Лемма Чжоу

Лемма Чжоу , названная в честь Вэй-Ляна Чжоу , является одним из основополагающих результатов в алгебраической геометрии . Она грубо говорит, что собственный морфизм довольно близок к тому, чтобы быть проективным морфизмом . Точнее, ее версия утверждает следующее: ^[1]

Если - схема, которая является правильной над нётеровой базой , то существует проективная -схема и сюръективный -морфизм , который индуцирует изоморфизм для некоторого плотного открытого ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)\simeq U}$ ${\displaystyle U\subseteq X.}$

Доказательство

Доказательство здесь стандартное. ^[2]

Сведение к случаю Х {\displaystyle X} неприводимый

Сначала мы можем свести к случаю, когда является неприводимым. Для начала, является нётеровым, поскольку имеет конечный тип над нётеровой базой. Поэтому он имеет конечное число неприводимых компонент , и мы утверждаем, что для каждого существует неприводимая собственная -схема , которая имеет теоретико-множественный образ и является изоморфизмом на открытом плотном подмножестве . Чтобы увидеть это, определим как схемно-теоретический образ открытого погружения ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}\to X}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$

${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X.}$

Так как является теоретико-множественно нётеровым для каждого , отображение является квазикомпактным, и мы можем вычислить этот схемно-теоретический образ аффинно-локально на , немедленно доказав два утверждения. Если мы можем произвести для каждого проективную -схему, как в формулировке теоремы, то мы можем взять в качестве непересекающегося объединения и в качестве композиции : это отображение проективно и является изоморфизмом над плотным открытым множеством , в то время как является проективной -схемой, поскольку она является конечным объединением проективных -схем. Поскольку каждое является собственным над , мы завершили сведение к случаю неприводимого. ${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y_{i}'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \coprod Y_{i}'\to \coprod Y_{i}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

X {\displaystyle X} может быть покрыта конечным числом квазипроективных S {\displaystyle S} -схемы

Далее мы покажем, что может быть покрыто конечным числом открытых подмножеств так, что каждое из них квазипроективно над . Для этого мы можем с помощью квазикомпактности сначала покрыть конечным числом аффинных открывающихся , а затем покрыть прообраз каждого из конечным числом аффинных открывающихся каждое с замкнутым погружением в в , поскольку имеет конечный тип и, следовательно, квазикомпактно. Составляя это отображение с открытыми погружениями и , мы видим, что каждое является замкнутой подсхемой открытой подсхемы из . Поскольку нётерово, каждая замкнутая подсхема открытой подсхемы также является открытой подсхемой замкнутой подсхемы, и, следовательно, каждое является квазипроективным над . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{j}}$ ${\displaystyle S_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{jk}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}}$ ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle X_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle X_{ij}}$ ${\displaystyle S}$

Строительство X ′ {\displaystyle X'} и f : X ′ → X {\displaystyle f:X'\to X}

Теперь предположим, что есть конечное открытое покрытие квазипроективными -схемами с открытым погружением в проективную -схему. Множество , которое непусто, поскольку является неприводимым. Ограничения на для определения морфизма ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to P_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U=\cap _{i}U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \phi :U\to P=P_{1}\times _{S}\cdots \times _{S}P_{n}}$

так что , где — каноническая инъекция, а — проекция. Обозначив каноническое открытое погружение, мы определяем , которое, как мы утверждаем, является погружением. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что этот морфизм может быть разложен как графовый морфизм (который является замкнутым погружением, поскольку является разделенным), за которым следует открытое погружение ; поскольку является нётеровым, мы можем применить ту же логику, что и раньше, чтобы увидеть, что мы можем поменять местами порядок открытого и закрытого погружений. ${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}=U{\stackrel {\phi }{\to }}P{\stackrel {p_{i}}{\to }}P_{i}}$ ${\displaystyle U\to U_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}:P\to P_{i}}$ ${\displaystyle j:U\to X}$ ${\displaystyle \psi =(j,\phi )_{S}:U\to X\times _{S}P}$ ${\displaystyle U\to U\times _{S}P}$ ${\displaystyle P\to S}$ ${\displaystyle U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$ ${\displaystyle X\times _{S}P}$

Теперь пусть будет теоретико-схемным образом и разложим на множители ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi :U{\stackrel {\psi '}{\to }}X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P}$

где — открытое погружение, а — закрытое погружение. Пусть и — канонические проекции. Задайте ${\displaystyle \psi '}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle q_{1}:X\times _{S}P\to X}$ ${\displaystyle q_{2}:X\times _{S}P\to P}$

