Лемма о трубке

В математике , в частности в топологии , лемма о трубке , также называемая теоремой Уоллеса, является полезным инструментом для доказательства того, что конечное произведение компактных пространств компактно.

Заявление

В лемме используется следующая терминология:

• Если и являются топологическими пространствами , а — пространством произведений, наделенным топологией произведений , то срез в представляет собой множество вида для . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \{x\}\times Y}$ ${\displaystyle x\in X}$
• Трубка в — это подмножество формы , где — открытое подмножество . Она содержит все срезы для . ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle U\times Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\}\times Y}$ ${\displaystyle x\in U}$

Лемма о трубке  —  Пусть и — топологические пространства с компактом, и рассмотрим пространство-произведение. Если — открытое множество, содержащее срез в, то существует трубка в, содержащая этот срез и содержащаяся в. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X\times Y,}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle N.}$

Используя концепцию замкнутых отображений , это можно кратко перефразировать следующим образом: если — любое топологическое пространство и компактное пространство, то отображение проекции замкнуто. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y\to X}$

Обобщенная лемма о трубке 1  —  Пусть и будут топологическими пространствами, и рассмотрим произведение пространств Пусть будет компактным подмножеством и будет компактным подмножеством Если — открытое множество, содержащее , то существуют открытое в и открытое в такие, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A\times B,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A\times B\subseteq U\times V\subseteq N.}$

Обобщенная лемма о трубке 2  —  Пусть будут топологическими пространствами и рассмотрим пространство произведений Для каждого пусть будет компактным подмножеством Если — открытое множество, содержащее , то существует открытое в с для всех, кроме конечного количества , такое, что ${\displaystyle X_{i},i\in I}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i},}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}=X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}\subseteq \prod _{i\in I}U_{i}\subseteq N.}$

Примеры и свойства

1. Рассмотрим в топологии произведения , то есть евклидову плоскость , и открытое множество Открытое множество содержит , но не содержит трубки, поэтому в этом случае лемма о трубке не выполняется. Действительно, если является трубкой , содержащей и содержащейся в , то должно быть подмножеством для всех , что противоречит тому факту, что является открытым в (потому что является трубкой). Это показывает, что предположение о компактности является существенным. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N=\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ~:~|xy|<1\}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle W\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \left(-1/x,1/x\right)}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle W=\{0\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle W\times \mathbb {R} }$

2. Лемму о трубке можно использовать для доказательства того, что если и — компактные пространства, то компактно следующим образом: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Пусть будет открытым покрытием . Для каждого покроем срез конечным числом элементов из (это возможно, поскольку является компактным, будучи гомеоморфным ) . Назовем объединением этих конечных элементов По лемме о трубке существует открытое множество вида , содержащее и содержащееся в Коллекция всех для является открытым покрытием и, следовательно, имеет конечное подпокрытие . Таким образом, конечная коллекция покрывает . Используя тот факт, что каждое содержится в и каждое является конечным объединением элементов из , получаем конечную подколлекцию из , которая покрывает . ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}\times Y}$ ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ ${\displaystyle \{x\}\times Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle N_{x}.}$ ${\displaystyle W_{x}\times Y}$ ${\displaystyle \{x\}\times Y}$ ${\displaystyle N_{x}.}$ ${\displaystyle W_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{W_{x_{1}},\dots ,W_{x_{n}}\}}$ ${\displaystyle \{W_{x_{1}}\times Y,\dots ,W_{x_{n}}\times Y\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle W_{x_{i}}\times Y}$ ${\displaystyle N_{x_{i}}}$ ${\displaystyle N_{x_{i}}}$ ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

3. Используя часть 2 и индукцию, можно показать, что конечное произведение компактных пространств компактно.

4. Лемма о трубке не может быть использована для доказательства теоремы Тихонова , которая обобщает вышесказанное на бесконечные произведения.

Доказательство

Лемма о трубке следует из обобщенной леммы о трубке путем взятия и Поэтому достаточно доказать обобщенную лемму о трубке. По определению топологии произведения для каждого существуют открытые множества и такие, что Для любого есть открытое покрытие компактного множества , так что это покрытие имеет конечное подпокрытие; а именно, существует конечное множество такое, что содержит , где наблюдаем, что открыто в Для каждого пусть , которое является открытым в множеством, так как конечно. Более того, построение и подразумевает, что Теперь мы по сути повторяем аргумент, чтобы избавиться от зависимости от Пусть будет конечным подмножеством таким, что содержит и множество Тогда из приведенных выше рассуждений следует, что и и открыты, что завершает доказательство. ${\displaystyle A=\{x\}}$ ${\displaystyle B=Y.}$ ${\displaystyle (a,b)\in A\times B}$ ${\displaystyle U_{a,b}\subseteq X}$ ${\displaystyle V_{a,b}\subseteq Y}$ ${\displaystyle (a,b)\in U_{a,b}\times V_{a,b}\subseteq N.}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \left\{V_{a,b}~:~b\in B\right\}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{0}(a)\subseteq B}$ ${\displaystyle V_{a}:=\bigcup _{b\in B_{0}(a)}V_{a,b}}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle U_{a}:=\bigcap _{b\in B_{0}(a)}U_{a,b},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{0}(a)}$ ${\displaystyle U_{a}}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle \{a\}\times B\subseteq U_{a}\times V_{a}\subseteq N.}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle A_{0}\subseteq A}$ ${\displaystyle U:=\bigcup _{a\in A_{0}}U_{a}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V:=\bigcap _{a\in A_{0}}V_{a}.}$ ${\displaystyle A\times B\subseteq U\times V\subseteq N}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$

Смотрите также

• Теорема Александра о подбазе  – совокупность подмножеств, которые порождают топологиюСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Трубчатая окрестность  – окрестность подмногообразия, гомеоморфная нормальному расслоению этого подмногообразия.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Теорема Тихонова  – Произведение любого набора компактных топологических пространств компактно.Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления

Ссылки

• Джеймс Манкрес (1999). Топология (2-е изд.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Джозеф Дж. Ротман (1988). Введение в алгебраическую топологию . Springer. ISBN 0-387-96678-1. (См. Главу 8, Лемму 8.9)