Теория малых сокращений

В математическом предмете теории групп теория малых сокращений изучает группы, заданные групповыми представлениями, удовлетворяющими условиям малых сокращений , то есть, где определяющие отношения имеют «малые перекрытия» друг с другом. Условия малых сокращений подразумевают алгебраические, геометрические и алгоритмические свойства группы. Конечно представленные группы, удовлетворяющие достаточно сильным условиям малых сокращений, являются гиперболическими и имеют проблему слов , разрешимую алгоритмом Дена . Методы малых сокращений также используются для построения монстров Тарского и для решения проблемы Бернсайда .

История

Некоторые идеи, лежащие в основе теории малого сокращения, восходят к работам Макса Дена 1910-х годов. ^[1] Ден доказал, что фундаментальные группы замкнутых ориентируемых поверхностей рода не менее двух имеют проблему со словами, разрешимую тем, что сейчас называется алгоритмом Дена . Его доказательство включало построение графа Кэли такой группы на гиперболической плоскости и выполнение оценок кривизны с помощью теоремы Гаусса–Бонне для замкнутого контура в графе Кэли, чтобы заключить, что такой контур должен содержать большую часть (больше половины) определяющего соотношения.

Статья Тартаковского 1949 года ^[2] была непосредственным предшественником теории малых сокращений: эта статья предоставила решение проблемы слов для класса групп, удовлетворяющих сложному набору комбинаторных условий, где предположения типа малых сокращений играли ключевую роль. Стандартная версия теории малых сокращений, как она используется сегодня, была разработана Мартином Гриндлингером в серии статей в начале 1960-х годов, ^{[3] [4] [5],} который в основном имел дело с «метрическими» условиями малых сокращений. В частности, Гриндлингер доказал, что конечно представленные группы, удовлетворяющие условию малых сокращений C ′(1/6), имеют проблему слов, разрешимую алгоритмом Дена. Теория была далее уточнена и формализована в последующих работах Линдона, ^[6] Шуппа ^[7] и Линдона-Шуппа ^[8], которые также рассмотрели случай неметрических условий малых сокращений и разработали версию теории малых сокращений для объединенных свободных произведений и HNN-расширений .

Теория малых сокращений была далее обобщена Александром Ольшанским, который разработал ^[9] «градуированную» версию теории, в которой множество определяющих соотношений снабжено фильтрацией и в которой определяющему соотношению определенной степени разрешено иметь большое перекрытие с определяющим соотношением более высокой степени. Ольшанский использовал градуированную теорию малых сокращений для построения различных «монстровых» групп, включая монстра Тарского ^[10] , а также для того, чтобы дать новое доказательство ^[11] , что свободные группы Бернсайда большого нечетного показателя бесконечны (этот результат был первоначально доказан Адяном и Новиковым в 1968 году с использованием более комбинаторных методов). ^{[12] [13] [14]}

Теория малых сокращений предоставила базовый набор примеров и идей для теории гиперболических групп , выдвинутой Громовым в основополагающей монографии 1987 года «Гиперболические группы». ^[15]

Основные определения

Изложение ниже в значительной степени следует главе V книги Линдона и Шуппа. ^[8]

Куски

Позволять

${\displaystyle G=\langle X\mid R\rangle \qquad (*)}$

— групповое представление , где R  ⊆  F ( X ) — множество свободно сокращенных и циклически сокращенных слов в свободной группе F ( X ) такое, что R симметризовано , то есть замкнуто относительно выполнения циклических перестановок и обратных преобразований.

Нетривиальное свободно сокращенное слово u в F ( X ) называется частью относительно (∗), если существуют два различных элемента r ₁ , r ₂ в R , которые имеют u в качестве максимального общего начального сегмента.

Обратите внимание, что если — групповое представление, в котором множество определяющих соотношений S не симметризовано, мы всегда можем взять симметризованное замыкание R группы S , где R состоит из всех циклических перестановок элементов S и S ⁻¹ . Тогда R симметризовано и также является представлением группы G. ${\displaystyle G=\langle X\mid S\rangle }$ ${\displaystyle G=\langle X\mid R\rangle }$

Метрические малые условия отмены

Пусть 0 <  λ  < 1. Говорят, что представление (∗), как указано выше, удовлетворяет условию малого сокращения C ′( λ ), если всякий раз, когда u является частью относительно (∗) и u является подсловом некоторого r  ∈  R , то | u | <  λ | r |. Здесь | v | — длина слова v .

