Чарльз Лёвнер

Американский математик (1893–1968)

Чарльз Лёвнер (29 мая 1893 – 8 января 1968) был американским математиком . Его имя было Карел Лёвнер в Чехии и Карл Лёвнер в Германии.

Ранняя жизнь и карьера

Карл Лёвнер родился в еврейской семье в Ланах, примерно в 30 км от Праги, где его отец Зигмунд Лёвнер был владельцем магазина. ^{[1] [2]}

Лёвнер получил докторскую степень в Пражском университете в 1917 году под руководством Георга Пика . Одним из его центральных математических вкладов является доказательство гипотезы Бибербаха в первом весьма нетривиальном случае третьего коэффициента. Представленная им техника, дифференциальное уравнение Лёвнера , имела далеко идущие последствия в геометрической теории функций ; она была использована в окончательном решении гипотезы Бибербаха Луи де Бранжем в 1985 году. Лёвнер работал в Берлинском университете , Пражском университете , Луисвиллском университете , Брауновском университете , Сиракузском университете и, в конечном итоге, в Стэнфордском университете . Среди его учеников — Липман Берс , Роджер Хорн , Адриано Гарсия и П. М. Пу .

Неравенство тора Лёвнера

В 1949 году Лёвнер доказал свое неравенство тора , согласно которому каждая метрика на 2-торе удовлетворяет оптимальному неравенству

${\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}),}$

где sys — его систола . Граничный случай равенства достигается тогда и только тогда, когда метрика плоская и гомотетична так называемому равностороннему тору , то есть тору, группа преобразований палубы которого — это в точности шестиугольная решетка, натянутая на кубические корни из единицы в . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Теорема о матрице Левнера

Матрица Лёвнера (в линейной алгебре ) представляет собой квадратную матрицу или, более конкретно, линейный оператор (действительных функций), связанный с 2 ​​входными параметрами, состоящими из (1) действительной непрерывно дифференцируемой функции на подынтервале действительных чисел и (2) -мерного вектора с элементами, выбранными из подынтервала; 2 входным параметрам назначается выходной параметр, состоящий из матрицы . ^[3] ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$

Пусть — действительная функция, непрерывно дифференцируемая на открытом интервале . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Для любого определим разделенную разность как ${\displaystyle s,t\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s,t}$

${\displaystyle f^{[1]}(s,t)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(s)-f(t)}{s-t}},&{\text{if }}s\neq t\\f'(s),&{\text{if }}s=t\end{cases}}}$.

При условии , матрица Лёвнера , связанная с for, определяется как матрица , -элемент которой равен . ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)}$ ${\displaystyle L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle f^{[1]}(t_{i},t_{j})}$

В своей фундаментальной работе 1934 года Лёвнер доказал, что для каждого положительного целого числа , является -монотонным на тогда и только тогда, когда является положительно полуопределенным для любого выбора . ^{[3] [4] [5]} Наиболее существенно, используя эту эквивалентность, он доказал, что является -монотонным на для всех тогда и только тогда, когда является вещественно-аналитическим с аналитическим продолжением на верхнюю полуплоскость, которая имеет положительную мнимую часть на верхней плоскости. См. Операторная монотонная функция . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

Постоянные группы

«Во время визита [Лёвнера] в Беркли в 1955 году он читал курс по непрерывным группам , и его лекции были воспроизведены в виде дублированных заметок. Лёвнер планировал написать подробную книгу по непрерывным группам на основе этих лекционных заметок, но проект все еще находился в стадии формирования на момент его смерти». Харли Фландерс и Мюррей Х. Проттер «решили пересмотреть и исправить оригинальные лекционные заметки и сделать их доступными в постоянной форме». ^[6] Чарльз Лёвнер: Теория непрерывных групп (1971) была опубликована издательством The MIT Press , ^[7] и переиздана в 2008 году. ^[8]

В терминологии Лёвнера, если и групповое действие выполняется над , то называется величиной (стр. 10). Проводится различие между абстрактной группой и реализацией в терминах линейных преобразований , которые дают представление группы . Эти линейные преобразования обозначаются якобианами (стр. 41). Термин инвариантная плотность используется для меры Хаара , которую Лёвнер приписывает Адольфу Гурвицу (стр. 46). Лёвнер доказывает, что компактные группы имеют равные левые и правые инвариантные плотности (стр. 48). ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle J({\overset {u}{v}})}$

Рецензент сказал: «Читателю помогают яркие примеры и комментарии, касающиеся связи с анализом и геометрией» ^{[9] .}

Смотрите также

• Эллипсоид Лёвнера-Джона
• Эволюция Шрамма–Лёвнера
• Случайное блуждание со стертыми петлями
• Систолы поверхностей

Ссылки

• Бергер, Марсель : À l'ombre de Loewner. (Французский) Энн. наук. Эколь Норм. Как дела. (4) 5 (1972), 241–260.
• Лёвнер, Чарльз; Ниренберг, Луис: Уравнения с частными производными, инвариантные относительно конформных или проективных преобразований. Вклад в анализ (сборник статей, посвященных Липману Берсу), стр. 245–272. Academic Press, Нью-Йорк, 1974.

1. Биография Лёвнера
2. 2.2 Чарльз Лёвнер
3. Хиай, Фумио; Сано, Такаши (2012). «Матрицы Лёвнера матричных выпуклых и монотонных функций». Журнал Математического общества Японии . 54 (2): 343–364. arXiv : 1007.2478 . дои : 10.2969/jmsj/06420343. S2CID  117532480.
4. Лёвнер, Карл (1934). «Убер монотонные матричные функции». Mathematische Zeitschrift . 38 (1): 177–216. дои : 10.1007/BF01170633. S2CID  121439134.
5. Лёвнер, Чарльз (1950). «Некоторые классы функций, определяемые разностными или дифференциальными неравенствами». Bull. Amer. Math. Soc . 56 (4): 308–319. doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09405-1 .
6. Предисловие, страница ix
7. Левнер, Чарльз (1971). Теория непрерывных групп . ISBN 0-262-06-041-8.
8. Лёвнер, Чарльз; Фландерс, Харли; Проттер, Мюррей Х. (2008). Дуврское переиздание. ISBN 9780486462929.
9. Дин Монтгомери MR 0315038

Внешние ссылки

• Резолюция мемориала Стэнфорда
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Чарльз Лёвнер», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс