Гамильтонова оптика

Гамильтонова оптика ^[1] и лагранжева оптика ^[2] — это две формулировки геометрической оптики , которые во многом разделяют математический формализм с гамильтоновой механикой и лагранжевой механикой .

принцип Гамильтона

В физике принцип Гамильтона утверждает, что эволюция системы, описываемой обобщенными координатами между двумя заданными состояниями при двух заданных параметрах σ _A и σ _B, является стационарной точкой (точкой, в которой вариация равна нулю) функционала действия , или где и — лагранжиан . Условие справедливо тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Эйлера-Лагранжа, т. е. при . ${\displaystyle \left(q_{1}{\left(\sigma \right)},\dots ,q_{N}{\left(\sigma \right)}\right)}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(q_{1},\cdots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{N},\sigma \right)\,d\sigma =0}$$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{k}=dq_{k}/d\sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \delta S=0}$ $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0}$$ ${\displaystyle k=1,\dots ,N}$

Импульс определяется как и уравнения Эйлера–Лагранжа можно переписать как, где . $${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}}$$ $${\displaystyle {\dot {p}}_{k}={\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}}$$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma }$

Другой подход к решению этой проблемы состоит в определении гамильтониана (принимая преобразование Лежандра от лагранжиана ) , для которого можно вывести новый набор дифференциальных уравнений , рассматривая, как полный дифференциал лагранжиана зависит от параметра σ , положений и их производных относительно σ . Этот вывод такой же, как в гамильтоновой механике, только время t теперь заменено общим параметром σ . Эти дифференциальные уравнения являются уравнениями Гамильтона с . Уравнения Гамильтона являются дифференциальными уравнениями первого порядка , в то время как уравнения Эйлера-Лагранжа являются дифференциальными уравнениями второго порядка. $${\displaystyle H=\sum _{k}{{\dot {q}}_{k}}p_{k}-L}$$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {q}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial \sigma }}=-{\partial L \over \partial \sigma }\,.}$$ ${\displaystyle k=1,\dots ,N}$

Лагранжева оптика

Общие результаты, представленные выше для принципа Гамильтона, могут быть применены к оптике. ^{[3] [4]} В трехмерном евклидовом пространстве обобщенные координаты теперь являются координатами евклидова пространства .

принцип Ферма

Принцип Ферма гласит, что оптическая длина пути, пройденного светом между двумя фиксированными точками A и B , является стационарной точкой. Это может быть максимум, минимум, константа или точка перегиба . В общем случае, по мере распространения света, он движется в среде с переменным показателем преломления , которая является скалярным полем положения в пространстве, то есть в трехмерном евклидовом пространстве . Предполагая теперь, что свет распространяется вдоль оси x ₃ , путь светового луча можно параметризовать как начинающийся в точке и заканчивающийся в точке . В этом случае, по сравнению с принципом Гамильтона выше, координаты и играют роль обобщенных координат, в то время как играет роль параметра , то есть параметра σ  = x ₃ и N =2. ${\displaystyle n=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}$ ${\displaystyle s=\left(x_{1}\left(x_{3}\right),x_{2}\left(x_{3}\right),x_{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(x_{1}\left(x_{3A}\right),x_{2}\left(x_{3A}\right),x_{3A}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\left(x_{1}\left(x_{3B}\right),x_{2}\left(x_{3B}\right),x_{3B}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \sigma }$

В контексте вариационного исчисления это можно записать как ^[2] где ds — бесконечно малое смещение вдоль луча, заданное выражением , а — оптический лагранжиан и . $${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}n{\frac {ds}{dx_{3}}}\,dx_{3}=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}L\left(x_{1},x_{2},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},x_{3}\right)\,dx_{3}=0}$$ ${\textstyle ds={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}$ $${\displaystyle L=n{\frac {ds}{dx_{3}}}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$

Длина оптического пути (OPL) определяется как , где n — локальный показатель преломления как функция положения вдоль пути между точками A и B. $${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }L\,dx_{3}}$$

Уравнения Эйлера-Лагранжа

Общие результаты, представленные выше для принципа Гамильтона, могут быть применены к оптике с использованием лагранжиана, определенного в принципе Ферма. Уравнения Эйлера-Лагранжа с параметром σ  = x ₃ и N =2, примененные к принципу Ферма, приводят к при k = 1, 2 и где L — оптический лагранжиан, а . $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{dx_{3}}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$