Условие C ′( λ ) иногда называют метрическим условием малого сокращения .

Неметрические малые условия отмены

Пусть p  ≥ 3 — целое число. Говорят, что групповое представление (∗), как указано выше, удовлетворяет условию малого сокращения C ( p ), если всякий раз, когда r  ∈  R и

${\displaystyle r=u_{1}\dots u_{m}}$

где u _i — части и где указанное выше произведение свободно сокращается, как записано, то m  ≥  p . То есть, никакой определяющий релятор не может быть записан как сокращенное произведение менее чем p частей.

Пусть q  ≥ 3 — целое число. Говорят, что групповое представление (∗), как указано выше, удовлетворяет условию малого сокращения T( q ), если всякий раз, когда 3 ≤ t <  q и r ₁ ,..., r _t в R таковы, что r ₁  ≠  r ₂ ⁻¹ ,..., r _t  ≠  r ₁ ^{−1 ,} то по крайней мере одно из произведений r ₁ r ₂ ,..., r _t−1 r _t , r _t r ₁ свободно сокращается, как записано.

Геометрически условие T( q ) по сути означает, что если D является редуцированной диаграммой Ван Кампена над (∗), то каждая внутренняя вершина D степени не менее трех на самом деле имеет степень не менее q .

Примеры

• Пусть — стандартное представление свободной абелевой группы ранга два. Тогда для симметризованного замыкания этого представления единственными частями являются слова длины 1. Эта симметризованная форма удовлетворяет условиям малого сокращения C(4)–T(4) и условию C ′( λ ) для любого 1 >  λ  > 1/4. ${\displaystyle G=\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle }$
• Пусть , где k  ≥ 2, — стандартное представление фундаментальной группы замкнутой ориентируемой поверхности рода k . Тогда для симметризации этого представления единственными частями являются слова длины 1, и эта симметризация удовлетворяет условиям малого сокращения C ′(1/7) и C(8). ${\displaystyle G=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{k},b_{k}\mid [a_{1},b_{1}]\cdot \dots \cdot [a_{k},b_{k}]\rangle }$
• Пусть . Тогда, с точностью до инверсии, каждая часть для симметризованной версии этого представления имеет вид b ⁱ ab ^j или b ⁱ , где 0 ≤  i , j  ≤ 100. Эта симметризация удовлетворяет условию малого сокращения C ′(1/20). ${\displaystyle G=\langle a,b\mid abab^{2}ab^{3}\dots ab^{100}\rangle }$
• Если симметризованное представление удовлетворяет условию C ′(1/ m ), то оно также удовлетворяет условию C( m ).
• Пусть r  ∈  F ( X ) — нетривиальное циклически приведенное слово, которое не является собственной степенью в F ( X ), и пусть n  ≥ 2. Тогда симметризованное замыкание представления удовлетворяет условиям малого сокращения C(2 n ) ^[16] и C ′(1/ n ). ${\displaystyle G=\langle X\mid r^{n}\rangle }$

Основные результаты теории малых сокращений

Лемма Гриндлингера

Основным результатом относительно условия малого сокращения метрики является следующее утверждение (см. теорему 4.4 в гл. V ^[8] ), которое обычно называют

Лемма Гриндлингера : Пусть (∗) — групповое представление, как указано выше, удовлетворяющее условию малого сокращения  C ′( λ ), где 0 ≤ λ  ≤ 1/6. Пусть w  ∈  F ( X ) — нетривиальное свободно сокращенное слово, такое что w  = 1 в G . Тогда существует подслово v слова w и определяющий релятор r  ∈  R, такие, что v также является подсловом слова r и такие, что

${\displaystyle \left|v\right|>\left(1-3\lambda \right)\left|r\right|}$

Обратите внимание, что предположение λ  ≤ 1/6 подразумевает, что (1 − 3 λ ) ≥ 1/2, так что w содержит подслово, большее половины некоторого определяющего соотношения.

