Теорема Кузена

В реальном анализе , разделе математики, теорема Кузена утверждает, что:

Если для каждой точки замкнутой области (в современной терминологии « замкнутой и ограниченной ») существует окружность конечного радиуса (в современной терминологии « окрестность »), то область можно разделить на конечное число подобластей таким образом, что каждая подобласть является внутренней по отношению к окружности заданного множества, имеющего центр в подобласти. ^[1]

Этот результат был первоначально доказан Пьером Кузеном, учеником Анри Пуанкаре , в 1895 году, и он расширяет исходную теорему Гейне–Бореля о компактности для произвольных покрытий компактных подмножеств . Однако Пьер Кузен не получил никакого признания. Теорема Кузена обычно приписывалась Анри Лебегу как теорема Бореля–Лебега . Лебег знал об этом результате в 1898 году и доказал его в своей диссертации 1903 года. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

На современном языке это звучит так:

Пусть будет полным покрытием [ a , b ], то есть набором замкнутых подынтервалов [ a , b ] со свойством, что для каждого x ∈ [ a , b ], существует δ >0, такое, что содержит все подынтервалы [ a , b ], которые содержат x и длину, меньшую δ . Тогда существует разбиение неперекрывающихся интервалов для [ a , b ], где и a = x ₀ < x ₁ < ⋯ < x _n = b для всех 1≤ i ≤ n . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n}}}$ ${\displaystyle I_{i}=[x_{i-1},x_{i}]\in {\mathcal {C}}}$

Лемма Кузена изучается в обратной математике , где она является одной из первых теорем третьего порядка, которую трудно доказать с точки зрения необходимых аксиом понимания.

В интеграции Хенстока-Курцвейла

Теорема Кузена играет важную роль в изучении интегрирования Хенстока–Курцвейля и в этом контексте известна как лемма Кузена или теорема о тонкости .

Калибровка на является строго положительной действительной функцией , в то время как помеченное разбиение является конечной последовательностью ^{[2] [3]} ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \delta :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle P=\langle a=x_{0}<t_{1}<x_{1}<t_{2}<\cdots <x_{\ell -1}<t_{\ell }<x_{\ell }=b\rangle }$

При наличии калибровки и помеченного разбиения мы говорим, что является -хорошим, если для всех , имеем , где обозначает открытый шар радиуса с центром в . Лемма Кузена теперь формулируется как: ${\displaystyle \delta :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 1\leq j\leq \ell }$ ${\displaystyle (x_{j-1},x_{j})\subseteq B{\big (}t_{j},\delta (t_{j}){\big )}}$ ${\displaystyle B(x,r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$

Если , то каждая калибровка имеет -тонкое разбиение. ^[4] ${\displaystyle a<b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \delta :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \delta }$

Доказательство теоремы

Теорема Кузена имеет интуиционистское доказательство, использующее принцип открытой индукции , которое гласит:

Открытое подмножество замкнутого действительного интервала называется индуктивным, если оно удовлетворяет , что подразумевает . Принцип открытой индукции утверждает, что любое индуктивное подмножество должно быть всем множеством. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,r)\subset S}$ ${\displaystyle [a,r]\subset S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Доказательство с использованием открытой индукции

Пусть будет множеством точек, таким, что существует -тонкое помеченное разбиение на для некоторого . Множество открыто, поскольку оно замкнуто вниз, и любая точка в нем включена в открытый луч для любого связанного разбиения. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle [a,s]}$ ${\displaystyle s\geq r}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [a,b]\cap [a,t_{n}+\delta (t_{n}))\subset S}$

Более того, он индуктивен. Для любого предположим . По этому предположению (и используя это либо или для обработки крайних случаев) у нас есть раздел длины с . Тогда либо или . В первом случае , поэтому мы можем просто заменить на и получить раздел , который включает . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [a,r)\subset S}$ ${\displaystyle r>a}$ ${\displaystyle r\in [a,a+\delta (a))\subset S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}>\mathrm {max} (a,r-{\tfrac {1}{2}}\delta (r))}$ ${\displaystyle x_{n}>b-(t_{n}+\delta (t_{n})-x_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}<b}$ ${\displaystyle b<t_{n}+\delta (t_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle r}$

Если , мы можем сформировать разбиение длины , включающее . Чтобы показать это, мы разделим на случаи или . В первом случае мы устанавливаем , во втором мы устанавливаем . В обоих случаях мы можем установить и получить допустимое разбиение. Таким образом , во всех случаях и является индуктивным. ${\displaystyle x_{n}<b}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>x_{n}}$ ${\displaystyle r<x_{n}+\delta (x_{n})}$ ${\displaystyle t_{n+1}=r}$ ${\displaystyle t_{n+1}=x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n+1}=\mathrm {min} (b,t_{n+1}+{\tfrac {1}{2}}\delta (t_{n+1}))>x_{n}}$ ${\displaystyle [a,r]\subset S}$ ${\displaystyle S}$

По открытой индукции, . ${\displaystyle S=[a,b]}$

Примечания

1. Hildebrandt 1925, стр. 29
2. Гордон, Рассел (1994-08-01). Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока. Graduate Studies in Mathematics. Том 4. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi :10.1090/gsm/004. ISBN 978-0-8218-3805-1.
3. « Теории интеграции». Серия «Вещественный анализ » . 13. doi :10.1142/8291. ISBN 978-981-4368-99-5. ISSN  1793-1134.
4. Бартл 2001, стр. 11

Ссылки

• Хильдебрандт, TH (1925). Теорема Бореля и ее обобщения в JC Abbott (ред.), The Chauvenet Papers: сборник отмеченных наградами описательных статей по математике. Математическая ассоциация Америки.
• Раман, М. Дж. (1997). Понимание компактности: историческая перспектива , магистерская диссертация. Калифорнийский университет, Беркли. arXiv :1006.4131.
• Бартл, Р. Г. (2001). Современная теория интеграции , аспирантура по математике 32 , Американское математическое общество.