Оптический импульс

Оптический импульс определяется как и из определения оптического лагранжиана это выражение можно переписать как $${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}}$$ ${\textstyle L=n{\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$ $${\displaystyle p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}}$$

Оптический импульс

или в векторной форме , где - единичный вектор , а углы α ₁ , α ₂ и α ₃ - углы, которые p образует с осями x ₁ , x ₂ и x ₃ соответственно, как показано на рисунке "оптический импульс". Таким образом, оптический импульс - это вектор нормы, где n - показатель преломления, при котором вычисляется p . Вектор p указывает в направлении распространения света. Если свет распространяется в градиентной оптике, то путь светового луча искривляется, а вектор p касается светового луча. $${\displaystyle \mathbf {p} =n{\frac {\mathbf {ds} }{ds}}=\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(n\cos \alpha _{1},n\cos \alpha _{2},n\cos \alpha _{3}\right)=n\mathbf {\hat {e}} }$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }$ $${\displaystyle \|\mathbf {p} \|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}=n}$$

Выражение для оптической длины пути можно также записать как функцию оптического импульса. Имея в виду, что выражение для оптического лагранжиана можно переписать как и выражение для оптической длины пути имеет вид ${\displaystyle {\dot {x}}_{3}=dx_{3}/dx_{3}=1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}\\[1ex]&={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S=\int L\,dx_{3}=\int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} }$$

Уравнения Гамильтона

Подобно тому, что происходит в гамильтоновой механике , в оптике гамильтониан определяется выражением, приведенным выше для N = 2, соответствующим функциям и , которые должны быть определены ${\displaystyle x_{1}{\left(x_{3}\right)}}$ ${\displaystyle x_{2}{\left(x_{3}\right)}}$ $${\displaystyle H={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}-L}$$

Сравнение этого выражения с выражением для Лагранжа приводит к ${\displaystyle L={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}}$ $${\displaystyle H=-p_{3}=-{\sqrt {n^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}}$$

А соответствующие уравнения Гамильтона с параметром σ  = x ₃ и k =1,2, примененные к оптике, имеют вид ^{[5] [6]} с и . $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/dx_{3}}$

Приложения

Предполагается, что свет распространяется вдоль _оси x3 , в приведенном выше принципе Гамильтона координаты и играют роль обобщенных координат _, а играет роль параметра , то есть параметр σ  = x3 и N =2. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Преломление и отражение

Если плоскость x ₁ x ₂ разделяет две среды с показателем преломления n _A снизу и n _B сверху, то показатель преломления задается ступенчатой ​​функцией и из уравнений Гамильтона и, следовательно, или для k = 1, 2 . $${\displaystyle n(x_{3})={\begin{cases}n_{A}&{\text{if }}x_{3}<0\\n_{B}&{\text{if }}x_{3}>0\\\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\sqrt {n(x_{3})^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}=0}$$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=0}$ ${\displaystyle p_{k}={\text{Constant}}}$

Входящий световой луч имеет импульс p _A до преломления (ниже плоскости x ₁ x ₂ ) и импульс p _B после преломления (выше плоскости x ₁ x ₂ ). Световой луч образует угол θ _A с осью x ₃ (нормалью к преломляющей поверхности) до преломления и угол θ _B с осью x ₃ после преломления. Поскольку компоненты p ₁ и p ₂ импульса постоянны, только p ₃ изменяется от p _{3 A} до p _{3 B} .

Рефракция

Рисунок «преломление» показывает геометрию этого преломления, из которого . Поскольку и , это последнее выражение можно записать как что является законом преломления Снеллиуса . ${\displaystyle d=\|\mathbf {p} _{A}\|\sin \theta _{A}=\|\mathbf {p} _{B}\|\sin \theta _{B}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {p} _{A}\|=n_{A}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {p} _{B}\|=n_{B}}$ $${\displaystyle n_{A}\sin \theta _{A}=n_{B}\sin \theta _{B}}$$