Лемма Гриндлингера получается как следствие следующего геометрического утверждения:

В предположениях леммы Гриндлингера пусть D — редуцированная диаграмма Ван Кампена над (∗) с циклически редуцированной граничной меткой, такая, что D содержит по крайней мере две области. Тогда существуют две различные области D ₁ и D ₂ в D, такие, что для j  = 1,2 область D _j пересекает граничный цикл ∂ D области D по простой дуге, длина которой больше, чем (1 − 3 λ )|∂ D _j |.

Этот результат, в свою очередь, доказывается путем рассмотрения двойственной диаграммы для D. Там определяется комбинаторное понятие кривизны (которая, в силу предположений о малом сокращении, отрицательна в каждой внутренней вершине), и затем получается комбинаторная версия теоремы Гаусса–Бонне . Лемма Гриндлингера доказывается как следствие этого анализа, и таким образом доказательство вызывает идеи оригинального доказательства Дена для случая поверхностных групп.

Алгоритм Дена

Для любого симметризованного группового представления (∗) следующая абстрактная процедура называется алгоритмом Дена :

• Для данного свободно сокращенного слова w на X ^±1 постройте последовательность свободно сокращенных слов w  =  w ₀ , w ₁ , w ₂ ,..., следующим образом.
• Предположим, что w _j уже построено. Если это пустое слово, завершить алгоритм. В противном случае проверить, содержит ли w _j подслово v такое, что v также является подсловом некоторого определяющего отношения r  =  vu  ∈  R, такого что | v | > | r |/2. Если нет, завершить алгоритм с выводом w _j . Если да, заменить v на u ⁻¹ в w _j , затем выполнить свободное сокращение, обозначить полученное свободно сокращенное слово как w _{j +1} и перейти к следующему шагу алгоритма.

Обратите внимание, что у нас всегда есть

| ш ₀ | > | ш ₁ | > | ш ₂ | >...

что подразумевает, что процесс должен завершиться максимум за | w | шагов. Более того, все слова w _j представляют тот же элемент G , что и w, и, следовательно, если процесс завершается пустым словом, то w представляет собой единичный элемент G .

Говорят, что для симметризованного представления (∗) алгоритм Дена решает проблему слов в G, если обратное также верно, то есть если для любого свободно сокращенного слова w в F ( X ) это слово представляет единичный элемент G тогда и только тогда, когда алгоритм Дена, начинающийся с w , заканчивается пустым словом.

Из леммы Гриндлингера следует, что для представления C ′(1/6) алгоритм Дена решает текстовую задачу.

Если представление C ′(1/6) (∗) конечно (то есть и X , и R конечны), то алгоритм Дена является фактически недетерминированным алгоритмом в смысле теории рекурсии . Однако, даже если (∗) является бесконечным представлением C ′(1/6), алгоритм Дена, понимаемый как абстрактная процедура, все равно правильно решает, представляет ли слово в генераторах X ^±1 единичный элемент G.

Асферичность

Пусть (∗) будет C ′(1/6) или, более общо, C(6)-представлением, где каждый r  ∈  R не является собственной степенью в F ( X ), тогда G асферично в следующем смысле. Рассмотрим минимальное подмножество S из R такое, что симметризованное замыкание S равно R . Таким образом, если r и s являются различными элементами S , то r не является циклической перестановкой s ^±1 и является другим представлением для G . Пусть Y будет комплексом представления для этого представления. Тогда (см. ^[17] и теорему 13.3 в ^[9] ), при указанных выше предположениях относительно (∗), Y является классифицирующим пространством для G , то есть G  =  π ₁ ( Y ) и универсальное покрытие Y стягиваемо . В частности, это означает, что G не имеет кручения и имеет когомологическую размерность два. ${\displaystyle G=\langle X\mid S\rangle }$

Более общая кривизна

В более общем смысле, можно определить различные виды локальной «кривизны» на любой диаграмме Ван Кампена как — очень грубо — средний избыток вершин + граней − ребер (который, по формуле Эйлера, должен в сумме равняться 2) и, показывая в определенной группе, что это всегда неположительно (или — еще лучше — отрицательно) внутренне, показать, что вся кривизна должна быть на границе или вблизи нее, и тем самым попытаться получить решение словесной задачи. Более того, можно ограничить внимание диаграммами, которые не содержат ни одного из набора «регионов», так что существует «меньший» регион с той же границей.

