Лемма о вписанном и вневписанном центрах

В геометрии лемма о вписанном и вневписанном центрах — это теорема о том, что отрезок прямой между вписанным и любым вневписанным центром треугольника или между двумя вневписанными центрами является диаметром окружности ( окружности с вписанным и вневписанным центрами или окружности с вписанным и вневписанным центрами ), проходящей через две вершины треугольника с центром на описанной окружности . ^[1]^[2]^[3] Эта теорема наиболее известна в России, где она называется теоремой трилистника или леммой о трезубце , исходя из сходства геометрической фигуры с цветком триллиума или трезубцем ; ^[4]^{[5] эти названия}иногда также были приняты в английском языке. ^[6]^[7]

Эти соотношения возникают из-за того, что центры инцентрической и вневписанной окружностей любого треугольника образуют ортоцентрическую систему , окружность которой, состоящая из девяти точек, является описанной окружностью исходного треугольника. ^[8]^[2] Теорема полезна для решения конкурентных задач по евклидовой геометрии ^[1] и может использоваться для реконструкции треугольника, начиная с одной вершины, центра инцентрической и центра описанной окружности.

Заявление

Пусть $ABC$ — произвольный треугольник . Пусть $I$ — его вписанный центр , а $D$ — точка пересечения прямой $BI$ ( биссектрисы угла ∠ $ABC)$ с описанной окружностью треугольника ABC $.$ Тогда теорема утверждает, что $D$ равноудалена от $A$ , $C$ и $I.$ Эквивалентно:

Окружность, проходящая через $A$ , $C$ и $I,$ имеет центр в точке $D.$ В частности, это означает, что центр этой окружности лежит на описанной окружности. ^[9]^[10]
Три треугольника $AID$ , $CID$ и $ACD$ являются равнобедренными , с вершиной $D.$

Четвертая точка $E$ , внецентренная $точка ABC$ относительно B $,$ также лежит на том же расстоянии от $D$ , диаметрально противоположно $I.$ ^[5]^[11 ]

Доказательство

По теореме о вписанном угле , $\угол IBA=\угол DCA,\ \угол IBC=\угол DAC.$

Так как является биссектрисой угла, $БИ$ $\angle DCA=\angle DAC\подразумевает AD=CD.$

Мы также получаем

{\begin{aligned}\угол DIA&=180^{\circ }-\угол AIB\\&=180^{\circ }-(180^{\circ }-\угол IAB-\угол IBA)\\&=\угол IAB+\угол IBA\\&=\угол IAC+\угол DAC\\&=\угол IAD\\\подразумевает AD&=DI.\end{aligned}}

Применение к реконструкции треугольника

Эту теорему можно использовать для реконструкции треугольника, начиная с местоположений только одной вершины, инцентра и центра описанной окружности треугольника. Пусть $B$ — заданная вершина, $I$ — инцентр, а $O$ — центр описанной окружности. Эта информация позволяет последовательно построить:

описанная окружность данного треугольника, как окружность с центром $O$ и радиусом $OB$ ,
точка $D$ как пересечение описанной окружности с линией $BI$ ,
окружность теоремы с центром $D$ и радиусом $DI$ , и
вершины $A$ и $C$ как точки пересечения двух окружностей. ^[12]

Однако для некоторых троек точек $B$ , $I$ , и $O$ , эта конструкция может не сработать, либо потому что линия $IB$ касается описанной окружности, либо потому что две окружности не имеют двух точек пересечения. Это также может привести к треугольнику, для которого заданная точка $I$ является вневписанным центром, а не вписанным. В этих случаях не может быть треугольника, имеющего $B$ в качестве вершины, $I$ в качестве вписанного центра и $O$ в качестве описанного центра. ^[13]

Другие задачи реконструкции треугольника, такие как реконструкция треугольника по вершине, вписанному центру и центру его девятиточечной окружности , можно решить, сведя задачу к случаю вершины, вписанного центра и описанного центра. ^[13]

