разложение Такера

Разложение тензора

В математике разложение Таккера разлагает тензор на набор матриц и один небольшой основной тензор. Он назван в честь Ледьярда Р. Таккера ^[1], хотя восходит к Хичкоку в 1927 году. ^[2] Первоначально описанный как трехмодовое расширение факторного анализа и анализа главных компонент, он фактически может быть обобщен до анализа более высоких мод, который также называется разложением по сингулярным значениям более высокого порядка (HOSVD).

Его можно рассматривать как более гибкую модель PARAFAC (параллельный факторный анализ). В PARAFAC основной тензор ограничен «диагональю».

На практике разложение Такера используется как инструмент моделирования. Например, оно используется для моделирования трех- (или более)-путевых данных с помощью относительно небольшого количества компонентов для каждого из трех или более режимов, а компоненты связаны друг с другом трех- (или более)-путевым массивом ядра. Параметры модели оцениваются таким образом, что при фиксированном количестве компонентов смоделированные данные оптимально напоминают фактические данные в смысле наименьших квадратов. Модель дает сводку информации в данных, так же как анализ главных компонент делает для двухсторонних данных.

Для тензора 3-го порядка , где есть либо или , разложение Таккера можно обозначить следующим образом, где есть основной тензор , тензор 3-го порядка, который содержит сингулярные значения 1-го, 2-го и 3-го режимов , которые определяются как норма Фробениуса 1-го, 2-го и 3-го режимов срезов тензора соответственно. являются унитарными матрицами в соответственно. Произведение k -мод ( k = 1, 2, 3) от обозначается как с записями как ${\displaystyle T\in F^{n_{1}\times n_{2}\times n_{3}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}\times _{3}U^{(3)}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}\in F^{d_{1}\times d_{2}\times d_{3}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle U^{(1)},U^{(2)},U^{(3)}}$ ${\displaystyle F^{d_{1}\times n_{1}},F^{d_{2}\times n_{2}},F^{d_{3}\times n_{3}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle U^{(k)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}\times U^{(k)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)})(i_{1},j_{2},j_{3})&=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(1)}(j_{1},i_{1})\\({\mathcal {T}}\times _{2}U^{(2)})(j_{1},i_{2},j_{3})&=\sum _{j_{2}=1}^{d_{2}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(2)}(j_{2},i_{2})\\({\mathcal {T}}\times _{3}U^{(3)})(j_{1},j_{2},i_{3})&=\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(3)}(j_{3},i_{3})\end{aligned}}}$

В целом разложение можно также записать более прямо как

${\displaystyle T(i_{1},i_{2},i_{3})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{d_{2}}\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(1)}(j_{1},i_{1})U^{(2)}(j_{2},i_{2})U^{(3)}(j_{3},i_{3})}$

Взятие для всех всегда достаточно для точного представления, но часто может быть сжато или эффективно приблизительно выбрано . Обычный выбор — , который может быть эффективным, когда разница в размерах измерений велика. ${\displaystyle d_{i}=n_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle d_{i}<n_{i}}$ ${\displaystyle d_{1}=d_{2}=d_{3}=\min(n_{1},n_{2},n_{3})}$

Существует два особых случая разложения Таккера:

Tucker1 : если и являются тождественными, то ${\displaystyle U^{(2)}}$ ${\displaystyle U^{(3)}}$ ${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}}$

Такер2 : если это тождество, то . ${\displaystyle U^{(3)}}$ ${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}}$

Разложение RESCAL ^[3] можно рассматривать как частный случай разложения Таккера, где является единицей и равно . ${\displaystyle U^{(3)}}$ ${\displaystyle U^{(1)}}$ ${\displaystyle U^{(2)}}$

Смотрите также

• Разложение по сингулярным значениям высшего порядка
• Многолинейный анализ главных компонент

Ссылки

1. Ледьярд Р. Такер (сентябрь 1966 г.). «Некоторые математические заметки о трехмодовом факторном анализе». Психометрика . 31 (3): 279–311. doi :10.1007/BF02289464. PMID  5221127.
2. FL Hitchcock (1927). «Выражение тензора или полиадического уравнения в виде суммы произведений». Журнал математики и физики . 6 : 164–189.
3. Никель, Максимилиан; Тресп, Фолькер; Кригель, Ханс-Петер (28 июня 2011 г.). Трехфакторная модель коллективного обучения на многореляционных данных . ICML. Том 11. С. 809–816.