Куча (математика)

Алгебраическая структура с тернарной операцией

В абстрактной алгебре полукуча — это алгебраическая структура , состоящая из непустого множества H с обозначенной тернарной операцией , удовлетворяющей модифицированному свойству ассоциативности: ^{[1] : 56} ${\displaystyle [x,y,z]\in H}$

$${\displaystyle \forall a,b,c,d,e\in H\quad [[a,b,c],d,e]=[a,[d,c,b],e]=[a,b,[c,d,e]].}$$

Биунитарный элемент h полукучи удовлетворяет условию [ h , h , k ] = k = [ k , h , h ] для каждого k в H. ^{[1] : 75, 6}

Куча — это полукуча , в которой каждый элемент биунитарен. ^{[1] : 80} Ее можно рассматривать как группу с «забытым» элементом идентичности.

Термин «куча» происходит от слова «груда», что по-русски означает «куча», «куча» или «стопка». Антон Сушкевич использовал этот термин в своей «Теории обобщенных групп» (1937), которая оказала влияние на Виктора Вагнера , пропагандиста полукучек, куч и обобщенных куч. ^{[1] : 11} Груда противопоставляется группе ( группе ), которая была принята в русский язык транслитерацией. Действительно, в английском тексте кучу называют groud . ^[2] )

Примеры

Двухэлементная куча

Превратимся в циклическую группу , определив единичный элемент, и . Затем он создает следующую кучу: ${\displaystyle H=\{a,b\}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle bb=a}$

${\displaystyle [a,a,a]=a,\,[a,a,b]=b,\,[b,a,a]=b,\,[b,a,b]=a,}$

${\displaystyle [a,b,a]=b,\,[a,b,b]=a,\,[b,b,a]=a,\,[b,b,b]=b.}$

Определив как элемент тождественности, выдали бы ту же кучу. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle aa=b}$

Куча целых чисел

Если являются целыми числами, мы можем настроить создание кучи. Затем мы можем выбрать любое целое число в качестве идентификатора новой группы в множестве целых чисел с помощью операции ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle [x,y,z]=x-y+z}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle x*y=x+y-k}$

и обратный

${\displaystyle x^{-1}=2k-x}$.

Куча группы

Предыдущие два примера можно обобщить на любую группу G , определив троичное отношение как использование умножения и обратного отношения G. ${\displaystyle [x,y,z]=xy^{-1}z,}$

Куча группоида с двумя объектами

Куча группы может быть снова обобщена на случай группоида , который имеет два объекта A и B , если рассматривать его как категорию . Элементы кучи можно идентифицировать с морфизмами от A до B, так что три морфизма x , y , z определяют операцию с кучей согласно ${\displaystyle [x,y,z]=xy^{-1}z.}$

Это сводится к куче группы, если в качестве тождества выбран конкретный морфизм между двумя объектами. Это интуитивно связывает описание изоморфизмов между двумя объектами в виде кучи и описание изоморфизмов между несколькими объектами в виде группоида.

Гетерогенные отношения

Пусть A и B — разные множества и совокупность разнородных отношений между ними. Определим тернарный оператор , где q ^T — обратное отношение q . Результатом этой композиции также является то, что в результате тройной операции была сформирована математическая структура. ^[3] Виктор Вагнер был мотивирован на создание этой кучи своим исследованием карт переходов в атласе , которые являются частичными функциями . ^[4] Таким образом, куча — это больше, чем просто настройка группы: это общая концепция, включающая группу в качестве тривиального случая. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(A,B)}$ ${\displaystyle p,q,r\in {\mathcal {B}}(A,B)}$ ${\displaystyle [p,q,r]=pq^{T}r}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(A,B)}$

Теоремы

Теорема : Полукуча с биунитарным элементом e может рассматриваться как инволютивная полугруппа с операцией, заданной ab = [ a , e , b ] и инволюцией a ^–1 = [ e , a , e ]. ^{[1] : 76}

Когда приведенная выше конструкция применяется к куче, результатом фактически является группа. ^{[1] : 143} Обратите внимание, что единица e группы может быть выбрана в качестве любого элемента кучи.