Обобщение

Пусть $I$ и $J$ будут любыми двумя из четырех точек, заданных центром инцентра и тремя вневписанными центрами треугольника $ABC$ . Тогда $I$ и $J$ лежат на одной из трех вершин треугольника. Окружность с диаметром $IJ$ проходит через две другие вершины и имеет центр на описанной окружности $ABC$ . Когда один из $I$ или $J$ является вписанным центром, это теорема триллиума, с линией $IJ$ как (внутренней) биссектрисой одного из углов треугольника. Однако это также верно, когда $I$ и $J$ являются обеими вневписанными центрами; в этом случае линия $IJ$ является внешней биссектрисой одного из углов треугольника. ^[14]

Смотрите также

Теорема о биссектрисе угла

Ссылки

^ ab Chen, Evan (2016). "§1.4 Лемма о вписанном/вневписанном центре". Евклидова геометрия на математических олимпиадах . Математическая ассоциация Америки. стр. 9–10. ISBN 9780883858394.
^ аб Ле, Нгуен; Вильдбергер, Норман (2016). «Инцентральная симметрия, линии Эйлера и точки Шиффлера». КоГ . 20 (20): 22–30.
^ Weisstein, Eric W. (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics . CRC Press. "Excenter–Excenter Circle" стр. 591, "Incenter–Excenter Circle" стр. 894. ISBN 0849396409.Переиздано в MathWorld : «Excenter–Excenter Circle», «Incenter–Excenter Circle».
^ Теорема триллиума: И. А. Кушнир. «Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера» (PDF) (на русском языке). Ф7 (Теорема трилистника), стр. 34; доказательство на странице 36.
Лемма о трезубце: Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. "Задачи для школьного математического кружка" (PDF) (на русском языке). Проблема 1.2. п. 4.{{cite web}}: CS1 maint: location (link)
^ ab "6. Лемма о трезубце" (PDF) (на русском языке). СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 29 октября 2014 г.
^ Гарсия, Роналдо; Оденал, Борис; Резник, Дэн (2022). «Местоположения треугольников Понселе в общем случае замыкания». Журнал геометрии . 113 (1): 17. arXiv : 2108.05430 . doi : 10.1007/s00022-022-00629-3.
^ Заславский, Алексей А.; Скопенков, Михаил Б. (2021). Математика через задачи. Часть 2: Геометрия . Американское математическое общество. стр. 15. ISBN 9781470448790.
^ Джонсон, Роджер А. (1929). "X. Вписанные и выписанные окружности" . Современная геометрия . Houghton Mifflin. стр. 182–194.
^ Моррис, Ричард (1928), «Окружности через заметные точки треугольника», Учитель математики , 21 (2): 63–71, doi :10.5951/MT.21.2.0069, JSTOR 27951001. См., в частности, обсуждение на стр. 65 кругов $BIC$ , $CIA$ , $AIB$ и их центров.
^ Богомольный, Александр . "Свойство окружности, проходящей через инцентр". Cut-the-Knot . Получено 26.01.2016 .
^ Богомольный, Александр . "Середины линий, соединяющих входящие и выходящие центры". Cut-the-Knot . Получено 26.01.2016 .
^ Ареф, МН; Верник, Уильям (1968). Проблемы и решения в евклидовой геометрии. Довер. 3.3(i), стр. 68. ISBN 9780486477206..
^ ab Yiu, Paul (2012), «Коническое построение треугольника из его инцентра, центра с девятью точками и вершины» (PDF) , Журнал геометрии и графики , 16 (2): 171–183, MR 3088369
^ Чжоу, Шан-Чин; Гао, Сяо-Шань; Чжан, Цзинчжун (1994). Машинные доказательства в геометрии. World Scientific. Примеры 6.145 и 6.146, стр. 328–329. ISBN 9789810215842..