На рисунке «преломление» нормаль к преломляющей поверхности направлена ​​в направлении оси x ₃ , а также вектора . Единица нормали к преломляющей поверхности может быть получена из импульсов входящего и исходящего лучей по формуле , где i и r — единичные векторы в направлениях падающего и преломленного лучей. Кроме того, выходящий луч (в направлении ) содержится в плоскости, определяемой входящим лучом (в направлении ) и нормалью к поверхности. ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {v} /\|\mathbf {v} \|}$ $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}}{\|\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}\|}}={\frac {n_{A}\mathbf {i} -n_{B}\mathbf {r} }{\|n_{A}\mathbf {i} -n_{B}\mathbf {r} \|}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Аналогичный аргумент можно использовать для отражения при выводе закона зеркального отражения , только теперь с n _A = n _B , что приводит к θ _A = θ _B. Кроме того, если i и r являются единичными векторами в направлениях падающего и преломленного луча соответственно, соответствующая нормаль к поверхности задается тем же выражением, что и для преломления, только с n _A = n _B. $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {i} -\mathbf {r} }{\|\mathbf {i} -\mathbf {r} \|}}}$$

В векторной форме, если i — единичный вектор, указывающий в направлении падающего луча, а n — единичная нормаль к поверхности, направление r преломленного луча определяется как: ^[3] где $${\displaystyle \mathbf {r} ={\frac {n_{A}}{n_{B}}}\mathbf {i} +\left(-\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right){\frac {n_{A}}{n_{B}}}+{\sqrt {\Delta }}\right)\mathbf {n} }$$ $${\displaystyle \Delta =1-\left({\frac {n_{A}}{n_{B}}}\right)^{2}\left(1-\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right)^{2}\right)}$$

Если i ⋅ n <0, то в расчетах следует использовать − n . Когда , свет испытывает полное внутреннее отражение , и выражение для отраженного луча является выражением отражения: ${\displaystyle \Delta <0}$ $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {i} -2\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {n} }$$

Лучи и волновые фронты

Из определения длины оптического пути ${\textstyle S=\int L\,dx_{3}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{k}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{k}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{k}}$$

Лучи и волновые фронты

при k = 1,2, где использовались уравнения Эйлера-Лагранжа при k = 1,2. Также из последнего из уравнений Гамильтона и из вышеприведенного объединения уравнений для компонент импульса p получается ${\displaystyle \partial L/\partial x_{k}=dp_{k}/dx_{3}}$ ${\displaystyle \partial H/\partial x_{3}=-\partial L/\partial x_{3}}$ ${\displaystyle H=-p_{3}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{3}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{3}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{3}}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$$

Поскольку p — вектор, касательный к световым лучам, поверхности S =Constant должны быть перпендикулярны этим световым лучам. Эти поверхности называются волновыми фронтами . Рисунок «лучи и волновые фронты» иллюстрирует эту связь. Также показан оптический импульс p , касательный к световому лучу и перпендикулярный волновому фронту.

Вектор поля является консервативным векторным полем . Теорема о градиенте может быть применена к оптической длине пути (как указано выше), что приводит к и оптическая длина пути S, вычисленная вдоль кривой C между точками A и B, является функцией только ее конечных точек A и B , а не формы кривой между ними. В частности, если кривая замкнута, она начинается и заканчивается в одной и той же точке, или A = B, так что ${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$ $${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\nabla S\cdot d\mathbf {s} =S(\mathbf {B} )-S(\mathbf {A} )}$$ $${\displaystyle S=\oint \nabla S\cdot d\mathbf {s} =0}$$

Этот результат можно применить к замкнутому контуру ABCDA , как показано на рисунке «Длина оптического пути». $${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {C} }^{\mathbf {D} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {D} }^{\mathbf {A} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =0}$$

Длина оптического пути

для сегмента кривой AB оптический импульс p перпендикулярен смещению d s вдоль кривой AB , или . То же самое верно для сегмента CD . Для сегмента BC оптический импульс p имеет то же направление, что и смещение d s и . Для сегмента DA оптический импульс p имеет противоположное направление смещению d s и . Однако, инвертируя направление интегрирования так, чтобы интеграл брался от A до D , d s инвертирует направление и . Из этих соображений или и оптическая длина пути S _BC между точками B и C вдоль луча, соединяющего их, такая же, как оптическая длина пути S _AD между точками A и D вдоль луча, соединяющего их. Оптическая длина пути постоянна между волновыми фронтами. ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =nds}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =-n\,ds}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =n\,ds}$ $${\displaystyle \int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {D} }n\,ds}$$ $${\displaystyle S_{\mathbf {BC} }=S_{\mathbf {AD} }}$$

