Разложение Хиронаки

В математике разложение Хиронаки — это представление алгебры над полем в виде конечно порождённого свободного модуля над полиномиальной подалгеброй или регулярным локальным кольцом . Такие разложения названы в честь Хейсукэ Хиронаки , который использовал это в своей неопубликованной магистерской диссертации в Киотском университете (Nagata 1962, p.217).

Критерий Хиронаки (Нагата 1962, теорема 25.16), иногда называемый чудом плоскостности , утверждает, что локальное кольцо R , являющееся конечно порождённым модулем над регулярным нётеровым локальным кольцом S, является модулем Коэна–Маколея тогда и только тогда, когда оно является свободным модулем над S. Аналогичный результат имеет место для колец, градуированных над полем, а не локально.

Явное разложение инвариантной алгебры

Пусть — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики , , несущее представление группы , и рассмотрим алгебру многочленов на , . Алгебра несет градуировку с , которая наследуется инвариантной подалгеброй ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K[V]}$ ${\displaystyle K[V]}$ ${\displaystyle (K[V])_{0}=K}$

${\displaystyle K[V]^{G}=\{f\in K[V]\mid g\circ f=f,\forall g\in G\}}$.

Известный результат теории инвариантов, который дал ответ на четырнадцатую проблему Гильберта , заключается в том, что если — линейно-редуктивная группа и — рациональное представление , то — конечно-порожденная. Другой важный результат, полученный Нётер , заключается в том, что любая конечно-порожденная градуированная алгебра с допускает (не обязательно единственную) однородную систему параметров (HSOP). HSOP (также называемая первичными инвариантами ) — это набор однородных многочленов, , которые удовлетворяют двум свойствам: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K[V]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{0}=K}$ ${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$

1. Они алгебраически независимы. ${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$
2. Нулевой набор , , совпадает с нулевым конусом (связью) . ${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$ ${\displaystyle \{v\in V|\theta _{i}=0\}}$ ${\displaystyle R}$

Важно, что это подразумевает, что алгебра может быть выражена как конечно-порожденный модуль над подалгеброй, порожденной HSOP, . В частности, можно записать ${\displaystyle K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$

${\displaystyle K[V]^{G}=\sum _{k}\eta _{k}K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$,

где называются вторичными инвариантами . ${\displaystyle \eta _{k}}$

Теперь, если это Коэн–Маколей, что имеет место, если линейно редуктивно, то это свободный (и, как уже было сказано, конечно-порожденный) модуль над любым HSOP. Таким образом, фактически имеется разложение Хиронаки ${\displaystyle K[V]^{G}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle K[V]^{G}=\bigoplus _{k}\eta _{k}K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$.

В частности, каждый элемент в может быть записан однозначно как ܏�� , где , а произведение любых двух вторичных элементов однозначно задается выражением , где . Это однозначно определяет умножение в . ${\displaystyle K[V]^{G}}$ ${\displaystyle \sum \nolimits _{j}\eta _{j}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}\in K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$ ${\displaystyle \eta _{k}\eta _{m}=\sum \nolimits _{j}\eta _{j}f_{km}^{j}}$ ${\displaystyle f_{km}^{j}\in K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]}$ ${\displaystyle K[V]^{G}}$

Смотрите также

• Разложение Риса
• разложение Стэнли

Ссылки

• Нагата, Масаёси (1962), Локальные кольца , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, т. 13, Нью-Йорк-Лондон: Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, ISBN 0-88275-228-6, МР  0155856
• Sturmfels, Bernd ; White, Neil (1991), "Вычисление комбинаторных разложений колец", Combinatorica , 11 (3): 275–293, doi :10.1007/BF01205079, MR  1122013