${\displaystyle f:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{1}}{\to }}X,}$

${\displaystyle g:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{2}}{\to }}P.}$

Мы это покажем и выполним заключение теоремы. ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle f}$

Проверка заявленных свойств X ′ {\displaystyle X'} и f {\displaystyle f}

Чтобы показать, что является сюръективным, мы сначала замечаем, что оно является собственным и, следовательно, замкнутым. Поскольку его образ содержит плотное открытое множество , мы видим, что должно быть сюръективным. Также легко увидеть, что индуцирует изоморфизм на : мы можем просто объединить факты, что и является изоморфизмом на его образ, как факторы, такие как композиция замкнутого погружения, за которым следует открытое погружение . Осталось показать, что является проективным над . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)=h^{-1}(U\times _{S}P)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle U\to U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle S}$

Мы сделаем это, показав, что является погружением. Мы определяем следующие четыре семейства открытых подсхем: ${\displaystyle g:X'\to P}$

${\displaystyle V_{i}=\phi _{i}(U_{i})\subset P_{i}}$

${\displaystyle W_{i}=p_{i}^{-1}(V_{i})\subset P}$

${\displaystyle U_{i}'=f^{-1}(U_{i})\subset X'}$

${\displaystyle U_{i}''=g^{-1}(W_{i})\subset X'.}$

Как крышка , крышка , и мы хотим показать, что также крышка . Мы сделаем это, показав, что для всех . Достаточно показать, что равно как отображение топологических пространств. Заменяя его редукцией, которая имеет то же самое базовое топологическое пространство, мы получаем, что оба морфизма являются расширениями базового отображения топологического пространства , поэтому по лемме о редукции к разделенному они должны быть равны, поскольку топологически плотно в . Следовательно, для всех и утверждение доказано. ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle U_{i}''}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{i}\circ g|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$ ${\displaystyle \phi _{i}\circ f|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}'}$ ${\displaystyle (U_{i}')_{red}\to P_{i}}$ ${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$ ${\displaystyle i}$

В результате получается, что крышка , и мы можем проверить, что это погружение, проверив, что это погружение для всех . Для этого рассмотрим морфизм ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle g(X')}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g|_{U_{i}''}:U_{i}''\to W_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}:W_{i}{\stackrel {p_{i}}{\to }}V_{i}{\stackrel {\phi _{i}^{-1}}{\to }}U_{i}\to X.}$

Так как отделено, морфизм графа является замкнутым погружением, а граф является замкнутой подсхемой ; если мы покажем, что факторизуется через этот граф (где мы рассматриваем посредством нашего наблюдения, что является изоморфизмом по из ранее), то отображение из должно также факторизироваться через этот граф посредством построения теоретико-схемного образа. Так как ограничение на является изоморфизмом на , ограничение на будет погружением в , и наше утверждение будет доказано. Пусть будет канонической инъекцией ; мы должны показать, что существует морфизм такой, что . По определению произведения слоев достаточно доказать, что , или отождествив и , что . Но и , поэтому желаемое заключение следует из определения и является погружением. Так как является собственным, любой -морфизм из замкнут, и, таким образом, является замкнутым погружением, поэтому является проективным. ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle \Gamma _{u_{i}}:W_{i}\to X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}=\Gamma _{u_{i}}(W_{i})}$ ${\displaystyle X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle U\to X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle U\subset X'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U_{i}''}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U_{i}''}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle U\subset X'\to X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}:U\subset X'\to W_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}=\Gamma _{u_{i}}\circ w_{i}}$ ${\displaystyle q_{1}\circ v_{i}=u_{i}\circ q_{2}\circ v_{i}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle U\subset X'}$ ${\displaystyle q_{1}\circ \psi =u_{i}\circ q_{2}\circ \psi }$ ${\displaystyle q_{1}\circ \psi =j}$ ${\displaystyle q_{2}\circ \psi =\phi }$ ${\displaystyle \phi :U\to P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X'\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle g:X'\to P}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Дополнительные заявления

В формулировке леммы Чжоу, если является приведенным, неприводимым или целым, мы можем предположить, что то же самое справедливо для . Если оба и неприводимы, то является бирациональным морфизмом. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$

Ссылки

1. Хартсхорн 1977, Глава II. Упражнение 4.10.
2. Гротендик и Дьедонне 1961, 5.6.1.
3. Гротендик и Дьедонне 1961, 5.6.

Библиография

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Глобальное элементарное исследование некоторых классов морфизмов». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 8 . дои : 10.1007/bf02699291. МР  0217084.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157