Линделёфское пространство

В математике пространство Линделефа [ ^1]^[2] — это топологическое пространство , в котором каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие. Свойство Линделефа является ослаблением более часто используемого понятия компактности , которое требует существования конечного подпокрытия.

Анаследственно пространство Линделефа^[3]является топологическим пространством таким, что каждое его подпространство линделефово. Такое пространство иногда называютстрого Линделёфом, но эта терминология иногда используется с совершенно другим значением, что сбивает с толку.^[4]Термин«наследственный Линделёф»более распространен и однозначен.

Пространства Линделефа названы в честь финского математика Эрнста Леонарда Линделёфа .

Свойства пространств Линделефа

Каждое компактное пространство и, в более общем смысле, любое σ-компактное пространство является линделёфовым. В частности, каждое счетное пространство линделефово.
Пространство Линделефа компактно тогда и только тогда, когда оно счетно компактно .
Всякое пространство со счетом во второй раз является линделефовым ^[5] , но не наоборот. Например, существует множество компактов, которые не являются счетными.
Метрическое пространство является линделёфовым тогда и только тогда, когда оно сепарабельно и тогда и только тогда, когда оно счетно по секундам . ^[6]
Каждое регулярное пространство Линделёфа нормально . ^[7]
Всякое регулярное пространство Линделефа паракомпактно . ^[8]
Счетное объединение линделефовых подпространств топологического пространства является линделефовым.
Каждое замкнутое подпространство пространства Линделефа является линделефовым. ^[9] Следовательно, каждое множество F σ в пространстве Линделефа является линделёфовым.
Произвольные подпространства пространства Линделефа не обязательно должны быть линделефовыми. ^[10]
Непрерывный образ пространства Линделефа — это Линделёф. ^[11]
Произведение пространства Линделефа и компакта есть Линделёф. ^[12]
Произведение пространства Линделефа и σ-компакта есть Линделёф. Это следствие предыдущего свойства.
Произведение двух пространств Линделефа не обязательно должно быть Линделефом. Например, линия Соргенфрея — это Линделеф, но плоскость Соргенфрея — это не Линделеф. ^[13] $S$ $S\times S$
В пространстве Линделефа каждое локально конечное семейство непустых подмножеств не более чем счетно.

Свойства наследственных пространств Линделефа

Пространство наследственно линделёво тогда и только тогда, когда каждое его открытое подпространство линделёфово. ^[14]
Наследственно пространства Линделефа замкнуты относительно счетных объединений, подпространств и непрерывных образов.
Регулярное пространство Линделефа наследственно линделефово тогда и только тогда, когда оно совершенно нормально . ^[15]^[16]
Каждое секундно-счетное пространство наследственно линделёфово.
Каждое счетное пространство наследственно линделефово.
Каждое пространство Суслина наследственно линделефово.
Всякая мера Радона на наследственном пространстве Линделефа является модерируемой.

Пример: самолет Зоргенфрея не Линделёфа.

Произведение пространств Линделефа не обязательно является Линделёфом . Обычным примером этого является плоскость Соргенфрея, которая является произведением действительной прямой в топологии полуоткрытого интервала на себя. Открытые множества на плоскости Соргенфрея представляют собой объединения полуоткрытых прямоугольников, которые включают южный и западный края и опускают северный и восточный края, включая северо-западный, северо-восточный и юго-восточный углы. Антидиагональю называется множество точек такое, что $\mathbb {S},$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {S}$ $(x,y)$ $x+y=0.$

Рассмотрим открытое покрытие , которое состоит из: $\mathbb {S}$

Множество всех прямоугольников находится на антидиагонали. $(-\infty,x)\times (-\infty,y),$ $(x,y)$
Множество всех прямоугольников находится на антидиагонали. $[x,+\infty)\times [y,+\infty),$ $(x,y)$

Здесь следует отметить, что каждая точка антидиагонали содержится ровно в одном наборе покрытия, поэтому необходимы все (несчетное множество) наборов из пункта (2) выше.

Другой способ убедиться, что это не Линделеф, - это отметить, что антидиагональ определяет замкнутое и несчетное дискретное подпространство. Это подпространство не является Линделефом, и поэтому все пространство также не может быть Линделефом (поскольку замкнутые подпространства пространств Линделефа также являются Линделефом). $S$ $С.$

Обобщение

Следующее определение обобщает определения компакта и Линделефа: топологическое пространство -компактно ( или -Линделефа ), где - любой кардинал , если каждое открытое покрытие имеет подпокрытие мощности строго меньше . Тогда компакт является -компактным, а Линделёф тогда -компактным. $\ каппа$ $\ каппа$ $\ каппа$ $\ каппа$ $\алеф _{0}$ $\алеф _{1}$

The Степень Линделёфа , иличисло Линделёфа, — это наименьшее кардинальное число, такое, что каждое открытое покрытие пространстваимеет подпокрытие размера не более.В этих обозначенияхЛинделефа,как оно определено выше, не различает компактные пространства и некомпактные пространства Линделефа. . Некоторые авторы дали названиечисла Линделефадругому понятию: наименьшему кардиналу,такому, что каждое открытое покрытие пространстваимеет подпокрытие размером строго меньше^[17].В этом последнем (и менее используемом) смысле число Линделефа является наименьшим кардинальным числом.такое, что топологическое пространство-компактно. Это понятие иногда еще называют ${\ displaystyle l (X),}$ $\ каппа$ $X$ $\каппа.$ $X$ $l(X)=\aleph _{0}.$ $\ каппа$ $X$ $\каппа.$ $\ каппа$ $X$ $\ каппа$ степень компактности пространства^[18] $X.$

Смотрите также

Аксиомы счетности - свойство определенных математических объектов (обычно в категории), утверждающее существование счетного множества с определенными свойствами. Без такой аксиомы такое множество, вероятно, не существовало бы.
Лемма Линделёфа - лемма о том, что каждое открытое подмножество действительных чисел представляет собой счетное объединение открытых интервалов.

Примечания

^ Стин и Сибах, с. 19
^ Уиллард, Def. 16.5, с. 110
^ Уиллард, 16E, с. 114
^ Ганстер, М. (1989). «Заметка о сильно пространствах Линделефа» (PDF) . Технический университет Граца . S2CID 208002077.
^ Уиллард, теорема 16.9, с. 111
^ Уиллард, теорема 16.11, с. 112
^ Уиллард, теорема 16.8, с. 111
^ Майкл, Эрнест (1953). «Заметка о паракомпактных пространствах». Труды Американского математического общества . 4 (5): 831–838. дои : 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8 . МР 0056905.
^ Уиллард, теорема 16.6, с. 110
^ «Примеры пространств Линделофа, которые не являются наследственно Линделофом» . 15 апреля 2012 г.
^ Уиллард, теорема 16.6, с. 110
^ "Лемма о трубке" . 2 мая 2011 г.
^ «Заметка о линии Соргенфри». 27 сентября 2009 г.
^ Энгелькинг, 3.8.A(b), с. 194
^ Энгелькинг, 3.8.A(c), с. 194
^ «Общая топология - Еще один вопрос о наследственном пространстве Линделёфа» .
^ Мэри Эллен Рудин, Лекции по теоретико-множественной топологии, Совет конференции математических наук, Американское математическое общество, 1975, стр. 4, можно найти в Google Книгах [1]
^ Гушек, Мирослав (1969). «Класс k-компактов прост». Mathematische Zeitschrift . 110 (2): 123–126. дои : 10.1007/BF01124977 . MR 0244947. S2CID 120212653..