Лемма Маргулиса

В дифференциальной геометрии лемма Маргулиса ( названная в честь Григория Маргулиса ) — результат о дискретных подгруппах изометрий риманова многообразия неположительной кривизны (например, гиперболического n-пространства ). Грубо говоря, там говорится, что в пределах фиксированного радиуса, обычно называемого постоянной Маргулиса , структура орбит такой группы не может быть слишком сложной. Точнее, в пределах этого радиуса вокруг точки все точки ее орбиты фактически находятся в орбите нильпотентной подгруппы (фактически ограниченного конечного числа таких).

Лемма Маргулиса для многообразий неположительной кривизны

Официальное заявление

Лемму Маргулиса можно сформулировать следующим образом. ^[1]

Пусть – односвязное многообразие неположительной ограниченной секционной кривизны . Существуют константы со следующим свойством. Для любой дискретной подгруппы группы изометрий и любого , if – множество: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,\varepsilon >0}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F_{x}}$

${\displaystyle F_{x}=\{g\in \Gamma :d(x,gx)<\varepsilon \}}$

тогда подгруппа, порожденная командой, содержит нильпотентную подгруппу с индексом меньше . Вот расстояние , индуцированное римановой метрикой. ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d}$

Непосредственно эквивалентное утверждение можно дать следующим образом: для любого подмножества группы изометрий, если оно удовлетворяет условию: ${\displaystyle F}$

• существует такое, что ; ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \forall g\in F:d(x,gx)<\varepsilon }$
• группа , порожденная дискретной ${\displaystyle \langle F\rangle }$ ${\displaystyle F}$

тогда содержит нильпотентную подгруппу индекса . ${\displaystyle \langle F\rangle }$ ${\displaystyle \leq C}$

Константы Маргулиса

Оптимальную константу в формулировке можно сделать зависящей только от размерности и нижней границы кривизны; обычно ее нормализуют так, чтобы кривизна находилась в диапазоне от -1 до 0. Обычно ее называют постоянной Маргулиса измерения. ${\displaystyle \varepsilon }$

Можно также рассмотреть константы Маргулиса для конкретных пространств. Например, была предпринята важная попытка определить константу Маргулиса гиперболических пространств (постоянной кривизны -1). Например:

• оптимальная константа для гиперболической плоскости равна ; ^[2] ${\displaystyle 2\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {\frac {2\cos(2\pi /7)-1}{8\cos(\pi /7)+7}}}\right)\simeq 0.2629}$
• В общем , известно, что константа Маргулиса для гиперболического пространства удовлетворяет следующим ограничениям: ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ ${\displaystyle n}$
  $${\displaystyle c^{-n^{2}}<\varepsilon _{n}<K/{\sqrt {n}}}$$
  для некоторых . ^[3] ${\displaystyle 0<c<1,K>0}$

Районы Зассенхауса

Особо изученное семейство примеров многообразий отрицательной кривизны представляют собой симметрические пространства , ассоциированные с полупростыми группами Ли . В этом случае лемме Маргулиса можно дать следующую, более алгебраическую формулировку, восходящую к Гансу Цассенхаузу . ^[4]

Если — полупростая группа Ли, то существует окрестность единицы в и a такая, что любая дискретная подгруппа , порожденная группой, содержит нильпотентную подгруппу индекса . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \cap \Omega }$ ${\displaystyle \leq C}$

Такой район называется районом Зассенхаус в России . Если группа компактна, эта теорема сводится к теореме Жордана о конечных линейных группах . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Толсто-тонкое разложение

Пусть – риманово многообразие и . Тонкая часть — это подмножество точек, где радиус инъективности at меньше , обычно обозначается , а толстая часть — его дополнение, обычно обозначается . Имеет место тавтологическое разложение в непересекающийся союз . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle M_{<\varepsilon }}$ ${\displaystyle M_{\geq \varepsilon }}$ ${\displaystyle M=M_{<\varepsilon }\cup M_{\geq \varepsilon }}$

Когда имеет отрицательную кривизну и меньше постоянной Маргулиса для универсального покрытия , структура компонентов тонкой части очень проста. Ограничимся случаем гиперболических многообразий конечного объема. Предположим, что меньше константы Маргулиса для и — гиперболическое -многообразие конечного объема. Тогда его тонкая часть имеет два вида компонентов: ^[5] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

• Каспы : это неограниченные компоненты, они диффеоморфны плоскому -многообразию , ${\displaystyle (n-1)}$ умноженному на прямую;
• Трубки Маргулиса: это окрестности замкнутых геодезических длиной на . Они ограничены и (если ориентируемо) диффеоморфны окружности, умноженной на -диск. ${\displaystyle <\varepsilon }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (n-1)}$

В частности, полное гиперболическое многообразие конечного объема всегда диффеоморфно внутренности компактного многообразия (возможно, с пустым краем).

Другие приложения

Лемма Маргулиса — важный инструмент при изучении многообразий отрицательной кривизны. Помимо разложения «толстый-тонкий», есть и другие приложения:

• Лемма о воротнике : это более точный вариант описания компактных компонентов тонких деталей. Он утверждает, что любая замкнутая геодезическая длины на гиперболической поверхности содержится во вложенном цилиндре диаметра порядка . ${\displaystyle \ell <\varepsilon }$ ${\displaystyle \ell ^{-1}}$
• Лемма Маргулиса дает немедленное качественное решение проблемы минимального кообъема среди гиперболических многообразий: поскольку объем трубки Маргулиса, как видно, ограничен снизу константой, зависящей только от размерности, отсюда следует, что существует положительная нижняя грань объемы гиперболических n -многообразий для любого n . ^[6]
• Существование окрестностей Цассенхауза является ключевым моментом в доказательстве теоремы Каждана–Маргулиса .
• Теорему Жордана–Шура можно восстановить как следствие существования окрестностей Цассенхауза.

Смотрите также

• Неравенство Йоргенсена дает количественную формулировку для дискретных подгрупп группы изометрий трехмерного гиперболического пространства. ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Примечания

1. Баллманн, Громов и Шредер 1985, Теорема 9.5.
2. Ямада, А. (1981). «Об универсальной константе Мардена фуксовых групп». Кодай Математика. Дж . 4 (2): 266–277. дои : 10.2996/кмдж/1138036373.
3. Белолипецкий, Михаил (2014). «Гиперболические орбифолды малого объема». Материалы ICM 2014 . Кён Мун С.А. arXiv : 1402.5394 .
4. Рагунатан 1972, Определение 8.22.
5. Терстон 1997, Глава 4.5.
6. Рэтклифф 2006, с. 666.

Рекомендации

• Баллманн, Вернер; Громов, Михаил; Шредер, Виктор (1985). Многообразия неположительной кривизны . Биркхаузер.
• Рагунатан, MS (1972). Дискретные подгруппы групп Ли . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Спрингер-Верлаг . МР  0507234.
• Рэтклифф, Джон (2006). Основы гиперболических многообразий, Второе издание . Спрингер. стр. xii+779. ISBN 978-0387-33197-3.
• Терстон, Уильям (1997). Трехмерная геометрия и топология. Том. 1 . Издательство Принстонского университета.