Линейность дифференциации

Свойство исчисления

В исчислении производная любой линейной комбинации функций равна той же линейной комбинации производных функций; [ ^1] это свойство известно как линейность дифференцирования , правило линейности , ^[2] или правило суперпозиции для дифференцирования. ^{[3] Это фундаментальное свойство производной, которое заключает в} себе в одном правиле два более простых правила дифференцирования, правило суммы (производная суммы двух функций является суммой производных) и правило постоянного множителя (производная постоянного кратного функции является тем же постоянным кратным производной). ^{[4] [5]} Таким образом, можно сказать, что дифференцирование является линейным , или дифференциальный оператор является линейным оператором. ^[6]

Заявление и вывод

Пусть f и g — функции, с константами α и β . Теперь рассмотрим

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x)).}$

По правилу суммы при дифференцировании это

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x))+{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\beta \cdot g(x)),}$

и по правилу постоянного множителя при дифференцировании это сводится к

${\displaystyle \alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).}$

Поэтому,

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))=\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).}$

Опуская скобки , это часто записывается так:

${\displaystyle (\alpha \cdot f+\beta \cdot g)'=\alpha \cdot f'+\beta \cdot g'.}$

Подробные доказательства/выводы из определения

Мы можем доказать весь принцип линейности сразу, или мы можем доказать отдельные шаги (постоянного множителя и сложения) по отдельности. Здесь будут показаны оба.

Доказательство линейности напрямую также доказывает правило постоянного множителя, правило суммы и правило разности как частные случаи. Правило суммы получается установкой обоих постоянных коэффициентов в . Правило разности получается установкой первого постоянного коэффициента в , а второго постоянного коэффициента в . Правило постоянного множителя получается установкой либо второго постоянного коэффициента, либо второй функции в . (С технической точки зрения необходимо также учитывать область определения второй функции — один из способов избежать проблем — установить вторую функцию равной первой функции, а второй постоянный коэффициент — равным . Можно также определить как второй постоянный коэффициент, так и вторую функцию равными 0, где область определения второй функции является надмножеством первой функции, среди прочих возможностей.) ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

Напротив, если мы сначала докажем правило постоянного множителя и правило суммы, мы можем доказать линейность и правило разности. Доказательство линейности выполняется путем определения первой и второй функций как двух других функций, умноженных на постоянные коэффициенты. Затем, как показано в выводе из предыдущего раздела, мы можем сначала использовать закон суммы при дифференцировании, а затем использовать правило постоянного множителя, что приведет нас к нашему выводу о линейности. Чтобы доказать правило разности, вторую функцию можно переопределить как другую функцию, умноженную на постоянный коэффициент . Это, при упрощении, даст нам правило разности для дифференцирования. ${\displaystyle -1}$

В приведенных ниже доказательствах/выводах ^{[7] [8]} используются коэффициенты ; они соответствуют коэффициентам, приведенным выше. ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

Линейность (прямая)

Пусть . Пусть будут функциями. Пусть будет функцией, где определено только там, где и оба определены. (Другими словами, область определения является пересечением областей определения и .) Пусть будет в области определения . Пусть . ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j(x)=af(x)+bg(x)}$

Мы хотим это доказать . ${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)}$

По определению мы можем видеть, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(af(x+h)+bg(x+h)\right)-\left(af(x)+bg(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}}$$

Чтобы использовать закон пределов для суммы пределов, нам нужно знать, что и оба по отдельности существуют. Для этих меньших пределов нам нужно знать, что и оба по отдельности существуют, чтобы использовать закон коэффициентов для пределов. По определению, и . Итак, если мы знаем, что и оба существуют, мы будем знать, что и оба по отдельности существуют. Это позволяет нам использовать закон коэффициентов для пределов, чтобы записать ${\textstyle \lim _{h\to 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=a\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

и

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=b\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}.}$$

С этим мы можем вернуться к применению предельного закона для суммы пределов, поскольку мы знаем, что и то , и другое по отдельности существует. Отсюда мы можем напрямую вернуться к производной, над которой мы работали. Наконец, мы показали то, что утверждали в начале: . ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)+\lim _{h\rightarrow 0}\left(b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=a\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)+b\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)}$

Сумма

Пусть будут функциями. Пусть будет функцией, где определено только там, где и оба определены. (Другими словами, область определения является пересечением областей определения и .) Пусть будет в области определения . Пусть . ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j(x)=f(x)+g(x)}$