Фазовое пространство

Рисунок "2D фазовое пространство" показывает вверху некоторые световые лучи в двумерном пространстве. Здесь x ₂ =0 и p ₂ =0, поэтому свет распространяется по плоскости x ₁ x ₃ в направлениях возрастающих значений x _3. В этом случае направление светового луча полностью определяется компонентой импульса p _{1 ,} поскольку p ₂ =0. Если задано p _{1 , можно вычислить} p ₃ (при заданном значении показателя преломления n ), и поэтому p ₁ достаточно для определения направления светового луча. Показатель преломления среды, в которой распространяется луч, определяется выражением . ${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{3})}$ ${\displaystyle \|\mathbf {p} \|=n}$

2D фазовое пространство

Например, луч r _C пересекает ось x ₁ в точке с координатой x _B с оптическим импульсом p _C , кончик которого лежит на окружности радиуса n с центром в точке x _B . Координата x _B и горизонтальная координата p _{1 C} импульса p _C полностью определяют луч r _C при пересечении им оси x ₁ . Затем этот луч можно определить точкой r _C =( x _B , p _{1 C} ) в пространстве x ₁ p ₁ , как показано в нижней части рисунка. Пространство x ₁ p ₁ называется фазовым пространством , и различные световые лучи могут быть представлены различными точками в этом пространстве.

Таким образом, луч r _D, показанный вверху, представлен точкой r _D в фазовом пространстве внизу. Все лучи, пересекающие ось x ₁ в координате x _B, заключенной между лучами r _C и r _D, представлены вертикальной линией, соединяющей точки r _C и r _D в фазовом пространстве. Соответственно, все лучи, пересекающие ось x ₁ в координате x _A, заключенной между лучами r _A и r _B, представлены вертикальной линией, соединяющей точки r _A и r _B в фазовом пространстве. В общем случае все лучи, пересекающие ось x ₁ между x _L и x _R, представлены объемом R в фазовом пространстве. Лучи на границе ∂ R объема R называются краевыми лучами. Например, в позиции x _A оси x ₁ лучи r _A и r _B являются краевыми лучами, поскольку все другие лучи заключены между этими двумя. (Луч, параллельный x1, не будет находиться между двумя лучами, поскольку импульс не находится между двумя лучами)

В трехмерной геометрии оптический импульс задается с . Если заданы p ₁ и p _{2 ,} p ₃ может быть вычислен (при заданном значении показателя преломления n ) и, следовательно, p ₁ и p ₂ достаточно для определения направления светового луча. Луч, движущийся вдоль оси x ₃ , тогда определяется точкой ( x ₁ , x ₂ ) в плоскости x ₁ x ₂ и направлением ( p ₁ , p ₂ ). Затем он может быть определен точкой в ​​четырехмерном фазовом пространстве x ₁ x ₂ p ₁ p ₂ . ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})}$ ${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}}$

Сохранение этэндю

На рисунке «изменение объема» показан объем V, ограниченный площадью A. Со временем, если граница A движется, объем V может изменяться. В частности, бесконечно малая площадь dA с направленной наружу единичной нормалью n движется со скоростью v .

Изменение объема

Это приводит к изменению объема . Используя теорему Гаусса , изменение во времени полного объема V , движущегося в пространстве, равно ${\displaystyle dV=dA(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )dt}$ $${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=\int _{A}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dA=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV}$$

Самый правый член — это объемный интеграл по объему V , а средний член — это поверхностный интеграл по границе A объема V. Кроме того, v — это скорость, с которой движутся точки в V.

В оптике координата играет роль времени. В фазовом пространстве луч света определяется точкой , которая движется со « скоростью » , где точка представляет собой производную относительно . Набор световых лучей, распространяющихся по координате , по координате , по координате и по координате занимает объем в фазовом пространстве. В общем случае большой набор лучей занимает большой объем в фазовом пространстве, к которому может быть применена теорема Гаусса и с использованием уравнений Гамильтона или и что означает, что объем фазового пространства сохраняется при прохождении света по оптической системе. ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {p}}_{1},{\dot {p}}_{2})}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle dx_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle dx_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle dp_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle dp_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\frac {dV}{dx_{3}}}=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial {\dot {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{2}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{2}}}=0}$$ ${\displaystyle dV/dx_{3}=0}$ ${\displaystyle dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}={\text{Constant}}}$

Объем, занимаемый набором лучей в фазовом пространстве, называется etendue , который сохраняется при прохождении световых лучей в оптической системе вдоль направления x _3. Это соответствует теореме Лиувилля , которая также применима к гамильтоновой механике .