Другие основные свойства малых групп отмены

• Пусть (∗) — представление C ′(1/6). Тогда элемент g в G имеет порядок n  > 1 тогда и только тогда, когда существует соотношение r в R вида r  =  s ⁿ в F ( X ) такое, что g сопряжен с s в G . В частности, если все элементы R не являются собственными степенями в F ( X ), то G не имеет кручения.
• Если (∗) — конечное представление C ′(1/6), то группа G является гиперболической в ​​слове .
• Если R и S — конечные симметризованные подмножества F ( X ) с равными нормальными замыканиями в F ( X ) такие, что оба представления и удовлетворяют условию C ′(1/6), то R  =  S . ${\displaystyle \langle X\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \langle X\mid S\rangle }$
• Если конечное представление (∗) удовлетворяет одному из условий C ′(1/6), C ′(1/4)–T(4), C(6), C(4)–T(4), C(3)–T(6), то группа G имеет разрешимую проблему тождества и разрешимую проблему сопряженности

Приложения

Примеры применения теории малого сокращения включают в себя:

• Решение проблемы сопряженности для групп чередующихся узлов (см. ^{[18] [19]} и главу V, теорему 8.5 в ^[8] ), показывающее, что для таких узлов расширенные группы узлов допускают представления C(4)–T(4).
• Конечно представленные C ′(1/6) малые группы сокращения являются основными примерами гиперболических групп . Одной из эквивалентных характеристик гиперболических групп является то, что они допускают конечные представления, где алгоритм Дена решает проблему слов .
• Конечно представленные группы, заданные конечными представлениями C(4)–T(4), где каждая часть имеет длину один, являются основными примерами групп CAT(0) : для такого представления универсальным покрытием комплекса представления является квадратный комплекс CAT(0) .
• Ранние приложения теории малых сокращений включают получение различных результатов вложимости. Примерами служат статья 1974 года ^[20] Сакердота и Шуппа с доказательством того, что каждая группа с одним соотношением и по крайней мере тремя генераторами является SQ-универсальной , и статья 1976 года Шуппа ^[21] с доказательством того, что каждая счетная группа может быть вложена в простую группу, порожденную элементом порядка два и элементом порядка три.
• Так называемая конструкция Рипса , предложенная Элияху Рипсом [ ^22], предоставляет богатый источник контрпримеров относительно различных свойств подгрупп гиперболических групп в слове : для произвольной конечно представленной группы Q конструкция производит короткую точную последовательность , где K является двупорожденной, а G не имеет кручения и задана конечным представлением C ′(1/6) (и, таким образом, G является гиперболической). Конструкция дает доказательства неразрешимости нескольких алгоритмических проблем для гиперболических групп в слове , включая проблему принадлежности к подгруппе, проблему генерации и проблему ранга . ^[23] Кроме того, за несколькими исключениями, группа K в конструкции Рипса не является конечно представимой . Это подразумевает, что существуют гиперболические группы в слове, которые не являются когерентными , то есть которые содержат подгруппы, которые конечно порождены, но не конечно представимы. ${\displaystyle 1\to K\to G\to Q\to 1}$
• Методы малых сокращений (для бесконечных представлений) были использованы Ольшанским ^[9] для построения различных "монстровых" групп, включая монстра Тарского , а также для доказательства того, что свободные группы Бернсайда большого нечетного показателя бесконечны (аналогичный результат был первоначально доказан Адяном и Новиковым в 1968 году с использованием более комбинаторных методов). Некоторые другие "монстровые" группы, построенные Ольшанским с использованием этих методов, включают: бесконечную простую нётерову группу ; бесконечную группу, в которой каждая собственная подгруппа имеет простой порядок и любые две подгруппы того же порядка сопряжены; неаменабельную группу , в которой каждая собственная подгруппа является циклической; и другие. ^[24]
• Боудич ^[25] использовал бесконечно малые представления сокращения, чтобы доказать, что существует непрерывное множество типов квазиизометрии двухгенераторных групп.
• Томас и Величкович использовали теорию малых сокращений для построения ^[26] конечно-порожденной группы с двумя негомеоморфными асимптотическими конусами, тем самым ответив на вопрос Громова .
• Маккаммонд и Уайз показали, как преодолеть трудности, вызванные конструкцией Рипса, и создать большие классы малых групп сокращения, которые являются когерентными (то есть, когда все конечно порожденные подгруппы конечно представлены) и, более того, локально квазивыпуклыми (то есть, когда все конечно порожденные подгруппы квазивыпуклы). ^{[27] [28]}
• Методы малых сокращений играют ключевую роль в изучении различных моделей "генерических" или "случайных" конечно представленных групп (см. ^[29] ). В частности, для фиксированного числа m  ≥ 2 генераторов и фиксированного числа t  ≥ 1 определяющих соотношений и для любого λ  < 1 случайная m -генераторная t -соотносительная группа удовлетворяет условию малого сокращения C ′( λ ). Даже если число определяющих соотношений t не фиксировано, а растет как (2 m  − 1) ^εn (где ε  ≥ 0 - фиксированный параметр плотности в модели плотности Громова "случайных" групп, а где - длина определяющих соотношений), то ε -случайная группа удовлетворяет условию C ′(1/6) при условии ε  < 1/12. ${\displaystyle n\to \infty }$
• Громов ^[30] использовал версию теории малых сокращений относительно графа, чтобы доказать существование конечно представленной группы , которая «содержит» (в соответствующем смысле) бесконечную последовательность экспандеров и, следовательно, не допускает равномерного вложения в гильбертово пространство . Этот результат дает направление (единственное доступное на данный момент) для поиска контрпримеров к гипотезе Новикова .
• Осин ^[31] использовал обобщение теории малых сокращений, чтобы получить аналог гиперболической теоремы Дена Терстона о хирургии для относительно гиперболических групп .

