Коэффициент корреляции конкордантности

В статистике коэффициент корреляции конкордации измеряет согласие между двумя переменными, например, для оценки воспроизводимости или надежности оценок разных экспертов .

Определение

Форма коэффициента корреляции конкордации как ^[1] ${\displaystyle \rho _{c}}$

${\displaystyle \rho _{c}={\frac {2\rho \sigma _{x}\sigma _{y}}{\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+(\mu _{x}-\mu _{y})^{2}}},}$

где и — средние значения двух переменных, а и — соответствующие дисперсии . — коэффициент корреляции между двумя переменными. ${\displaystyle \mu _{x}}$ ${\displaystyle \mu _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}^{2}}$ ${\displaystyle \rho }$

Это следует из его определения ^[1] как

${\displaystyle \rho _{c}=1-{\frac {{\rm {Expected\ orthogonal\ squared\ distance\ from\ the\ diagonal\ }}x=y}{{\rm {Expected\ orthogonal\ squared\ distance\ from\ the\ diagonal\ }}x=y{\rm {\ assuming\ independence}}}}.}$

Когда коэффициент корреляции конкордации вычисляется на наборе данных длины (т.е. парных значениях данных , для ), форма имеет вид ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle n=1,...,N}$

${\displaystyle {\hat {\rho }}_{c}={\frac {2s_{xy}}{s_{x}^{2}+s_{y}^{2}+({\bar {x}}-{\bar {y}})^{2}}},}$

где среднее значение вычисляется как

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}x_{n}}$

и дисперсия

${\displaystyle s_{x}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n}-{\bar {x}})^{2}}$

и ковариация

${\displaystyle s_{xy}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n}-{\bar {x}})(y_{n}-{\bar {y}}).}$

В то время как обычный коэффициент корреляции (Пирсона) невосприимчив к тому, используются ли смещенные или несмещенные версии для оценки дисперсии, коэффициент корреляции конкордации не является таковым. В оригинальной статье Лин предложил нормализацию 1/N ^[1] , тогда как в другой статье Никерсон, по-видимому, использовал 1/(N-1) ^[2] , т. е. коэффициент корреляции конкордации может быть вычислен немного по-разному между реализациями.

Отношение к другим мерам корреляции

Коэффициент корреляции конкордации почти идентичен некоторым мерам, называемым внутриклассовыми корреляциями . Сравнения коэффициента корреляции конкордации с «обычной» внутриклассовой корреляцией на разных наборах данных обнаружили лишь небольшие различия между двумя корреляциями, в одном случае на третьем десятичном. ^[2] Также было заявлено ^[3] , что идеи для коэффициента корреляции конкордации «весьма похожи на результаты, уже опубликованные Криппендорфом ^[4] в 1970 году».

В оригинальной статье ^[1] Лин предложил форму для нескольких классов (а не только 2). Более десяти лет спустя было выпущено исправление к этой форме. ^[5]

Одним из примеров использования коэффициента корреляции конкордации является сравнение методов анализа для функциональной магнитно-резонансной томографии мозга. ^[6]

Ссылки

1. Лоуренс Ай-Куэй Лин (март 1989). «Коэффициент корреляции согласованности для оценки воспроизводимости». Биометрия . 45 (1): 255–268. doi :10.2307/2532051. JSTOR  2532051. PMID  2720055.
2. Кэрол А. Е. Никерсон (декабрь 1997 г.). «Заметка о «Коэффициенте корреляции согласованности для оценки воспроизводимости». Биометрия . 53 (4): 1503–1507. doi :10.2307/2533516. JSTOR  2533516.
3. Райнхольд Мюллер; Петра Бюттнер (декабрь 1994 г.). «Критическое обсуждение коэффициентов внутриклассовой корреляции». Статистика в медицине . 13 (23–24): 2465–2476. doi :10.1002/sim.4780132310. PMID  7701147.
4. Клаус Криппендорф (1970). EF Borgatta (ред.). «Двумерные коэффициенты согласия для надежности данных» . Социологическая методология . 2. Сан - Франциско : Jossey-Bass : 139–150. doi :10.2307/270787. JSTOR  270787.
5. Лоуренс Ай-Куэй Лин (март 2000 г.). «Заметка о коэффициенте корреляции конкордантности». Биометрия . 56 : 324–325. doi : 10.1111/j.0006-341X.2000.00324.x .
6. N Lange; SC Strother; JR Anderson; FA Nielsen; AP Holmes; T Kolenda; R Savoy; LK Hansen (сентябрь 1999 г.). «Множественность и сходство в анализе данных фМРТ». NeuroImage . 10 (3 Pt 1): 282–303. CiteSeerX 10.1.1.158.6688 . doi :10.1006/NIMG.1999.0472. ISSN  1053-8119. PMID  10458943. Wikidata  Q21012624. 

Небольшую реализацию Excel и VBA от Питера Урбани можно посмотреть здесь