Лагранжева система

В математике лагранжева система — это пара ( Y , L ) , состоящая из гладкого расслоения Y → X и лагранжевой плотности L , которая дает дифференциальный оператор Эйлера–Лагранжа, действующий на сечениях Y → X.

В классической механике многие динамические системы являются лагранжевыми системами. Конфигурационное пространство такой лагранжевой системы представляет собой расслоение волокон над осью времени . В частности, если система отсчета фиксирована. В классической теории поля все полевые системы являются лагранжевыми. ${\displaystyle Q\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Q=\mathbb {R} \times M}$

Лагранжианы и операторы Эйлера–Лагранжа

Плотность лагранжиана L (или просто лагранжиан ) порядка r определяется как n -форма , n = dim X , на многообразии струй r -го порядка J ^r Y функции Y .

Лагранжиан L может быть введен как элемент вариационного бикомплекса дифференциальной градуированной алгебры O ^∗ _∞ ( Y ) внешних форм на многообразиях струй Y → X. Кограничный оператор этого бикомплекса содержит вариационный оператор δ , который, действуя на L , определяет ассоциированный оператор Эйлера–Лагранжа δL .

В координатах

Заданы координаты расслоения x ^λ , y ⁱ на расслоенном слое Y и адаптированные координаты x ^λ , y ⁱ , y ⁱ _Λ , (Λ = ( λ ₁ , ..., λ _k ) , |Λ| = k ≤ r ) на многообразиях струй J ^r Y , лагранжиан L и его оператор Эйлера–Лагранжа имеют вид

${\displaystyle L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})\,d^{n}x,}$

${\displaystyle \delta L=\delta _{i}{\mathcal {L}}\,dy^{i}\wedge d^{n}x,\qquad \delta _{i}{\mathcal {L}}=\partial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda }\,\partial _{i}^{\Lambda }{\mathcal {L}},}$

где

${\displaystyle d_{\Lambda }=d_{\lambda _{1}}\cdots d_{\lambda _{k}},\qquad d_{\lambda }=\partial _{\lambda }+y_{\lambda }^{i}\partial _{i}+\cdots ,}$

обозначают полные производные.

Например, лагранжиан первого порядка и его оператор Эйлера–Лагранжа второго порядка принимают вид

${\displaystyle L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\lambda }^{i})\,d^{n}x,\qquad \delta _{i}L=\partial _{i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\partial _{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.}$

Уравнения Эйлера–Лагранжа

Ядро оператора Эйлера–Лагранжа обеспечивает уравнения Эйлера–Лагранжа δL = 0 .

Когомологии и теоремы Нётер

Когомологии вариационного бикомплекса приводят к так называемой вариационной формуле

${\displaystyle dL=\delta L+d_{H}\Theta _{L},}$

где

${\displaystyle d_{H}\Theta _{L}=dx^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\phi ,\qquad \phi \in O_{\infty }^{*}(Y)}$

— полный дифференциал, а θ L _— эквивалент Лепажа для L. Первая теорема Нётер и вторая теорема Нётер являются следствиями этой вариационной формулы.

Градуированные коллекторы

Распространенный на градуированные многообразия , вариационный бикомплекс обеспечивает описание градуированных лагранжевых систем четных и нечетных переменных. ^[1]

Альтернативные формулировки

Другим способом в рамках вариационного исчисления вводятся лагранжианы, операторы Эйлера–Лагранжа и уравнения Эйлера–Лагранжа .

Классическая механика

В классической механике уравнения движения — это дифференциальные уравнения первого и второго порядка на многообразии M или различных расслоениях Q над . Решение уравнений движения называется движением . [ ^{2] [3]} ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Смотрите также

• Лагранжева механика
• Вариационное исчисление
• Теорема Нётер
• тождества Нётер
• Струйный пучок
• Джет (математика)
• Вариационный бикомплекс

Ссылки

1. Сарданашвили 2013
2. Арнольд 1989, стр. 83
3. Джачетта, Манджиаротти и Сарданашвили 2011, с. 7

• Арнольд, VI (1989), Математические методы классической механики , Graduate Texts in Mathematics , т. 60 (второе изд.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (1997). Новые лагранжевы и гамильтоновы методы в теории поля . World Scientific . ISBN 981-02-1587-8.
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2011). Геометрическая формулировка классической и квантовой механики . World Scientific. doi : 10.1142/7816. hdl : 11581/203967. ISBN 978-981-4313-72-8.
• Olver, P. (1993). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94007-3.
• Сарданашвили, Г. (2013). "Градуированный лагранжев формализм". Int. J. Geom. Methods Mod. Phys . 10 (5). World Scientific: 1350016. arXiv : 1206.2508 . doi :10.1142/S0219887813500163. ISSN  0219-8878.

Внешние ссылки

• Сарданашвили, Г. (2009). "Расслоения волокон, многообразия струй и теория Лагранжа. Лекции для теоретиков". arXiv : 0908.1886 . Bibcode :2009arXiv0908.1886S. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )