Уравнение Лейна – Эмдена

Безразмерное уравнение астрофизики

Решения уравнения Лейна–Эмдена для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

В астрофизике уравнение Лейна-Эмдена представляет собой безразмерную форму уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей сферически-симметричной политропной жидкости. Он назван в честь астрофизиков Джонатана Гомера Лейна и Роберта Эмдена . ^[1] Уравнение гласит:

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,}$

где – безразмерный радиус, связанный с плотностью и, следовательно, с давлением соотношением для центральной плотности . Индекс - это индекс политропы, который появляется в политропном уравнении состояния: ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$ ${\displaystyle \rho _{c}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,}$$

политропыуравнение Эмдена-Чандрасекара ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta (0)=1}$ ${\displaystyle \theta '(0)=0}$ ${\displaystyle n}$

Приложения

Физически гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, тогда как уравнение Пуассона связывает потенциал с плотностью. Таким образом, если у нас есть дополнительное уравнение, которое определяет, как давление и плотность изменяются друг относительно друга, мы можем найти решение. Конкретный выбор политропного газа, как указано выше, делает математическую постановку задачи особенно краткой и приводит к уравнению Лейна – Эмдена. Это уравнение является полезным приближением для самогравитирующих плазменных сфер, таких как звезды, но обычно это довольно ограничивающее предположение.

Вывод

Из гидростатического равновесия

Рассмотрим самогравитирующую сферически-симметричную жидкость, находящуюся в гидростатическом равновесии . Масса сохраняется и, таким образом, описывается уравнением неразрывности.

$${\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }$$

${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}}$$

${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}}$$

${\displaystyle r^{2}}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho }$$

Деление обеих частей на дает в некотором смысле размерную форму искомого уравнения. Если дополнительно заменить политропное уравнение состояния на и , то получим ${\displaystyle r^{2}}$ ${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}}$ ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}}$$

Собираем константы и подставляем , где ${\displaystyle r=\alpha \xi }$

$${\displaystyle \alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}$$

Из уравнения Пуассона

Аналогично, можно начать с уравнения Пуассона :

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho }$$

Градиент потенциала можно заменить, используя гидростатическое равновесие, через

$${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}}$$

Точные решения

Для заданного значения индекса политропы обозначим решение уравнения Лейна–Эмдена как . В общем, чтобы найти уравнение Лейна-Эмдена, необходимо решить численно . Существуют точные аналитические решения для некоторых значений , в частности: . Для значений от 0 до 5 решения непрерывны и конечны по размеру, при этом радиус звезды равен , где . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta _{n}(\xi )}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0,1,5}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R=\alpha \xi _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{n}(\xi _{1})=0}$

Для данного решения профиль плотности определяется выражением ${\displaystyle \theta _{n}}$

$${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}.}$$

Полную массу модельной звезды можно найти путем интегрирования плотности по радиусу от 0 до . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \xi _{1}}$

Давление можно найти с помощью политропного уравнения состояния, , т.е. ${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}}$

$${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}}$$

Наконец, если газ идеален , уравнение состояния имеет вид , где – постоянная Больцмана и средняя молекулярная масса. Тогда температурный профиль определяется выражением ${\displaystyle P=k_{B}\rho T/\mu }$ ${\displaystyle k_{B}}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}}$$

В сферически-симметричных случаях уравнение Лейна–Эмдена интегрируемо только для трех значений показателя политропы . ${\displaystyle n}$

Для n = 0

Если , уравнение принимает вид ${\displaystyle n=0}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0}$$

Переорганизация и интеграция однажды дают

$${\displaystyle \xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}}$$

Разделив обе части и снова интегрировав, получим ${\displaystyle \xi ^{2}}$

$${\displaystyle \theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}$$

Граничные условия и подразумевают, что константы интегрирования равны и . Поэтому, ${\displaystyle \theta (0)=1}$ ${\displaystyle \theta '(0)=0}$ ${\displaystyle C_{0}=1}$ ${\displaystyle C_{1}=0}$

$${\displaystyle \theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}$$

Для n = 1

При , уравнение можно разложить в виде ${\displaystyle n=1}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0}$$

Предполагается решение степенного ряда:

$${\displaystyle \theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}}$$

Это приводит к рекурсивной зависимости для коэффициентов расширения:

$${\displaystyle a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}}$$

Это соотношение можно решить, приведя к общему решению:

$${\displaystyle \theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}}$$

Граничные условия для физического политропа требуют, чтобы при . Для этого необходимо , чтобы , что привело к решению: ${\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow 1}$ ${\displaystyle \xi \rightarrow 0}$ ${\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=0}$

$${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}}$$

Для n = 2

Это точное решение было найдено случайно при поиске нулевых значений соответствующего уравнения TOV . ^[2]

Мы рассматриваем разложение в ряд вокруг ${\displaystyle \theta =0}$

$${\displaystyle \theta =\sum \limits _{m=0}^{\infty }a_{m}\xi ^{m}}$$

${\displaystyle \theta |_{\xi =0}=\theta _{0}}$ ${\displaystyle \left.{\frac {d\theta }{d\xi }}\right|_{\xi =0}=0}$ ${\displaystyle a_{2m+1}=0}$ ${\displaystyle b_{m}=a_{2m}}$

$${\displaystyle b_{m+1}=-{\frac {1}{(2m+2)(2m+3)}}\sum \limits _{k=0}^{m}b_{m-k}b_{k}}$$

${\displaystyle \xi \leq 1}$

Для n = 5

Начнем с уравнения Лейна – Эмдена:

$${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0}$$

Переписывание для продуктов: ${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}}$

$${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}}$$

Дифференцирование по ξ приводит к:

$${\displaystyle \theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}={\frac {9}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}$$

В сокращении мы получаем:

$${\displaystyle \theta ^{5}={\frac {1}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}$$

Следовательно, уравнение Лейна–Эмдена имеет решение

$${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}}$$

${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle n=5}$

Решение Шриваставы

В 1962 году Самбхунатх Шривастава нашел явное решение, когда . ^[3] Его решение дается формулой ${\displaystyle n=5}$

$${\displaystyle \theta ={\frac {\sin(\ln {\sqrt {\xi }})}{{\sqrt {\xi }}\left[3-2\sin ^{2}(\ln {\sqrt {\xi }})\right]}},}$$

${\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow {\sqrt {A}}\,\theta (A\xi )}$

Аналитические решения

В приложениях основную роль играют аналитические решения, выражаемые сходящимся степенным рядом, развернутым вокруг некоторой начальной точки. Обычно точкой расширения является , которая также является особой точкой (фиксированной особенностью) уравнения, и в центре звезды предоставляются некоторые начальные данные. Можно доказать ^{[4] [5]} , что уравнение имеет сходящийся степенной ряд/аналитическое решение вокруг начала координат формы ${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle \theta (0)}$

$${\displaystyle \theta (\xi )=\theta (0)-{\frac {\theta (0)^{n}}{6}}\xi ^{2}+O(\xi ^{3}),\quad \xi \approx 0.}$$

Численное решение аналитического решения уравнения Лейна-Эмдена в комплексной плоскости при , . Видны две подвижные особенности на мнимой оси. Они ограничивают радиус сходимости аналитического решения вокруг начала координат. Для разных значений исходных данных и расположение особенностей различно, но они расположены симметрично на мнимой оси. ^[6] ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle \theta (0)=2}$ ${\displaystyle p}$

Радиус сходимости этого ряда ограничен из-за существования ^{[5] [7]} двух особенностей на мнимой оси в комплексной плоскости . Эти особенности расположены симметрично относительно начала координат. Их положение меняется при изменении параметров уравнения и начального условия , поэтому они называются подвижными особенностями в соответствии с классификацией особенностей нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной плоскости Полем Пенлеве . Подобная структура особенностей появляется и в других нелинейных уравнениях, возникающих в результате редукции оператора Лапласа в сферической симметрии, например, в уравнении изотермической сферы. ^[7] ${\displaystyle \theta (0)}$

Аналитические решения могут быть продолжены вдоль реальной линии с помощью процедуры аналитического продолжения , приводящей к полному профилю ядер звезды или молекулярного облака . Два аналитических решения с перекрывающимися кругами сходимости также могут быть сопоставлены по перекрытию с решением более крупной области, что является широко используемым методом построения профилей требуемых свойств.

Решение ряда также используется при численном интегрировании уравнения. Он используется для небольшого смещения начальных данных для аналитического решения от начала координат, поскольку в начале координат численные методы не работают из-за сингулярности уравнения.

Численные решения

В общем случае решения находятся путем численного интегрирования. Многие стандартные методы требуют формулировки задачи в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка . Например, ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\varphi }{\xi ^{2}}}\\[6pt]&{\frac {d\varphi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}\end{aligned}}}$

Здесь интерпретируется как безразмерная масса, определяемая . Соответствующими начальными условиями являются и . Первое уравнение представляет гидростатическое равновесие, а второе — сохранение массы. ${\displaystyle \varphi (\xi )}$ ${\displaystyle m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\varphi (\xi )}$ ${\displaystyle \varphi (0)=0}$ ${\displaystyle \theta (0)=1}$

Гомологичные переменные

Уравнение, инвариантное к гомологиям

Известно, что если – решение уравнения Лейна–Эмдена, то и . ^[9] Решения, связанные таким образом, называются гомологичными ; процесс, который их преобразует, — это гомология . Если выбрать переменные, инвариантные относительно гомологии, то мы можем уменьшить порядок уравнения Лейна–Эмдена на единицу. ${\displaystyle \theta (\xi )}$ ${\displaystyle C^{2/n+1}\theta (C\xi )}$

Существует множество таких переменных. Подходящим выбором является

$${\displaystyle U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\varphi }}}$$

$${\displaystyle V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\varphi }{\xi \theta }}}$$

Мы можем дифференцировать логарифмы этих переменных по , что дает ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle {\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}\left(3-n(n+1)^{-1}V-\right)}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}\left(-1-U-(n+1)^{-1}V\right).}$$

Наконец, мы можем разделить эти два уравнения, чтобы устранить зависимость от , что оставляет ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle {\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right).}$$

Теперь это одно уравнение первого порядка.

Топология уравнения, инвариантного к гомологиям

Гомологически-инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений

$${\displaystyle {\frac {dU}{d\log \xi }}=-U\left(U+n(n+1)^{-1}V-3\right)}$$

$${\displaystyle {\frac {dV}{d\log \xi }}=V\left(U+(n+1)^{-1}V-1\right).}$$

Поведение решений этих уравнений можно определить с помощью анализа линейной устойчивости. Критические точки уравнения (где ), а также собственные значения и собственные векторы матрицы Якоби сведены в таблицу ниже. ^[10] ${\displaystyle dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0}$

Смотрите также

• Уравнение Эмдена – Чандрасекара
• Уравнение белого карлика Чандрасекара

Рекомендации

1. Лейн, Джонатан Гомер (1870). «О теоретической температуре Солнца, согласно гипотезе газообразной массы, сохраняющей свой объем за счет внутреннего тепла и зависящей от законов газов, известных земному эксперименту». Американский научный журнал . 2. 50 (148): 57–74. Бибкод : 1870AmJS...50...57L. дои : 10.2475/ajs.s2-50.148.57. ISSN  0002-9599. S2CID  131102972.
2. Плейер, Йонас. «Нулевые значения уравнения TOV». Гитхаб . Проверено 4 января 2024 г.
3. Шривастава, Шамбхунатх (1962). «Новое решение уравнения Лейна-Эмдена с индексом n = 5». Астрофизический журнал . 136 : 680. Бибкод : 1962ApJ...136..680S. дои : 10.1086/147421. ISSN  0004-637X.
4. Киция, Радослав Антоний (2020). «Возмущенные уравнения Лейна – Эмдена как краевая задача с сингулярными конечными точками». Журнал динамических систем и систем управления . 26 (2): 333–347. arXiv : 1810.01410 . дои : 10.1007/s10883-019-09445-6 . ISSN  1079-2724.
5. Хантер, К. (11 декабря 2001 г.). «Рядные решения для политропов и изотермической сферы». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 328 (3): 839–847. Бибкод : 2001MNRAS.328..839H. дои : 10.1046/j.1365-8711.2001.04914.x . ISSN  0035-8711.
6. Киция, Радослав Антоний; Филипук Галина (2015), Митюшев Владимир В.; Ружанский, Майкл В. (ред.), «Об особенностях уравнений типа Эмдена – Фаулера», Современные тенденции в анализе и его приложениях , Cham: Springer International Publishing, стр. 93–99, номер документа : 10.1007/978-3. -319-12577-0_13, ISBN 978-3-319-12576-3, получено 19 июля 2020 г.
7. Киция, Радослав Антоний; Филипук, Галина (2015). «Об обобщенных уравнениях Эмдена – Фаулера и изотермических сфер». Прикладная математика и вычислительная техника . 265 : 1003–1010. дои : 10.1016/j.amc.2015.05.140.
8. Хансен, Карл Дж.; Кавалер, Стивен Д.; Тримбл, Вирджиния (2004). Звездные интерьеры: физические принципы, структура и эволюция . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 338. ИСБН 9780387200897.
9. Чандрасекхар, Субраманян (1957) [1939]. Введение в изучение звездной структуры. Дувр. Бибкод : 1939isss.book.....C. ISBN 978-0-486-60413-8.
10. Хоредт, Георг П. (1987). «Топология уравнения Лейна-Эмдена». Астрономия и астрофизика . 117 (1–2): 117–130. Бибкод : 1987A&A...177..117H. ISSN  0004-6361.

дальнейшее чтение

• Хоредт, Георг П. (2004). Политропы - применение в астрофизике и смежных областях. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers . ISBN 978-1-4020-2350-7.
• Дэвид, Гарольд Т. (2010). Введение в нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения. Дуврские публикации . ISBN 978-0486609713.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Лейна-Эмдена». Математический мир .