Однако значение теоремы Лиувилля в механике довольно сильно отличается от теоремы о сохранении étendue. Теорема Лиувилля по сути статистическая по своей природе и относится к эволюции во времени ансамбля механических систем с идентичными свойствами, но с различными начальными условиями. Каждая система представлена ​​одной точкой в ​​фазовом пространстве, и теорема утверждает, что средняя плотность точек в фазовом пространстве постоянна во времени. Примером могут служить молекулы идеального классического газа, находящиеся в равновесии в контейнере. Каждая точка в фазовом пространстве, которая в этом примере имеет 2N измерений, где N — число молекул, представляет собой одну из ансамбля идентичных контейнеров, ансамбля, достаточно большого, чтобы позволить взять статистическое среднее плотности представительных точек. Теорема Лиувилля утверждает, что если все контейнеры остаются в равновесии, средняя плотность точек остается постоянной. ^[3]

Изображающая и неизображающая оптика

На рисунке «Сохранение этендю» слева показана схематическая двумерная оптическая система, в которой x ₂ =0 и p ₂ =0, поэтому свет распространяется в плоскости x ₁ x ₃ в направлениях увеличения значений x ₃ .

Сохранение этэндю

Световые лучи, пересекающие входную апертуру оптики в точке x ₁ = x _I , заключены между краевыми лучами r _A и r _B, представленными вертикальной линией между точками r _A и r _B в фазовом пространстве входной апертуры (правый нижний угол рисунка). Все лучи, пересекающие входную апертуру, представлены в фазовом пространстве областью R _I .

Также, световые лучи, пересекающие выходную апертуру оптики в точке x ₁ = x _O , содержатся между краевыми лучами r _A и r _B, представленными вертикальной линией между точками r _A и r _B в фазовом пространстве выходной апертуры (правый верхний угол рисунка). Все лучи, пересекающие выходную апертуру, представлены в фазовом пространстве областью R _O .

Сохранение энтропии в оптической системе означает, что объем (или площадь в данном двумерном случае) в фазовом пространстве, занимаемый R _I на входном отверстии, должен быть таким же, как объем в фазовом пространстве, занимаемый R _O на выходном отверстии.

В оптике изображения все световые лучи, пересекающие входную апертуру при x ₁ = x _{I ,} перенаправляются ею к выходной апертуре при x ₁ = x _O , где x _I = mx _O . Это гарантирует, что на выходе формируется изображение входа с увеличением m . В фазовом пространстве это означает, что вертикальные линии в фазовом пространстве на входе преобразуются в вертикальные линии на выходе. Это был бы случай вертикальной линии r _A r _B в R _{I ,} преобразованной в вертикальную линию r _A r _B в R _O .

В неизображающей оптике целью является не формирование изображения, а просто передача всего света из входной апертуры в выходную апертуру. Это достигается путем преобразования краевых лучей ∂ R _I из R _I в краевые лучи ∂ R _O из R _O . Это известно как принцип краевых лучей .

Обобщения

Выше предполагалось, что свет распространяется вдоль оси x ₃ , в приведенном выше принципе Гамильтона координаты и играют роль обобщенных координат , а играет роль параметра , то есть параметра σ  = x ₃ и N = 2. Однако возможны различные параметризации световых лучей, а также использование обобщенных координат . ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Общая параметризация лучей

Можно рассмотреть более общую ситуацию, в которой путь светового луча параметризован как , в котором σ является общим параметром. В этом случае, по сравнению с принципом Гамильтона выше, координаты , и играют роль обобщенных координат с N =3. Применение принципа Гамильтона к оптике в этом случае приводит к тому, что теперь и и для которого уравнения Эйлера-Лагранжа, примененные к этой форме принципа Ферма, приводят к с k =1,2,3 и где L является оптическим лагранжианом. Также в этом случае оптический импульс определяется как , а гамильтониан P определяется выражением, приведенным выше для N =3, соответствующим функциям , и должен быть определен ${\displaystyle s=\left(x_{1}{\left(\sigma \right)},x_{2}{\left(\sigma \right)},x_{3}{\left(\sigma \right)}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}n{\frac {ds}{d\sigma }}\,d\sigma \\&=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3},\sigma \right)\,d\sigma =0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L=nds/d\sigma }$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0}$$ $${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}}$$ ${\displaystyle x_{1}{\left(\sigma \right)}}$ ${\displaystyle x_{2}{\left(\sigma \right)}}$ ${\displaystyle x_{3}{\left(\sigma \right)}}$ $${\displaystyle P={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}-L}$$

