorname {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots ,s_{r}),M).}$

Комплексы Кошуля в низких размерностях

Если задано коммутативное кольцо R , элемент x из R и R - модуль M , то умножение на x дает гомоморфизм R -модулей ,

${\displaystyle M\to M.}$

Рассматривая это как цепной комплекс (помещая их в степени 1 и 0 и добавляя нули в других местах), это обозначается как . По построению гомологии являются ${\displaystyle K(x,M)}$

${\displaystyle H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=\operatorname {Ann} _{M}(x)=\{m\in M,xm=0\},}$

аннулятор x в M. Таким образом, комплекс Кошуля и его гомологии кодируют фундаментальные свойства умножения на x . Этот цепной комплекс называется комплексом Кошуля R относительно x , как в #Определение. ${\displaystyle K_{\bullet }(x)}$

Комплекс Кошуля для пары — это ${\displaystyle (x,y)\in R^{2}}$

${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,}$

с матрицами и заданными как ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$и

${\displaystyle d_{2}={\begin{bmatrix}-y&x\end{bmatrix}}.}$

Обратите внимание, что применяется справа. Циклы в степени 1 тогда являются в точности линейными отношениями на элементах x и y , в то время как границы являются тривиальными отношениями. Таким образом, первая гомология Кошуля измеряет в точности отношения mod тривиальных отношений. С большим количеством элементов более высокоразмерные гомологии Кошуля измеряют более высокоуровневые версии этого. ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle H_{1}(K_{\bullet }(x,y))}$

В случае, если элементы образуют регулярную последовательность , все высшие гомологичные модули комплекса Кошуля равны нулю. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

Пример

Если k — поле и — неопределенности, а R — кольцо многочленов , то комплекс Кошуля на образует конкретную свободную R -резольвенту поля k . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}}$ ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}]}$ ${\displaystyle K_{\bullet }(X_{i})}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Свойства гомологии Кошуля

Пусть E — свободный модуль конечного ранга над R , пусть — R- линейное отображение, и пусть t — элемент R. Пусть — комплекс Кошуля . ${\displaystyle s\colon E\to R}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle (s,t)\colon E\oplus R\to R}$

Используя , получаем точную последовательность комплексов: ${\displaystyle \bigwedge ^{k}(E\oplus R)=\oplus _{i=0}^{k}\bigwedge ^{k-i}E\otimes \bigwedge ^{i}R=\bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E}$

${\displaystyle 0\to K(s)\to K(s,t)\to K(s)[-1]\to 0}$,

где означает сдвиг степени на и . Отмечается: ^[3] для в , ${\displaystyle [-1]}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle d_{K(s)[-1]}=-d_{K(s)}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E}$

${\displaystyle d_{K(s,t)}((x,y))=(d_{K(s)}x+ty,d_{K(s)[-1]}y).}$

На языке гомологической алгебры это означает, что есть конус отображения . ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle t\colon K(s)\to K(s)}$

Взяв длинную точную последовательность гомологий, получаем:

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{i}(K(s)){\overset {t}{\to }}\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s,t))\to \operatorname {H} _{i-1}(K(s)){\overset {t}{\to }}\cdots .}$

Здесь связующий гомоморфизм

${\displaystyle \delta :\operatorname {H} _{i+1}(K(s)[-1])=\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s))}$

вычисляется следующим образом. По определению, где y — элемент , который отображается в x . Поскольку — прямая сумма, мы можем просто взять y равным (0, x ). Тогда ранняя формула для дает . ${\displaystyle \delta ([x])=[d_{K(s,t)}(y)]}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle d_{K(s,t)}}$ ${\displaystyle \delta ([x])=t[x]}$

Приведенную выше точную последовательность можно использовать для доказательства следующего.

Теорема  —  ^[4] Пусть R — кольцо, а M — модуль над ним. Если последовательность элементов R является регулярной последовательностью на M , то ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$

для всех . В частности, когда M = R , это означает, что ${\displaystyle i\geq 1}$

${\displaystyle 0\to \bigwedge ^{r}R^{r}{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}R^{r}\to \cdots \to \bigwedge ^{2}R^{r}{\overset {d_{2}}{\to }}R^{r}{\overset {[x_{1}\cdots x_{r}]}{\to }}R\to R/(x_{1},\cdots ,x_{r})\to 0}$

является точным; т.е. является R - свободным разрешением . ${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{r})}$ ${\displaystyle R/(x_{1},\dots ,x_{r})}$