Теорема : Любая полукуча может быть вложена в инволютивную полугруппу . ^{[1] : 78}

Как и при изучении полугрупп , структура полукучек описывается в терминах идеалов , при этом «i-простая полукуча» не имеет собственных идеалов. Мустафаева перевела отношения Грина теории полугрупп на полукучи и определила класс ρ как те элементы, которые порождают один и тот же принцип двустороннего идеала. Затем он доказал, что ни одна i-простая полукуча не может иметь более двух ρ классов. ^[5]

Он также описал классы регулярности полукучи S :

${\displaystyle D(m,n)=\{a\mid \exists x\in S:a=a^{n}xa^{m}\}}$где n и m имеют одинаковую четность , а троичная операция полукучи применяется слева от строки из S .

Он доказывает, что S может иметь не более пяти классов регулярности. Мустафаев называет идеал B «изолированным», когда Он затем доказывает, что когда S = D(2,2), то каждый идеал изолирован, и наоборот. ^[6] ${\displaystyle a^{n}\in B\implies a\in B.}$

Изучая полукучку Z( A, B ) гетерогенных отношений между множествами A и B , в 1974 г. К.А. Зарецкий, следуя примеру Мустафаева, описал идеальную эквивалентность, классы регулярности и идеальные факторы полукучи. ^[7]

Обобщения и родственные концепции

• Псевдокуча или псевдогруд удовлетворяет частичному параассоциативному условию [ ^4]

  ${\displaystyle [[a,b,c],d,e]=[a,b,[c,d,e]].}$^{[ сомнительно ]}

• Операция Мальцева удовлетворяет закону тождества, но не обязательно параассоциативному закону, ^[8] то есть тернарной операции на множестве, удовлетворяющей тождеству . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x,x,y)=f(y,x,x)=y}$
• Полукуча или полугруда должны удовлетворять только параассоциативному закону, но не обязательно подчиняться закону тождества . ^[9]

  Примером полугруппы, которая вообще не является группой , является M — кольцо матриц фиксированного размера с

  $${\displaystyle [x,y,z]=x\cdot y^{\mathrm {T} }\cdot z}$$

  где • обозначает умножение матрицы , а T обозначает транспонирование матрицы . ^[9]

• Идемпотентная полукуча — это полукуча, в которой для всех a . ${\displaystyle [a,a,a]=a}$
• Обобщенная куча или обобщенная груда — это идемпотентная полукуча, в которой
  $${\displaystyle [a,a,[b,b,x]]=[b,b,[a,a,x]]}$$
  и
  $${\displaystyle [[x,a,a],b,b]=[[x,b,b],a,a]}$$
  для всех а и б .

Полугруппа является обобщенной группой, если отношение → определяется формулой

$${\displaystyle a\rightarrow b\Leftrightarrow [a,b,a]=a}$$

идемпотентностьантисимметричнаотношением порядка^[10]

Смотрите также

• n -арная ассоциативность

Примечания

1. CD Hollings & MV Lawson (2017) Теория обобщенных куч Вагнера , книги Springer ISBN  978-3-319-63620-7 MR 3729305
2. Шейн (1979), стр. 101–102: сноска (о)
3. Кристофер Холлингс (2014) Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп , страницы 264,5, История математики 41, ISBN Американского математического общества 978-1-4704-1493-1 
4. Вагнер (1968)
5. Л.Г. Мустафаев (1966) "Идеальные эквивалентности полукучек" MR 0202892
6. Л.Г. Мустафаев (1965) "Классы регулярности полукучек" МР 0209386
7. К. А. Зарецкий (1974) "Полукучи бинарных отношений" МР 0364526
8. Борсо, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, Протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-1961-6.
9. Молдавская, З.Я. «Линейные полукучи». Доповиди Ахад. Наук Украины . РСР сер. А. 1971 : 888–890, 957. МР  0297918.
10. Шейн (1979) стр.104

Рекомендации

• Антон Сушкевич (1929) «Об обобщении ассоциативного закона», Труды Американского математического общества 31 (1): 204–14 doi : 10.1090/S0002-9947-1929-1501476-0 MR 1501476
• Шейн, Борис (1979). «Инверсные полугруппы и обобщенные группы». В А.Ф. Лаврике (ред.). Двенадцать статей по логике и алгебре . амер. Математика. Соц. Перевод Том. 113. Американское математическое общество . стр. 89–182. ISBN 0-8218-3063-5.
• Вагнер, В.В. (1968). «К алгебраической теории координатных атласов, II». Труди Сем. Вектор. Тензор. Анальный. (на русском). 14 : 229–281. МР  0253970.

Внешние ссылки

• Сорт Мальцев в n Lab