Купол Нортона — это мысленный эксперимент , демонстрирующий недетерминированную систему в рамках ньютоновской механики . Он был разработан Джоном Д. Нортоном в 2003 году. [1] [2] Это частный предельный случай более общего класса примеров 1997 года, предложенных Санджаем Бхатом и Деннисом Бернштейном. [3] Проблему купола Нортона можно рассматривать как задачу физики, математики и философии. [4] [5] [6] [7]
Модель состоит из идеализированной частицы, первоначально неподвижно находящейся на вершине идеализированного радиально-симметричного купола без трения, описываемого уравнением [6] [7]
где h — вертикальное смещение от вершины купола до точки на куполе, r — геодезическое расстояние от вершины купола до этой точки (другими словами, на поверхность «вписана» радиальная координата r ), g — ускорение силы тяжести , а b — константа пропорциональности. [6]
Согласно второму закону Ньютона , касательная составляющая ускорения точечной массы, покоящейся на поверхности без трения, равна . [6]
Нортон показывает, что существует два класса математических решений этого уравнения. В первом случае частица навсегда остается на вершине купола. Во втором частица некоторое время сидит на вершине купола, а затем через произвольный промежуток времени начинает скатываться по куполу в произвольном направлении. Очевидный парадокс во втором случае заключается в том, что это, казалось бы, происходит без видимой причины и без воздействия какой-либо радиальной силы со стороны какой-либо другой сущности, что явно противоречит как физической интуиции, так и обычным интуитивным представлениям о причине и следствии . движение по-прежнему полностью соответствует математическим законам движения Ньютона . [ нужна цитата ]
Чтобы увидеть, что все эти уравнения движения являются физически возможными решениями, полезно использовать обратимость во времени механики Ньютона. Можно катить шар вверх по куполу так, чтобы он достиг вершины за конечное время и с нулевой энергией и остановился там. При обращении времени допустимым решением является то, что мяч какое-то время находится наверху, а затем катится вниз в любом одном направлении. Однако тот же аргумент, примененный к обычным видам куполов (например, к полусфере), терпит неудачу, поскольку шар, запущенный с достаточной энергией, чтобы достичь вершины и остаться там, на самом деле потребовал бы для этого бесконечное время. [8] [ нужен неосновной источник ]
Хотя мысленный эксперимент Нортона подвергался критике, например, он нарушал принцип непрерывности Липшица (сила, появляющаяся во втором законе Ньютона, не является непрерывной по Липшицу функцией траектории частицы — это позволяет уклоняться от локального закона Ньютона). Теорема единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений), или нарушает принципы физической симметрии , или что она каким-то иным образом «нефизична», среди ее критиков нет единого мнения относительно того, почему они считают ее недействительной.
Однако простое решение мысленного эксперимента заключается в следующем:
Весь аргумент зависит от поведения частицы в точке в течение периода времени, когда она имеет нулевую скорость. Традиционная ньютоновская механика сказала бы, что положение частицы бесконечно мало будет
в течение некоторого небольшого времени , но поскольку в этой точке не существует второй производной поверхности, сила неопределенна. Поэтому совершенно очевидно, что бесконечно малое движение объекта также неопределенно.
Это перемещает парадокс к вопросу о том, является ли поверхность без второй производной нефизической.