Мы хотим это доказать . ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)}$

По определению мы можем видеть, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f(x+h)+g(x+h)\right)-\left(f(x)+g(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}}$$Чтобы использовать закон для суммы пределов здесь, нам нужно показать, что существуют отдельные пределы и оба. По определению и , поэтому пределы существуют всякий раз, когда существуют производные и . Итак, предполагая, что существуют производные, мы можем продолжить приведенный выше вывод ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)\end{aligned}}}$$

Таким образом, мы показали то, что хотели показать, а именно: . ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)}$

Разница

Пусть будут функциями. Пусть будет функцией, где определено только там, где и оба определены. (Другими словами, область определения является пересечением областей определения и .) Пусть будет в области определения . Пусть . ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j(x)=f(x)-g(x)}$

Мы хотим это доказать . ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}$

По определению мы можем видеть, что: $${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f(x+h)-(g(x+h)\right)-\left(f(x)-g(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}}$$

Чтобы использовать закон для разности пределов здесь, нам нужно показать, что существуют индивидуальные пределы и оба. По определению, и что , поэтому эти пределы существуют всякий раз, когда существуют производные и . Итак, предполагая, что существуют производные, мы можем продолжить приведенный выше вывод ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)\end{aligned}}}$$

Таким образом, мы показали то, что хотели показать, а именно: . ${\displaystyle j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}$

Постоянный коэффициент

Пусть будет функцией. Пусть ; будет постоянным коэффициентом. Пусть будет функцией, где j определено только там, где определено. (Другими словами, область определения равна области определения .) Пусть будет в области определения . Пусть . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j(x)=af(x)}$

Мы хотим это доказать . ${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)}$

По определению мы можем видеть, что:

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {af(x+h)-af(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\\end{aligned}}}$$

Теперь, чтобы использовать предельный закон для постоянных коэффициентов, показать, что

$${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=a\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$нам нужно показать, что существует. Однако, , по определению производной. Так что, если существует, то существует. ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

Таким образом, если мы предположим, что существует, мы можем воспользоваться предельным законом и продолжить наше доказательство. ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=a\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=af^{\prime }(x)\\\end{aligned}}}$$

Таким образом, мы доказали, что при , имеем . ${\displaystyle j(x)=af(x)}$ ${\displaystyle j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)}$

Смотрите также

• Дифференцирование интегралов  – Задача по математике
• Дифференцирование тригонометрических функций  – Математический процесс нахождения производной тригонометрической функции.
• Правила дифференцирования  – Правила вычисления производных функций
• Распределение (математика)  – термин математического анализа, аналогичный обобщенной функции.
• Общее правило Лейбница  – Обобщение правила произведения в исчислении
• Интеграция по частям  – Математический метод в исчислении
• Обратные функции и дифференцирование  – Исчисление тождестваPages displaying short descriptions of redirect targets
• Правило произведения  – Формула производной произведения
• Правило частного  – Формула производной отношения функций
• Таблица производных  – Правила вычисления производных функцийPages displaying short descriptions of redirect targets
• Тождества векторного исчисления  – Математические тождества

Ссылки

1. Бланк, Брайан Э.; Кранц, Стивен Джордж (2006), Исчисление: одна переменная, том 1, Springer, стр. 177, ISBN 9781931914598.
2. Стрэнг, Гилберт (1991), Исчисление, том 1, SIAM, стр. 71–72, ISBN 9780961408824.
3. Строян, К.Д. (2014), Исчисление с использованием Mathematica, Academic Press, стр. 89, ISBN 9781483267975.
4. Эстеп, Дональд (2002), «20.1 Линейные комбинации функций», Практический анализ с одной переменной, Бакалаврские тексты по математике , Springer, стр. 259–260, ISBN 9780387954844.
5. Зорн, Пол (2010), Понимание реального анализа, CRC Press, стр. 184, ISBN 9781439894323.
6. Гокенбах, Марк С. (2011), Конечномерная линейная алгебра, Дискретная математика и ее приложения, CRC Press, стр. 103, ISBN 9781439815649.
7. "Differentiation Rules". CEMC's Open Courseware . Получено 3 мая 2022 г.
8. Докинз, Пол. «Доказательство различных производных свойств». Онлайн-заметки Пола . Получено 3 мая 2022 г.