Условие Куранта – Фридрихса – Леви.

Математическое условие сходимости

В математике условие сходимости Куранта–Фридрихса–Леви является необходимым условием сходимости при численном решении некоторых частных дифференциальных уравнений (обычно гиперболических уравнений в частных производных ). Оно возникает при численном анализе явных схем временной интеграции , когда они используются для численного решения. Как следствие, временной шаг должен быть меньше определенной верхней границы, заданной фиксированным пространственным приращением, во многих явных временных компьютерных симуляциях ; в противном случае симуляция дает неверные или нестабильные результаты. Условие названо в честь Ричарда Куранта , Курта Фридрихса и Ганса Леви , которые описали его в своей статье 1928 года. ^[1]

Эвристическое описание

Принцип, лежащий в основе условия, заключается в том, что, например, если волна движется по дискретной пространственной сетке, и мы хотим вычислить ее амплитуду на дискретных временных шагах равной длительности, ^[2] , то эта длительность должна быть меньше времени, необходимого волне для перемещения к соседним точкам сетки. Как следствие, когда расстояние между точками сетки уменьшается, верхний предел для временного шага также уменьшается. По сути, числовая область зависимости любой точки в пространстве и времени (определяемая начальными условиями и параметрами схемы аппроксимации) должна включать аналитическую область зависимости (где начальные условия влияют на точное значение решения в этой точке), чтобы гарантировать, что схема может получить доступ к информации, необходимой для формирования решения.

Заявление

Чтобы сделать достаточно формально точную формулировку условия, необходимо определить следующие величины:

• Пространственная координата : одна из координат физического пространства , в котором ставится задача.
• Пространственная размерность задачи : число пространственных измерений , т.е. число пространственных координат физического пространства , в котором ставится задача. Типичные значения: , и . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$
• Время : координата , выступающая в качестве параметра , описывающего эволюцию системы, в отличие от пространственных координат.

Пространственные координаты и время являются дискретно-значными независимыми переменными , которые размещаются на регулярных расстояниях, называемых длиной интервала ^[3] и шагом времени , соответственно. Используя эти названия, условие CFL связывает длину шага времени с функцией длин интервалов каждой пространственной координаты и максимальной скорости, с которой информация может перемещаться в физическом пространстве.

С точки зрения функциональности условие CFL обычно предписывается для тех членов конечно-разностной аппроксимации общих уравнений в частных производных , которые моделируют явление адвекции . ^[4]

Одномерный случай

Для одномерного случая уравнение модели непрерывного времени (которое обычно решается относительно ) имеет вид: ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}=u{\frac {\partial w}{\partial x}}.}$

Тогда условие CFL имеет следующий вид:

${\displaystyle C={\frac {u\,\Delta t}{\Delta x}}\leq C_{\max }}$

где безразмерное число называется числом Куранта , ${\displaystyle C}$

• ${\displaystyle u}$это величина скорости ( размерность которой — длина/время)
• ${\displaystyle \Delta t}$это временной шаг ( размерностью которого является время)
• ${\displaystyle \Delta x}$— интервал длины ( размерностью которого является длина).

Значение изменяется в зависимости от метода, используемого для решения дискретизированного уравнения, особенно в зависимости от того, является ли метод явным или неявным . Если используется явный (временной) решатель, то обычно . Неявные (матричные) решатели обычно менее чувствительны к численной нестабильности, поэтому большие значения могут быть допустимы. ${\displaystyle C_{\max }}$ ${\displaystyle C_{\max }=1}$ ${\displaystyle C_{\max }}$

Двое и генералн-мерный случай

В двумерном случае условие CFL становится

${\displaystyle C={\frac {u_{x}\,\Delta t}{\Delta x}}+{\frac {u_{y}\,\Delta t}{\Delta y}}\leq C_{\max }}$

с очевидными значениями задействованных символов. По аналогии с двумерным случаем общее условие CFL для -мерного случая следующее: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle C=\Delta t\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}}{\Delta x_{i}}}\right)\leq C_{\max }.}$

Длина интервала не обязательно должна быть одинаковой для каждой пространственной переменной . Эта « степень свободы » может быть использована для некоторой оптимизации значения временного шага для конкретной задачи путем изменения значений различных интервалов, чтобы они не были слишком маленькими. ${\displaystyle \Delta x_{i},i=1,\ldots ,n}$

Примечания

1. См. ссылку Courant, Friedrichs & Lewy 1928. Существует также английский перевод немецкого оригинала 1928 года : см. ссылки Courant, Friedrichs & Lewy 1956 и Courant, Friedrichs & Lewy 1967.
2. Такая ситуация обычно возникает, когда гиперболический оператор частных производных аппроксимируется конечно - разностным уравнением , которое затем решается численными методами линейной алгебры .
3. Эта величина не обязательно одинакова для каждой пространственной переменной, как показано в разделе «Двумерный и общий n–мерный случай» этой записи: ее можно выбрать, чтобы несколько смягчить условие.
4. Именно, это и есть гиперболическая часть анализируемого уравнения в частных производных.

Ссылки

• Курант, Р .; Фридрихс, К .; Леви, Х. (1928), «Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik», Mathematische Annalen (на немецком языке), 100 (1): 32–74, Бибкод : 1928MatAn.100...32C, doi : 10.1007/BF01448839, JFM  54.0486.01, MR  1512478, S2CID  120760331.
• Курант, Р.; Фридрихс , К.; Леви , Х. (сентябрь 1956 г.) [1928], Об уравнениях в частных разностях математической физики, Отчет об исследованиях и разработках AEC, т. NYO-7689, Нью-Йорк: Центр вычислений и прикладной математики AEC – Институт математических наук Куранта , стр. V + 76, архивировано с оригинала 23 октября 2008 г..: перевод с немецкого Филлис Фокс. Это более ранняя версия статьи Куранта, Фридрихса и Леви 1967, распространенная как исследовательский отчет.
• Курант, Р.; Фридрихс , К.; Леви , Х. (март 1967 г.) [1928], «О частных разностных уравнениях математической физики», IBM Journal of Research and Development , 11 (2): 215–234, Bibcode : 1967IBMJ...11..215C, doi : 10.1147/rd.112.0215, MR  0213764, Zbl  0145.40402. Бесплатную копию можно скачать здесь.

• Карлос А. де Моура и Карлос С. Кубрусли (ред.): «Состояние Куранта-Фридрихса-Леви (CFL): 80 лет после его открытия», Биркхаузер, ISBN 978-0-8176-8393-1 (2013).

Внешние ссылки

• Бахвалов, Н.С. (2001) [1994], "Условие Куранта–Фридрихса–Леви", Энциклопедия математики , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Условие Куранта-Фридрихса-Леви». MathWorld .