Обобщения

• Версия теории малых сокращений для факторгрупп объединенных свободных произведений и расширений HNN была разработана в статье Сасердота и Шуппа, а затем в книге Линдона и Шуппа. ^[8]
• Рипс ^[32] и Ольшанский ^[9] разработали «стратифицированную» версию теории малых сокращений, в которой набор реляторов фильтруется как восходящее объединение страт (каждая страта удовлетворяет условию малого сокращения) и для релятора r из некоторой страты и релятора s из более высокой страты их перекрытие должно быть малым относительно | s |, но может иметь большое относительно | r |. Эта теория позволила Ольшанскому построить различные «монстрические» группы, включая монстра Тарского , и дать новое доказательство того, что свободные группы Бернсайда большого нечетного показателя бесконечны.
• Ольшанский ^[33] и Дельзант ^[34] позднее разработали версии теории малых сокращений для факторов гиперболических групп .
• Маккаммонд представил более многомерную версию теории малого сокращения. ^[35]
• Маккаммонд и Уайз существенно продвинули основные результаты стандартной теории малых сокращений (такие как лемма Гриндлингера) относительно геометрии диаграмм Ван Кампена над представлениями малых сокращений. ^[36]
• Громов использовал версию теории малых сокращений относительно графа, чтобы доказать ^[30] существование конечно представленной группы, которая «содержит» (в соответствующем смысле) бесконечную последовательность экспандеров и, следовательно, не допускает равномерного вложения в гильбертово пространство . ^[37]
• Осин ^[31] предложил версию теории малых сокращений для факторов относительно гиперболических групп и использовал ее для получения относительно гиперболического обобщения теоремы Терстона о гиперболической хирургии Дена .

Основные ссылки

• Роджер Линдон и Пол Шупп , Комбинаторная теория групп. Перепечатка издания 1977 года. Классика по математике. Springer-Verlag , Берлин, 2001. ISBN  3-540-41158-5 .
• Александр Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах. Перевод с русского оригинала 1989 г. Ю. А. Бахтурина. Математика и ее приложения (советская серия), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт, 1991. ISBN 0-7923-1394-1 . 
• Ральф Штребель, Приложение. Небольшие группы отмены. Sur les groupes Hyperboliques d'après Михаил Громов (Берн, 1988), стр. 227–273, Progress in Mathematics, 83, Birkhäuser Boston, Бостон, Массачусетс, 1990. ISBN 0-8176-3508-4 . 
• Миле Крайчевски, Разбиение плоскости, гиперболические группы и условия малого сокращения. Мемуары Американского математического общества, т. 154 (2001), № 733.