А соответствующие уравнения Гамильтона с k =1,2,3 прикладной оптики имеют вид с и . $${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma }$

Оптический лагранжиан задается и явно не зависит от параметра σ . По этой причине не все решения уравнений Эйлера-Лагранжа будут возможными световыми лучами, поскольку их вывод предполагал явную зависимость L от σ , чего не происходит в оптике. $${\displaystyle L=n{\frac {ds}{d\sigma }}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}=L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3}\right)}$$

Компоненты оптического импульса можно получить из откуда . Выражение для лагранжиана можно переписать как $${\displaystyle p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{3}{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}\\&={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}\end{aligned}}}$$

Сравнивая это выражение для L с выражением для гамильтониана P, можно сделать вывод, что $${\displaystyle P=0}$$

Из выражений для компонент оптического импульса следует ${\displaystyle p_{k}}$ $${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0}$$

Оптический гамильтониан выбирается как $${\displaystyle P=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0}$$

хотя можно сделать и другой выбор. ^{[3] [4]} Уравнения Гамильтона с k = 1, 2, 3, определенные выше, вместе определяют возможные световые лучи. ${\displaystyle P=0}$

Обобщенные координаты

Как и в гамильтоновой механике , уравнения гамильтоновой оптики можно записать в терминах обобщенных координат , обобщенных импульсов и гамильтониана P следующим образом ^{[3] [4]} ${\displaystyle \left(q_{1}\left(\sigma \right),q_{2}\left(\sigma \right),q_{3}\left(\sigma \right)\right)}$ ${\displaystyle \left(u_{1}\left(\sigma \right),u_{2}\left(\sigma \right),u_{3}\left(\sigma \right)\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dq_{1}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{1}}}\quad \quad {\frac {du_{1}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{1}}}\\{\frac {dq_{2}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{2}}}\quad \quad {\frac {du_{2}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{2}}}\\{\frac {dq_{3}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{3}}}\quad \quad {\frac {du_{3}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{3}}}\\P&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} -n^{2}=0\end{aligned}}}$$где оптический импульс задается как и , и являются единичными векторами . Частный случай получается, когда эти векторы образуют ортонормальный базис , то есть все они перпендикулярны друг другу. В этом случае является косинусом угла, который оптический импульс составляет с единичным вектором . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=u_{1}\nabla q_{1}+u_{2}\nabla q_{2}+u_{3}\nabla q_{3}\\&=u_{1}\|\nabla q_{1}\|{\frac {\nabla q_{1}}{\|\nabla q_{1}\|}}+u_{2}\|\nabla q_{2}\|{\frac {\nabla q_{2}}{\|\nabla q_{2}\|}}+u_{3}\|\nabla q_{3}\|{\frac {\nabla q_{3}}{\|\nabla q_{3}\|}}\\&=u_{1}a_{1}\mathbf {\hat {e}} _{1}+u_{2}a_{2}\mathbf {\hat {e}} _{2}+u_{3}a_{3}\mathbf {\hat {e}} _{3}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{3}}$ ${\displaystyle u_{k}a_{k}/n}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{k}}$

Смотрите также

• Учебные материалы, связанные с простым одномерным выводом гамильтоновой оптики в Викиверситете
• Гамильтонова механика
• Оптико-механическая аналогия Гамильтона
• Вариационное исчисление

Ссылки

1. HA Buchdahl, Введение в гамильтонову оптику , Dover Publications, 1993, ISBN  978-0486675978 .
2. Васудеван Лакшминараянан и др., Лагранжева оптика , Springer Netherlands, 2011, ISBN 978-0792375821 . 
3. Чавес, Хулио (2015). Введение в неизображающую оптику, второе издание. CRC Press . ISBN 978-1482206739.
4. Роланд Уинстон и др., Невизуализирующая оптика , Academic Press, 2004, ISBN 978-0127597515 . 
5. Дитрих Маркузе, Оптика пропускания света , Van Nostrand Reinhold Company, Нью-Йорк, 1972, ISBN 978-0894643057 . 
6. Рудольф Карл Люнебург, Математическая теория оптики , Издательство Калифорнийского университета, Беркли, Калифорния, 1964, стр. 90.