Лемма Римана–Лебега

Теорема гармонического анализа

В математике лемма Римана-Лебега , названная в честь Бернхарда Римана и Анри Лебега , утверждает, что преобразование Фурье или преобразование Лапласа функции L 1 исчезает на бесконечности . Она важна в гармоническом анализе и асимптотическом анализе .

Заявление

Пусть — интегрируемая функция, т.е. — измеримая функция такая, что ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{1}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|\mathrm {d} x<\infty ,}$

и пусть будет преобразованием Фурье , т.е. ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ,\ \xi \mapsto \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\cdot \xi }\mathrm {d} x.}$

Затем исчезает на бесконечности: как . ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\to 0}$ ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$

Поскольку преобразование Фурье интегрируемой функции непрерывно, преобразование Фурье является непрерывной функцией, исчезающей на бесконечности. Если обозначает векторное пространство непрерывных функций, исчезающих на бесконечности, лемму Римана–Лебега можно сформулировать следующим образом: Преобразование Фурье отображается в . ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$

Доказательство

Мы сосредоточимся на одномерном случае , доказательство в более высоких измерениях аналогично. Сначала предположим, что является непрерывным и компактно носителем . Для , подстановка приводит к ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \xi \neq 0}$ ${\displaystyle \textstyle x\to x+{\frac {\pi }{\xi }}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi }\mathrm {d} x=-\int _{\mathbb {R} }f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x}$.

Это дает вторую формулу для . Взяв среднее значение обеих формул, приходим к следующей оценке: ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$

${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left|f(x)-f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\right|\mathrm {d} x}$.

Поскольку является непрерывным, сходится к как для всех . Таким образом, сходится к 0 как в силу теоремы о доминируемой сходимости . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left|f(x)-f\left(x+{\tfrac {\pi }{\xi }}\right)\right|}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|}$ ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$

Если — произвольная интегрируемая функция, то ее можно аппроксимировать по норме компактной непрерывной функцией. Для выберем компактную непрерывную функцию такую, что . Тогда ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}\leq \varepsilon }$

${\displaystyle \limsup _{\xi \rightarrow \pm \infty }|{\hat {f}}(\xi )|\leq \limsup _{\xi \to \pm \infty }\left|\int (f(x)-g(x))\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\,\mathrm {d} x\right|+\limsup _{\xi \rightarrow \pm \infty }\left|\int g(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\,\mathrm {d} x\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon .}$

Поскольку это справедливо для любого , то следует, что при . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\to 0}$ ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$

Другие версии

Лемма Римана–Лебега справедлива и во множестве других ситуаций.

• Если , то лемма Римана–Лебега справедлива и для преобразования Лапласа , то есть, ${\displaystyle f\in L^{1}[0,\infty )}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-tz}\mathrm {d} t\to 0}$

как внутри полуплоскости . ${\displaystyle |z|\to \infty }$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)\geq 0}$

• Версия верна и для рядов Фурье : если — интегрируемая функция на ограниченном интервале, то коэффициенты Фурье стремятся к 0 при . Это следует из продолжения на ноль за пределами интервала и последующего применения версии леммы Римана–Лебега на всей действительной прямой. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k\to \pm \infty }$ ${\displaystyle f}$

• Однако лемма Римана–Лебега не выполняется для произвольных распределений. Например, распределение дельта-функции Дирака формально имеет конечный интеграл по действительной оси, но его преобразование Фурье является константой и не обращается в нуль на бесконечности.

Приложения

Лемма Римана–Лебега может быть использована для доказательства справедливости асимптотических приближений для интегралов. Строгие трактовки метода наискорейшего спуска и метода стационарной фазы , среди прочих, основаны на лемме Римана–Лебега.

Ссылки

• Бохнер С. , Чандрасекхаран К. (1949). Преобразования Фурье . Princeton University Press.
• Вайсштейн, Эрик В. «Лемма Римана – Лебега». Математический мир .