Смотрите также

• Геометрическая теория групп
• Группа словесно-гиперболических
• Группа монстров Тарски
• Проблема Бернсайда
• Конечно представленная группа
• Текстовая задача для групп
• Диаграмма Ван Кампена

Примечания

1. Брюс Чандлер и Вильгельм Магнус , История комбинаторной теории групп. Исследование случая в истории идей. Исследования по истории математики и физических наук, 9. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1982. ISBN 0-387-90749-1 . 
2. В. А. Тартаковский, Решение проблемы тождества слов для групп с k-приведенным базисом при k>6 . Известия АН СССР. Сер. Матем., т. 13, (1949), с. 483–494.
3. Мартин Гриндлингер, Алгоритм Дена для решения текстовой задачи. Сообщения по чистой и прикладной математике, т. 13 (1960), стр. 67–83.
4. Мартин Гриндлингер, Об алгоритмах Дена для задач сопряженности и слов с приложениями. Сообщения по чистой и прикладной математике, т. 13 (1960), стр. 641–677.
5. Мартин Гриндлингер, Аналог теоремы Магнуса. Archiv der Mathematik, том 12 (1961), стр. 94–96.
6. Роджер К. Линдон , Об алгоритме Дена. Mathematische Annalen , vol. 166 (1966), стр. 208–228.
7. Пол Э. Шупп, Об алгоритме Дена и проблеме сопряжения. Mathematische Annalen , том 178 (1968), стр. 119–130.
8. Роджер К. Линдон и Пол Шупп, Комбинаторная теория групп. Перепечатка издания 1977 года. Классика по математике. Springer-Verlag , Берлин, 2001. ISBN 3-540-41158-5 . 
9. Александр Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах . Перевод с русского оригинала 1989 г. Ю. А. Бахтурина. Математика и ее приложения (советская серия), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт, 1991. ISBN 0-7923-1394-1 . 
10. А. Ю. Ольшанский, Бесконечная группа с подгруппами простых порядков , Изв. мат. СССР, 16 (1981), 279–289; перевод Известий АН СССР, Сер. матем., 44 (1980), 309–321.
11. А. Ю. Ольшанский, Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка , Алгебра и логика 21 (1983), 369-418; перевод Алгебра и логика 21 (1982), 553-618.
12. П. С. Новиков, С. И. Адян, Бесконечные периодические группы. I. Известия Академии наук СССР. Сер. Мат., вып. 32 (1968), вып. 1, стр. 212–244.
13. П. С. Новиков, С. И. Адян, Бесконечные периодические группы. II . Известия Академии Наук СССР. Сер. Мат., вып. 32 (1968), вып. 2, стр. 251–524.
14. П. С. Новиков, С. И. Адян. Бесконечные периодические группы. III . Известия Академии Наук СССР. Сер. Мат., вып. 32 (1968), вып. 3, стр. 709–731.
15. М. Громов, Гиперболические группы , в «Очерках теории групп» (под ред. Г. М. Герстена), MSRI Publ. 8, 1987, стр. 75-263.
16. Стивен Дж. Прайд. Условия малого сокращения, которым удовлетворяют группы с одним отношением. Mathematische Zeitschrift , vol. 184 (1983), вып. 2, стр. 283–286.
17. Ян М. Чизуэлл, Дональд Дж. Коллинз, Йоханнес Хюбшманн, Презентации асферических групп . Mathematische Zeitschrift , vol. 178 (1981), вып. 1, стр. 1–36.
18. CM Weinbaum, Проблемы слова и сопряженности для группы узлов любого ручного, простого, чередующегося узла. Труды Американского математического общества , т. 30 (1971), стр. 22–26.
19. KI Appel, PE Schupp, Проблема сопряженности для группы любого ручного знакопеременного узла разрешима. Труды Американского математического общества , т. 33 (1972), стр. 329–336.