Доказательство индукцией по r . Если , то . Далее предположим, что утверждение верно для r - 1. Тогда, используя приведенную выше точную последовательность, можно увидеть для любого . Исчезновение справедливо также для , так как является неделителем нуля на ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(K(x_{1};M))=\operatorname {Ann} _{M}(x_{1})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0}$ ${\displaystyle i\geq 2}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle x_{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K(x_{1},\dots ,x_{r-1};M))=M/(x_{1},\dots ,x_{r-1})M.}$ ${\displaystyle \square }$

Следствие  —  ^[5] Пусть R , M такие же, как и выше, и последовательность элементов R . Предположим, что есть кольцо S , S -регулярная последовательность в S и кольцевой гомоморфизм S → R , который отображается в . (Например, можно взять .) Тогда ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle S=\mathbb {Z} [y_{1},\cdots ,y_{n}]}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(S/(y_{1},\dots ,y_{n}),M).}$

где Tor обозначает функтор Tor , а M — S -модуль относительно . ${\displaystyle S\to R}$

Доказательство: По теореме , примененной к S и S как S -модулю, мы видим, что является S -свободной резольвентой . Так что по определению i -я гомология является правой частью вышеприведенного. С другой стороны, по определению структуры S -модуля на M . ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})}$ ${\displaystyle S/(y_{1},\dots ,y_{n})}$ ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M}$ ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M=K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle \square }$

Следствие  —  ^[6] Пусть R , M такие же, как и выше, и последовательность элементов R. Тогда и идеал , и аннулятор M аннулируют ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ ${\displaystyle I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)}$

для всех я .

Доказательство: Пусть S = R [ y ₁ , ..., _yn ] . Превращаем M в S -модуль посредством кольцевого гомоморфизма S → R , y _i → x _i и R в S -модуль посредством y _i → 0 . По предыдущему следствию, и тогда ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)}$

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{S}\left(\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)\right)\supset \operatorname {Ann} _{S}(R)+\operatorname {Ann} _{S}(M)\supset (y_{1},\dots ,y_{n})+\operatorname {Ann} _{R}(M)+(y_{1}-x_{1},...,y_{n}-x_{n}).}$ ${\displaystyle \square }$

Для локального кольца справедливо обратное утверждение теоремы. В более общем случае,

Теорема  —  ^[7] Пусть R — кольцо, а M — ненулевой конечно порожденный модуль над R. Если — элементы радикала Джекобсона кольца R , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{r}}$

1. Последовательность является регулярной последовательностью на M , ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$
2. ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$,
3. ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$для всех i ≥ 1.

Доказательство: Нам нужно только показать, что 2. влечет 1., остальное ясно. Рассуждаем индукцией по r . Случай r = 1 уже известен. Пусть x ' обозначает x ₁ , ..., x _{r -1} . Рассмотрим

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{1}(K(x';M)){\overset {x_{r}}{\to }}\operatorname {H} _{1}(K(x';M))\to \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0\to M/x'M{\overset {x_{r}}{\to }}\cdots .}$

Так как первый сюръективен, то . По лемме Накаямы , и поэтому x ' является регулярной последовательностью по индуктивному предположению. Так как второй инъективен (т.е. является неделителем нуля), является регулярной последовательностью. (Примечание: по лемме Накаямы требование выполняется автоматически.) ${\displaystyle x_{r}}$ ${\displaystyle N=x_{r}N}$ ${\displaystyle N=\operatorname {H} _{1}(K(x';M))}$ ${\displaystyle N=0}$ ${\displaystyle x_{r}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$ ${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0}$ ${\displaystyle \square }$

Тензорные произведения комплексов Кошуля

В общем случае, если C , D — цепные комплексы, то их тензорное произведение — это цепной комплекс, заданный формулой ${\displaystyle C\otimes D}$

${\displaystyle (C\otimes D)_{n}=\sum _{i+j=n}C_{i}\otimes D_{j}}$

с дифференциалом: для любых однородных элементов x , y ,

${\displaystyle d_{C\otimes D}(x\otimes y)=d_{C}(x)\otimes y+(-1)^{|x|}x\otimes d_{D}(y)}$

где | x | — степень x .

