Тест Шапиро-Уилка

Тест на нормальность в частотной статистике

Тест Шапиро -Уилка — это тест на нормальность . Он был опубликован в 1965 году Сэмюэлем Сэнфордом Шапиро и Мартином Уилком . ^[1]

Теория

Тест Шапиро-Уилка проверяет нулевую гипотезу о том, что выборка x ₁ , ..., x _n принадлежит нормально распределенной популяции. Статистика теста _

${\displaystyle W={\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{(i)}\right)^{2} \over \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}},}$

где

• ${\displaystyle x_{(i)}}$в круглых скобках заключен индекс индекса i — статистика i- го порядка , т. е. i -е наименьшее число в выборке (не путать с ). ${\displaystyle x_{i}}$
• ${\displaystyle {\overline {x}}=\left(x_{1}+\cdots +x_{n}\right)/n}$– выборочное среднее.

Коэффициенты определяются по формуле: ^[1] ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})={m^{\mathsf {T}}V^{-1} \over C},}$

где C — векторная норма : ^[2]

${\displaystyle C=\|V^{-1}m\|=(m^{\mathsf {T}}V^{-1}V^{-1}m)^{1/2}}$

и вектор m ,

${\displaystyle m=(m_{1},\dots ,m_{n})^{\mathsf {T}}\,}$

состоит из ожидаемых значений порядковой статистики независимых и одинаково распределенных случайных величин , выбранных из стандартного нормального распределения; наконец, это ковариационная матрица статистики нормального порядка. ^[3] ${\displaystyle V}$

Не существует названия для распространения . Значения отсечения для статистики рассчитываются посредством моделирования Монте-Карло. ^[2] ${\displaystyle W}$

Интерпретация

Нулевая гипотеза этого теста состоит в том, что популяция распределена нормально. Таким образом, если значение p меньше выбранного альфа-уровня , то нулевая гипотеза отклоняется и имеется свидетельство того, что проверенные данные не имеют нормального распределения. С другой стороны, если значение p больше выбранного альфа-уровня, то нулевую гипотезу (о том, что данные получены из нормально распределенной совокупности) нельзя отвергнуть (например, для альфа-уровня 0,05 набор данных со значением p менее 0,05 отвергает нулевую гипотезу о том, что данные взяты из нормально распределенной совокупности. Следовательно, набор данных со значением p , превышающим значение альфа 0,05, не может отвергнуть нулевую гипотезу о том, что данные взяты из нормально распределенная популяция). ^[4]

Как и большинство тестов статистической значимости , если размер выборки достаточно велик, этот тест может обнаружить даже тривиальные отклонения от нулевой гипотезы (т. е., хотя некоторый статистически значимый эффект может иметь место , он может быть слишком мал, чтобы иметь какое-либо практическое значение); таким образом, обычно рекомендуется дополнительное исследование величины эффекта , например, в этом случае график Q-Q . ^[5]

Анализ мощности

Моделирование Монте-Карло показало, что Шапиро-Уилк имеет лучшую степень для заданной значимости , за ним следует Андерсон-Дарлинг при сравнении Шапиро-Уилка, Колмогорова-Смирнова и Лиллиефорса . ^[6]

Приближение

Ройстон предложил альтернативный метод расчета вектора коэффициентов, предоставив алгоритм расчета значений, который увеличил размер выборки с 50 до 2000. ^[7] Этот метод используется в нескольких пакетах программного обеспечения, включая GraphPad Prism, Stata, ^{[8] [9]} SPSS и SAS. ^[10] Рахман и Говидараджулу увеличили размер выборки до 5000 человек. ^[11]

Смотрите также

• Тест Андерсона-Дарлинга
• Критерий Крамера – фон Мизеса
• Критерий Д'Агостино К-квадрат
• Тест Колмогорова – Смирнова
• тест Лиллиефорса
• График нормальной вероятности
• Тест Шапиро-Франсии

Рекомендации

1. Шапиро, СС; Уилк, МБ (1965). «Анализ дисперсионного теста на нормальность (полные выборки)». Биометрика . 52 (3–4): 591–611. дои : 10.1093/biomet/52.3-4.591. JSTOR  2333709. МР  0205384.п. 593
2. РМД (2022). «Тест Шапиро-Уилка и связанные с ним тесты на нормальность» (PDF) . Проверено 16 июня 2022 г.
3. Дэвис, CS; Стивенс, Массачусетс (1978). Ковариационная матрица статистики нормального порядка (PDF) (Технический отчет). Статистический факультет Стэнфордского университета, Стэнфорд, Калифорния. Технический отчет № 14 . Проверено 17 июня 2022 г.
4. «Как мне интерпретировать тест Шапиро-Уилка на нормальность?». ДМП . 2004 . Проверено 24 марта 2012 г.
5. Филд, Энди (2009). Обнаружение статистики с помощью SPSS (3-е изд.). Лос-Анджелес [т.е. Таузенд-Оукс, Калифорния]: Публикации SAGE. п. 143. ИСБН 978-1-84787-906-6.
6. Разали, Норнадия; Вау, Яп Би (2011). «Сравнение мощности тестов Шапиро-Уилка, Колмогорова-Смирнова, Лиллифорса и Андерсона-Дарлинга». Журнал статистического моделирования и аналитики . 2 (1): 21–33 . Проверено 30 марта 2017 г.
7. Ройстон, Патрик (сентябрь 1992 г.). «Аппроксимация W -критерия Шапиро – Уилка на ненормальность». Статистика и вычисления . 2 (3): 117–119. дои : 10.1007/BF01891203. S2CID  122446146.
8. Ройстон, Патрик. «Тесты Шапиро-Уилка и Шапиро-Франсии». Технический бюллетень Stata, StataCorp LP . 1 (3).
9. Критерии Шапиро-Уилка и Шапиро-Франсии на нормальность
10. Пак, Хон Мён (2002–2008). «Одномерный анализ и тест на нормальность с использованием SAS, Stata и SPSS». [рабочий документ] . Проверено 29 июля 2023 г.
11. Рахман и Говидараджулу (1997). «Модификация теста Шапиро и Уилка на нормальность». Журнал прикладной статистики . 24 (2): 219–236. дои : 10.1080/02664769723828.

Внешние ссылки

• Рабочий пример с использованием Excel
• Алгоритм AS R94 (Шапиро Уилк) Код FORTRAN
• Исследовательский анализ с использованием критерия нормальности Шапиро – Уилка в R
• Реальная статистика с использованием Excel: расширенный тест Шапиро-Уилка