20. Джордж С. Сакердоте и Пол Э. Шупп, SQ-универсальность в группах HNN и группах с одним соотношением. Журнал Лондонского математического общества (2), т. 7 (1974), стр. 733–740.
21. Пол Э. Шупп, Вложения в простые группы. Журнал Лондонского математического общества (2), т. 13 (1976), № 1, стр. 90–94.
22. Э. Рипс, Подгруппы малых групп сокращения . Бюллетень Лондонского математического общества , т. 14 (1982), № 1, стр. 45–47.
23. G. Baumslag, CF Miller, H. Short, Неразрешимые проблемы о малых сокращениях и гиперболических группах слов, Bulletin of the London Mathematical Society , т. 26 (1994), № 1, стр. 97–101.
24. А. Ю. Ольшанский, О геометрическом методе в комбинаторной теории групп , Труды Международного конгресса математиков, т. 1, 2 (Варшава, 1983), 415–424, PWN–Polish Scientific Publishers, Варшава; North-Holland Publishing Co., Амстердам, 1984. ISBN 83-01-05523-5 . 
25. Б. Х. Боудич, Непрерывно множество классов квазиизометрии 2-порождающих групп. Commentarii Mathematici Helvetici , vol. 73 (1998), вып. 2, стр. 232–236.
26. С. Томас и Б. Величкович. Асимптотические конусы конечно порожденных групп . Бюллетень Лондонского математического общества , т. 32 (2000), № 2, стр. 203–208.
27. Джонатан П. Маккаммонд и Дэниел Т. Уайз, Согласованность, локальная квазивыпуклость и периметр 2-комплексов. Геометрический и функциональный анализ , т. 15 (2005), № 4, стр. 859–927.
28. Джонатан П. Маккаммонд и Дэниел Т. Уайз, Локально квазивыпуклые группы с малым сокращением. Труды Американского математического общества , т. 360 (2008), № 1, стр. 237–271.
29. Янн Оливье, Приглашение случайным группам в январе 2005 г. Ensaios Matemáticos [Математические обзоры], 10. Sociedade Brasileira de Matemática, Рио-де-Жанейро, 2005. ISBN 85-85818-30-1 . 
30. Громов, М. (2003). «Случайное блуждание в случайных группах». Геометрический и функциональный анализ . 13 (1): 73–146. doi :10.1007/s000390300002. S2CID  15535071.
31. Осин, Денис В. (2007). «Периферийные заполнения относительно гиперболических групп». Inventiones Mathematicae . 167 (2): 295–326. arXiv : math/0510195 . doi :10.1007/s00222-006-0012-3. S2CID  13821804.
32. Рипс, Элияху (1982). «Обобщенная теория малых сокращений и ее применение I». Israel Journal of Mathematics . 41 : 1–146. doi :10.1007/BF02760660.
33. Ольшанский, А. Ю. (1993). «О гомоморфизмах с остаточными свойствами и G-подгруппах гиперболических групп». International Journal of Algebra and Computation . 3 (4): 365–409. doi :10.1142/S0218196793000251.
34. Дельзант, Томас (1996). «Sous-groupes distingués et practients des groupes Hyperboliques» [Выделенные подгруппы и факторы гиперболических групп]. Математический журнал Герцога (на французском языке). 83 (3): 661–682. дои : 10.1215/S0012-7094-96-08321-0.
35. Маккаммонд, Джонатан П. (2000). «Общая теория малых сокращений». Международный журнал алгебры и вычислений . 10 (1): 1–172. doi :10.1142/S0218196700000029.
36. Маккаммонд, Джонатан П.; Уайз, Дэниел Т. (2002). «Веера и лестницы в теории малых сокращений». Труды Лондонского математического общества . 84 (3): 599–644. doi :10.1112/S0024611502013424. S2CID  6279421.
37. Для получения более подробной информации о теории малых сокращений в отношении графа см. также Ollivier, Yann (2006). "On a small cancellation Theorem of Gromov" (PDF) . Bulletin of the Belgian Mathematical Society . 13 (1): 75–89. doi : 10.36045/bbms/1148059334 .