Эта конструкция применима, в частности, к комплексам Кошуля. Пусть E , F — свободные модули конечного ранга, и пусть и — два R -линейных отображения. Пусть — комплекс Кошуля линейного отображения . Тогда, как комплексы, ${\displaystyle s\colon E\to R}$ ${\displaystyle t\colon F\to R}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle (s,t)\colon E\oplus F\to R}$

${\displaystyle K(s,t)\simeq K(s)\otimes K(t).}$

Чтобы увидеть это, удобнее работать с внешней алгеброй (в отличие от внешних степеней). Определим градуированное выведение степени ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle d_{s}:\wedge E\to \wedge E}$

потребовав: для любых однородных элементов x , y в Λ E ,

• ${\displaystyle d_{s}(x)=s(x)}$когда ${\displaystyle |x|=1}$
• ${\displaystyle d_{s}(x\wedge y)=d_{s}(x)\wedge y+(-1)^{|x|}x\wedge d_{s}(y)}$

Легко видеть, что (индукция по степени) и что действие на однородные элементы согласуются с дифференциалами в #Определении. ${\displaystyle d_{s}\circ d_{s}=0}$ ${\displaystyle d_{s}}$

Теперь у нас есть градуированные R -модули. Также, по определению тензорного произведения, упомянутому в начале, ${\displaystyle \wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F}$

${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}(e\otimes 1+1\otimes f)=d_{K(s)}(e)\otimes 1+1\otimes d_{K(t)}(f)=s(e)+t(f)=d_{K(s,t)}(e+f).}$

Поскольку и являются производными одного и того же типа, это означает, что ${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}}$ ${\displaystyle d_{K(s,t)}}$ ${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}=d_{K(s,t)}.}$

Обратите внимание, в частности,

${\displaystyle K(x_{1},x_{2},\dots ,x_{r})\simeq K(x_{1})\otimes K(x_{2})\otimes \cdots \otimes K(x_{r})}$.

Следующее предложение показывает, как комплекс элементов Кошуля кодирует некоторую информацию о последовательностях в порождаемом ими идеале.

Предложение  —  Пусть R — кольцо, а I = ( x ₁ , ..., x _n ) — идеал, порожденный некоторыми n -элементами. Тогда для любого R -модуля M и любых элементов y ₁ , ..., y _r из I ,

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{r};M))\simeq \bigoplus _{i=j+k}\operatorname {H} _{j}(K(x_{1},\dots ,x_{n};M))\otimes \wedge ^{k}R^{r}.}$

где рассматривается как комплекс с нулевым дифференциалом. (На самом деле, разложение выполняется на уровне цепочки). ${\displaystyle \wedge ^{k}R^{r}}$

Доказательство: (простое, но пока опущено)

В качестве приложения мы можем показать чувствительность к глубине гомологии Кошуля. Для конечно порождённого модуля M над кольцом R , по (одному) определению, глубина M относительно идеала I является супремумом длин всех регулярных последовательностей элементов I на M . Она обозначается как . Напомним, что M -регулярная последовательность x ₁ , ..., x _n в идеале I максимальна, если I не содержит неделителей нуля на . ${\displaystyle \operatorname {depth} (I,M)}$ ${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{n})M}$

Гомология Кошуля дает очень полезную характеристику глубины.

Теорема  (чувствительность к глубине)  —  Пусть R — нётерово кольцо, x ₁ , ..., x _n элементов кольца R и I = ( x ₁ , ..., x _n ) — идеал, порожденный ими. Для конечно порожденного модуля M над R , если для некоторого целого числа m

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0}$для всех i > m ,

пока

${\displaystyle \operatorname {H} _{m}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)\neq 0,}$

тогда каждая максимальная M -регулярная последовательность в I имеет длину n - m (в частности, все они имеют одинаковую длину). Как следствие,

${\displaystyle \operatorname {depth} (I,M)=n-m}$.

Доказательство: Чтобы облегчить обозначения, мы пишем H(-) вместо H( K (-)). Пусть y ₁ , ..., y _s — максимальная M -регулярная последовательность в идеале I ; обозначим эту последовательность через . Сначала покажем индукцией по , что утверждение равно , если и равно нулю, если . Основной случай ясен из #Свойства гомологии Кошуля. Из длинной точной последовательности гомологии Кошуля и индуктивной гипотезы, ${\displaystyle {\underline {y}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})}$ ${\displaystyle i=l}$ ${\displaystyle i>l}$ ${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{l}\left({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M\right)=\operatorname {ker} \left(x_{l}:\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\to \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\right)}$,

