Формула Лармора

Дает полную мощность, излучаемую ускоряющимся нерелятивистским точечным зарядом.

Антенна Яги -Уда . Радиоволны могут излучаться антенной за счет ускорения электронов в антенне. Это когерентный процесс, поэтому общая излучаемая мощность пропорциональна квадрату числа ускоряющихся электронов.

В электродинамике формула Лармора используется для расчета полной мощности , излучаемой нерелятивистским точечным зарядом при его ускорении. Впервые он был выведен Дж. Дж. Лармором в 1897 году ^[1] в контексте волновой теории света .

Когда любая заряженная частица (например , электрон , протон или ион ) ускоряется, энергия излучается в виде электромагнитных волн . Для частицы, скорость которой мала по сравнению со скоростью света (т. е. нерелятивистской), полную мощность, которую излучает частица (если рассматривать ее как точечный заряд), можно рассчитать по формуле Лармора:

$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c}}\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}=\mu _{0}{\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi c}}{\text{ (SI units)}}}$$

$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\text{ (cgs units)}}}$$

потенциалами Льенара – Вихерта ${\displaystyle {\dot {v}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c}$

В любой системе единиц мощность, излучаемая одним электроном, может быть выражена через классический радиус электрона и массу электрона как:

$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}}$$

Одним из последствий является то, что электрон, вращающийся вокруг ядра, как в модели Бора , должен потерять энергию, упасть на ядро, и атом должен разрушиться. Эта загадка не была решена до тех пор, пока не была представлена ​​квантовая теория .

Вывод

Вывод 1: Математический подход (с использованием единиц СГС)

Сначала нам нужно найти форму электрического и магнитного полей. Поля можно записать (более полный вывод см. в потенциале Льенара – Вихерта )

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\text{ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\text{ret}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,}$$

cотсроченное время ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}}$ ${\displaystyle t_{\text{r}}=t-R/c}$

Правая часть представляет собой сумму электрических полей, связанных со скоростью и ускорением заряженной частицы. Поле скорости зависит только от того, а поле ускорения зависит от обоих и от углового соотношения между ними. Поскольку поле скорости пропорционально , ​​оно очень быстро падает с расстоянием. С другой стороны, поле ускорений пропорционально , ​​а это означает, что оно медленнее спадает с расстоянием. По этой причине поле ускорения является представителем поля излучения и отвечает за перенос большей части энергии от заряда. ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$ ${\displaystyle 1/R^{2}}$ ${\displaystyle 1/R}$

Мы можем найти плотность потока энергии поля излучения, вычислив его вектор Пойнтинга :

$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}},}$$

$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .}$$

Если принять угол между ускорением и вектором наблюдения равным и ввести ускорение , то мощность, излучаемая на единицу телесного угла , равна ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a^{2}}{c^{2}}}.}$$

Полная излучаемая мощность находится путем интегрирования этой величины по всем телесным углам (то есть по и ). Это дает ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},}$$

Релятивистское обобщение

Ковариантная форма

Нерелятивистская формула Лармора , записанная в терминах импульса p ^{, имеет вид (в единицах СГС) [2]}

$${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}.}$$

Можно показать, что степень P является лоренц-инвариантной . ^[2] Поэтому любое релятивистское обобщение формулы Лармора должно связывать P с некоторой другой лоренц-инвариантной величиной. Величина, фигурирующая в нерелятивистской формуле, предполагает, что релятивистски правильная формула должна включать скаляр Лоренца, найденный путем взятия скалярного произведения четырехускорения a µ ⁼ dp µ ^/ dτ на самого себя [здесь p ^µ = ( γmc , γm v ) четырехимпульс ] . Правильное релятивистское обобщение формулы Лармора (в единицах СГС) ^[2] ${\displaystyle |{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}}$

${\displaystyle P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.}$

Можно показать, что этот внутренний продукт определяется формулой ^[2]

$${\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac {dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},}$$

и поэтому в пределе β ≪ 1 оно сводится к , воспроизводя тем самым нерелятивистский случай. Выраженная через лоренц-инвариант собственного ускорения, релятивистская ларморовская степень равна (по-прежнему в СГС) ^[3] ${\displaystyle -|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}}$

${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}.}$

Нековариантная форма

Вышеупомянутый внутренний продукт также можно записать через β и его производную по времени. Тогда релятивистское обобщение формулы Лармора будет (в единицах СГС) ^[2]

${\displaystyle P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left[({\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}\right].}$

Это результат Льенара, который впервые был получен в 1898 году. По мере роста излучения как , частица теряет свою энергию в виде ЭМ волн. Когда ускорение и скорость ортогональны, мощность уменьшается в раз . ${\displaystyle \beta \rightarrow 1}$ ${\displaystyle \gamma ^{6}}$ ${\displaystyle 1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}}$

Однако запись формулы Льенара через скорость дает неверный вывод. В терминах импульса вместо скорости формула Льенара для ускорения, параллельного скорости, принимает вид

${\displaystyle P_{\parallel }={\frac {2q^{2}}{3cm^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)^{2}.}$

