Круглое сечение

трехосный эллипсоид с круглым сечением

В геометрии круговое сечение — это окружность на поверхности второго порядка (например, эллипсоида или гиперболоида ). Это особое плоское сечение второго порядка, поскольку эта окружность является пересечением с вторым порядками плоскости, содержащей этот круг.

Любое плоское сечение сферы является круговым сечением, если оно содержит по крайней мере 2 точки. Любая квадрика вращения содержит окружности как сечения плоскостями, ортогональными ее оси; она не содержит никаких других окружностей, если она не сфера. Более скрытыми являются окружности на других квадриках, таких как трехосные эллипсоиды, эллиптические цилиндры и т. д. Тем не менее, верно, что:

• Любая квадратичная поверхность, содержащая эллипсы, содержит также окружности.

Эквивалентно, все квадратичные поверхности содержат окружности, за исключением параболических и гиперболических цилиндров и гиперболических параболоидов .

Если квадрика содержит окружность, то каждое пересечение квадрики с плоскостью, параллельной этой окружности, также является окружностью, при условии, что оно содержит по крайней мере две точки. За исключением сфер, окружности, содержащиеся в квадрике, если таковые имеются, все параллельны одной из двух фиксированных плоскостей (которые равны в случае квадрики вращения).

Круговые сечения используются в кристаллографии . ^{[1] [2] [3]}

Использование проективной геометрии

Круговые сечения квадрики могут быть вычислены из неявного уравнения квадрики, как это делается в следующих разделах. Они также могут быть охарактеризованы и изучены с помощью синтетической проективной геометрии .

Пусть C — пересечение квадратичной поверхности Q и плоскости P. В этом разделе Q и C — поверхности в трехмерном евклидовом пространстве , которые расширены до проективного пространства над комплексными числами . При этих гипотезах кривая C является окружностью тогда и только тогда, когда ее пересечение с плоскостью на бесконечности включено в омбилику (кривую на бесконечности уравнения ). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

Первый случай, который следует рассмотреть, — это когда пересечение Q с плоскостью на бесконечности состоит из одной или двух действительных прямых, то есть когда Q является либо гиперболическим параболоидом , либо параболическим цилиндром , либо гиперболическим цилиндром . В этом случае точки на бесконечности C являются действительными (пересечение действительной плоскости с действительными прямыми). Таким образом, плоские сечения Q не могут быть окружностями (или эллипсами ).

Если Q — сфера , то ее пересечение с плоскостью на бесконечности является омбиликой, а все плоские сечения — окружностями.

Если Q — поверхность вращения , то ее пересечение с омбиликой состоит из пары комплексно сопряженных точек (которые являются двойными точками ). Действительная плоскость содержит эти две точки тогда и только тогда, когда она перпендикулярна оси вращения. Таким образом, круговые сечения — это сечения плоскости плоскостью, перпендикулярной оси, которые имеют по крайней мере две действительные точки.

В других случаях пересечение Q с омбиликой состоит из двух различных пар комплексно сопряженных точек. Поскольку C является кривой степени два, ее пересечение с плоскостью на бесконечности состоит из двух точек, возможно, равных. Таким образом, кривая C является окружностью, если эти две точки являются одной из этих двух пар комплексно сопряженных точек на омбилике. Каждая из этих пар определяет действительную прямую (проходящую через точки), которая является пересечением P с плоскостью на бесконечности. Таким образом, круговое сечение имеет место тогда и только тогда, когда C имеет по крайней мере две действительные точки, а P содержит одну из этих прямых на бесконечности (то есть, если P параллельно одному из двух направлений, определяемых этими прямыми на бесконечности).

Определение круговых сечений квадратного треугольника

Для нахождения плоскостей, содержащих круговые сечения заданного квадрики, используются следующие утверждения:

(S:) Если общие точки квадрики со сферой содержатся в паре плоскостей, то кривая пересечения состоит из двух окружностей.

(P:) Если пересечение плоскости и квадрики является окружностью, то любая параллельная плоскость, содержащая по крайней мере две точки квадрики, также пересекает квадрику по окружности.

Таким образом, стратегия обнаружения круглых сечений следующая:

1) Найдите сферу , которая пересекает квадрику в паре плоскостей и

2) Плоскости , параллельные обнаруженным, дают оставшиеся круговые сечения.

Трёхосный эллипсоид

трехосный эллипсоид с круговыми сечениями (синего и зеленого цвета) и вспомогательной сферой (красной), которая пересекает квадрику в синих кругах

Эллипсоид, пересечённый сферами: ${\displaystyle c<{\color {seagreen}r_{1}}<{\color {blue}b}<{\color {purple}r_{2}}<a}$

Для эллипсоида с уравнением

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

и полуоси используют вспомогательную сферу с уравнением ${\displaystyle a>b>c>0}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .}$

Радиус сферы должен быть выбран таким образом, чтобы пересечение с эллипсоидом содержалось в двух плоскостях, проходящих через начало координат. Умножение уравнения эллипсоида на и вычитание уравнения сферы дает: ${\displaystyle r^{2}}$

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}+\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ .}$

Это уравнение описывает пару плоскостей, если один из 3 коэффициентов равен нулю. В случае или уравнение выполняется только либо по оси x, либо по оси z. Только в случае получается пара плоскостей с уравнением ${\displaystyle \ r=a\ }$ ${\displaystyle \ r=c\ }$ ${\displaystyle \ r=b\ }$

• ${\displaystyle \left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {b^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\tfrac {c}{a}}{\sqrt {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}-c^{2}}}}\;x\ ,}$

так как только в этом случае остальные коэффициенты имеют разные знаки (вследствие: ). ${\displaystyle a>b>c}$

Диаграмма дает представление о наиболее распространенных пересечениях сферы и эллипсоида и подчеркивает исключительный круговой случай (синий).

Если значения полуосей сближаются, то и два пучка плоскостей (и окружностей) сближаются. Так как все плоскости ортогональны оси z (оси вращения). ${\displaystyle a=b}$

Подтверждение права собственности (P)

Поворот эллипсоида вокруг оси y таким образом, чтобы один из двух кругов (синий) лежал в плоскости xy, приводит к новому уравнению эллипсоида:

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D{\color {red}xz}=E}$

Для одного получаем , которое должно быть уравнением окружности. Это верно только, если . Пересечение эллипсоида плоскостью с уравнением , (параллельной плоскости xy) имеет уравнение ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}=E}$ ${\displaystyle A=B\neq 0,\ E>0}$ ${\displaystyle z=z_{0}}$

${\displaystyle A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}}$.

Это уравнение описывает окружность или точку или пустое множество. Центр и радиус окружности можно найти, дополнив квадрат .

Эллиптический однополостный гиперболоид

однополостный гиперболоид

Для однополостного гиперболоида с уравнением

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,c>0}$

аналогично получаем для пересечения со сферой уравнение ${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ }$

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ .}$

Только за одного достаётся пара самолётов: ${\displaystyle \ r=a\ }$

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {a^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y\ ,\ }$

Эллиптический цилиндр

эллиптический цилиндр

Для эллиптического цилиндра с уравнением

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,}$

получается уравнение

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ .}$

Только за одного достаётся пара самолётов: ${\displaystyle \ r=a\ }$

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}\;y\ .\ }$

Эллиптический параболоид

эллиптический параболоид

Для эллиптического параболоида с уравнением

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}-z=0\ ,\quad a{\color {red}{<}}b\ ,}$

выбирается сфера, содержащая вершину (начало координат) и имеющая центр на оси (ось z):

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-r)^{2}=r^{2}\quad \leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2rz=0\ .}$

После исключения линейных частей получаем уравнение

${\displaystyle (2ra-1)\;x^{2}+(2rb-1)\;y^{2}-z^{2}=0\ .}$

Только за одного достаётся пара самолётов: ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2a}}}$

${\displaystyle \left({\frac {b}{a}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\sqrt {\frac {b-a}{a}}}\;y\ .\ }$

Эллиптический гиперболоид из двух полос

эллиптический гиперболоид из двух полос

Двуполостный гиперболоид с уравнением

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,\ c>0\ ,}$

сначала смещается таким образом, что одна вершина становится началом координат (см. диаграмму):

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(z+c)^{2}}{c^{2}}}=1\quad \leftrightarrow \quad \ -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}+{\frac {2z}{c}}=0\ .}$

Аналогично случаю параболоида выбираем сферу, содержащую начало координат с центром на оси z:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-r)^{2}=r^{2}\quad \leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2zr=0\ .}$

После исключения линейных частей получаем уравнение

${\displaystyle \left(-{\frac {r}{a^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;x^{2}+\left(-{\frac {r}{b^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {r}{c^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)z^{2}=0\ .}$

Только за одного достаётся пара самолётов: ${\displaystyle r={\tfrac {a^{2}}{c}}}$

${\displaystyle \left(-{\frac {a^{2}}{b^{2}c}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {a^{2}}{c^{3}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y\ .}$

Эллиптический конус

эллиптический конус

Эллиптический конус с уравнением

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}=0\ ,\quad a>b\ ,}$

смещена таким образом, что вершина не является началом координат (см. диаграмму):

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-(z-1)^{2}=0\quad \leftrightarrow \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}+2z=1.}$

Теперь подойдет сфера с центром в начале координат:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .}$

Устранение урожайности: ${\displaystyle x^{2}}$

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-(1+a^{2})\;z^{2}+2a^{2}z=a^{2}-r^{2}\ .}$

В этом случае завершение квадрата дает:

${\displaystyle {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\;y^{2}-(1+a^{2})\left(z-{\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\right)^{2}=a^{2}-{\frac {a^{4}}{1+a^{2}}}-r^{2}\ .}$

Чтобы получить уравнение пары плоскостей, правая часть уравнения должна быть равна нулю, что верно для Решение для z дает: ${\displaystyle r={\tfrac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\ .}$

${\displaystyle z={\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\pm {\frac {1}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{1+a^{2}}}}\;y\ .}$

Ссылки

• Х. Ф. Бейкер: Принципы геометрии, том 3 , Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-1-108-01779-4 .
• DMY Sommerville: Аналитическая геометрия трех измерений , Cambridge University Press, 1959, ISBN 978-1-316-60190-7 , стр. 204. 
• КП Гротемейер: Аналитическая геометрия. Гёшен-Верлаг, 1962, с. 143.
• Х. Шейд, В. Шварц: Элементы линейной алгебры и анализа. Спектрум, Гейдельберг, 2009, ISBN 978-3-8274-1971-2 , стр. 132. 

1. WH Westphal: Physikalisches Wörterbuch: Zwei Teile in Einem Band. Springer-Verlag, 1952, ISBN 978-3-662-12707-0 , стр. 350. 
2. Х. Терч: Die Festigkeitserscheinungen der Kristalle. Springer-Verlag, Вена, 1949, ISBN 978-3-211-80120-8 , стр. 87. 
3. Г. Мазинг: Lehrbuch der Allgemeinen Metallkunde. Springer-Verlag, Берлин, 1950, ISBN 978-3-642-52-993-1 , стр. 355. 

Внешние ссылки

• Х. Винер, П. Тройтлейн: Модели трехосного эллипсоида и эллиптического параболоида с использованием круговых сечений (см. стр. 15) [1] (PDF).