что также, по тому же аргументу, равенство нулю справедливо для . Это завершает доказательство утверждения. ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).}$ ${\displaystyle i>l}$

Теперь из утверждения и раннего предложения следует, что для всех i > n - s . Чтобы заключить, что n - s = m , остается показать, что оно ненулевое, если i = n - s . Поскольку является максимальной M -регулярной последовательностью в I , идеал I содержится в множестве всех делителей нуля на , конечном объединении ассоциированных простых чисел модуля. Таким образом, по принципу избегания простых чисел, существует некоторый ненулевой v в , такой что , то есть, ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0}$ ${\displaystyle {\underline {y}}}$ ${\displaystyle M/{\underline {y}}M}$ ${\displaystyle M/{\underline {y}}M}$ ${\displaystyle I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)}$

${\displaystyle 0\neq v\in \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(I)\simeq \operatorname {H} _{n}\left(x_{1},\dots ,x_{n},{\underline {y}};M\right)=\operatorname {H} _{n-s}(x_{1},\dots ,x_{n};M)\otimes \wedge ^{s}R^{s}.}$ ${\displaystyle \square }$

Самодвойственность

Существует подход к комплексу Кошуля, который использует комплекс коцепи вместо цепного комплекса. Как выясняется, это приводит по сути к тому же самому комплексу (факт, известный как самодвойственность комплекса Кошуля).

Пусть E — свободный модуль конечного ранга r над кольцом R. Тогда каждый элемент e из E порождает внешнее левое умножение на e :

${\displaystyle l_{e}:\wedge ^{k}E\to \wedge ^{k+1}E,\,x\mapsto e\wedge x.}$

Так как , то имеем: ; то есть, ${\displaystyle e\wedge e=0}$ ${\displaystyle l_{e}\circ l_{e}=0}$

${\displaystyle 0\to R{\overset {1\mapsto e}{\to }}\wedge ^{1}E{\overset {l_{e}}{\to }}\wedge ^{2}E\to \cdots \to \wedge ^{r}E\to 0}$

— это коцепной комплекс свободных модулей. Этот комплекс, также называемый комплексом Кошуля, — это комплекс, используемый в (Eisenbud 1995). Если взять двойственный, то получится комплекс:

${\displaystyle 0\to (\wedge ^{r}E)^{*}\to (\wedge ^{r-1}E)^{*}\to \cdots \to (\wedge ^{2}E)^{*}\to (\wedge ^{1}E)^{*}\to R\to 0}$.

Используя изоморфизм , комплекс совпадает с комплексом Кошуля в определении. ${\displaystyle \wedge ^{k}E\simeq (\wedge ^{r-k}E)^{*}\simeq \wedge ^{r-k}(E^{*})}$ ${\displaystyle (\wedge E,l_{e})}$

Использовать

Комплекс Кошуля имеет важное значение для определения совместного спектра кортежа коммутирующих ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве . ^{[ требуется ссылка ]}

Смотрите также

• Комплекс Кошул–Тейт
• Сизигия (математика)

Примечания

1. Проект «Стеки», раздел 0601
2. Проект Stacks, раздел 0601, Лемма 15.28.12
3. Действительно, по линейности можно предположить , где . Тогда ${\displaystyle (x,y)=(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}\in \wedge ^{k}(E\oplus R)}$ ${\displaystyle R\simeq R\epsilon \subset E\oplus R}$

   ${\displaystyle d_{K(s,t)}((x,y))=(s(e_{1})+t)e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}+\sum _{i=2}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots {\widehat {e_{i}}}\cdots \wedge e_{k}}$,

   что есть . ${\displaystyle (d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)}$
4. Мацумура 1989, Теорема 16.5. (i)
5. Эйзенбуд 1995, Упражнение 17.10.
6. Серр 1975, Глава IV, § 2, Предложение 4.
7. Мацумура 1989, Теорема 16.5. (ii)

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра: с видом на алгебраическую геометрию . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-94268-8.
• Уильям Фултон (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фолге., т. 3. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, г-н  1644323
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
• Серр, Жан-Пьер (1975), местная алгебра, Multiplicités , Cours au Collège de France, 1957–1958, редиж Пьера Габриэля. Troisième édition, 1975. Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 11, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Проект «Стекс», раздел 0601

Внешние ссылки

• Мелвин Хохстер , Математика 711: Лекция от 3 октября 2007 г. (особенно самая последняя часть).