Для ускорения, перпендикулярного скорости, излучаемая мощность равна

${\displaystyle P_{\perp }={\frac {2q^{2}\gamma ^{2}}{3cm^{2}}}\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)^{2}.}$

Это показывает, что мощность, излучаемая при ускорении, перпендикулярном скорости, в раз больше, чем мощность при ускорении, параллельном скорости. ${\displaystyle \gamma ^{2}}$

Угловое распределение

Угловое распределение излучаемой мощности задается общей формулой, применимой независимо от того, является ли частица релятивистской. В единицах СГС эта формула имеет вид ^[4]

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\left|\mathbf {\hat {n}} \times \left[(\mathbf {\hat {n}} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right]\right|^{2}}{(1-\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\beta }})^{5}}},}$$

^[5] ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}},}$$

${\displaystyle \theta }$

Радиация в настоящее время

В приведенных выше формулировках формулы Лармора ускорение задается в запаздывающее время. Это означает, что в формуле можно использовать любое ускорение предыдущего движения заряженной частицы, что делает его по существу неопределенным. Эта трудность была решена с помощью недавнего вывода, который дает ускорение во всех приведенных выше формулах в настоящее время. ^[6]

Проблемы и последствия

Радиационная реакция

Излучение заряженной частицы несет энергию и импульс. Чтобы обеспечить сохранение энергии и импульса, заряженная частица должна испытывать отдачу во время выброса. Излучение должно оказывать на заряженную частицу дополнительную силу. Эта сила известна как сила Абрахама-Лоренца, в то время как ее нерелятивистский предел известен как сила самости Лоренца, а релятивистские формы известны как сила Лоренца-Дирака или сила Абрахама-Лоренца-Дирака. Явление радиационной реакции является одной из ключевых проблем и следствий формулы Лармора. Согласно классической электродинамике, заряженная частица при ускорении производит электромагнитное излучение. Частица теряет импульс и энергию в результате уносящего ее от себя излучения. С другой стороны, сила реакции на излучение также действует на заряженную частицу в результате излучения.

Существование этой силы существенно влияет на динамику заряженных частиц. В частности, это вызывает изменение их движения, которое можно объяснить формулой Лармора, множителем уравнения Лоренца-Дирака.

Согласно уравнению Лоренца-Дирака, на скорость заряженной частицы будет влиять «сила самодействия», возникающая в результате ее собственного излучения. Такое нефизическое поведение, как неконтролируемые решения, когда скорость или энергия частицы становятся бесконечными за конечное время, может быть результатом этой силы самодействия.

Проблема самосилы уравнения Лоренца-Дирака вызвала множество дискуссий и исследований в теоретической физике. Несмотря на то, что уравнение иногда оказывалось успешным при описании движения заряженных частиц, оно по-прежнему является предметом текущих исследований.

Атомная физика

Изобретение квантовой физики, в частности модели атома Бора, смогло объяснить этот разрыв между классическим предсказанием и реальной реальностью. Модель Бора предполагала, что переходы между различными энергетическими уровнями, на которых могут обитать только электроны, могут объяснять наблюдаемые спектральные линии атомов. Волновые свойства электронов и идея квантования энергии были использованы для объяснения стабильности этих электронных орбит.

Формулу Лармора можно использовать только для нерелятивистских частиц, что ограничивает ее полезность. Потенциал Льенара-Вихерта — это более полная формула, которую необходимо использовать для частиц, движущихся с релятивистскими скоростями. Кроме того, формула Лармора неизбежно предполагает, что заряженная частица вращается по кругу. В определенных ситуациях для точного расчета излучения, излучаемого заряженной частицей, могут потребоваться более сложные расчеты, включая численные методы или теорию возмущений.

Смотрите также

• Атомная теория
• Циклотронное излучение
• Уравнение электромагнитной волны
• Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени
• Радиационная реакция
• Волновое уравнение
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Рекомендации

1. Лармор, Дж (1897). «LXIII. К теории магнитного влияния на спектры и излучения движущихся ионов». Философский журнал . 5. 44 (271): 503–512. дои : 10.1080/14786449708621095.Формула упоминается в тексте на последней странице.
2. Джексон 1998, стр. 665–8.
3. Хорошо, Майкл Р.Р.; Линдер, Эрик В. (2022). «Квантовая мощность: лоренц-инвариантный подход к излучению Хокинга». Евро. Физ. Джей Си . 82 (3): 204. arXiv : 2111.15148 . Бибкод : 2022EPJC...82..204G. doi : 10.1140/epjc/s10052-022-10167-6. S2CID  244729371.
4. Джексон 1998
5. Джексон 1998
6. Франклин, Дж (2013). «Радиационная реакция на ускоряющийся точечный заряд». Международный журнал современной физики А. 38 :350005-1-6. arXiv : 2308.02628 . дои : 10.1142/S0217751X23500057.

• Лармор, Дж (1897). «К динамической теории электрической и светоносной среды». Философские труды Королевского общества . 190 (1263): 205–300. (Третья и последняя в серии одноименных статей).
• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-30932-Х.(раздел 14.2 и далее)
• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Р.П. Фейнман; ФБ Моринго; РГ Вагнер (1995). Фейнмановские лекции по гравитации . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-62734-5.