Литуус (математика)

Спираль

Ветвь для положительного r

Спираль литууса ( / ˈ l ɪ tj u . ə s / ) представляет собой спираль, в которой угол θ обратно пропорционален квадрату радиуса r .

Эта спираль, имеющая две ветви в зависимости от знака r , асимптотична оси x . Его точки перегиба находятся в

${\displaystyle (\theta ,r)=\left({\tfrac {1}{2}},\pm {\sqrt {2k}}\right).}$

Кривая была названа в честь древнеримского литууса Роджером Котсом в сборнике статей под названием Harmonia Mensurarum (1722 г.), который был опубликован через шесть лет после его смерти.

Координатные представления

Полярные координаты

Представления спирали литууса в полярных координатах ( r , θ ) задаются уравнением

${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}},}$

где θ ≥ 0 и k ≠ 0 .

Декартовы координаты

Спираль литууса с полярными координатами r =а/√ θможет быть преобразована в декартовы координаты, как и любая другая спираль, с помощью соотношений x = r cos θ и y = r sin θ . С помощью этого преобразования мы получаем параметрическое представление кривой:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\cos \theta ,\\y&={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\sin \theta .\\\end{aligned}}}$

Эти уравнения, в свою очередь, можно преобразовать в уравнение относительно x и y :

${\displaystyle {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right).}$

Вывод уравнения в декартовых координатах

1. Поделить на : ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {{\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\sin \theta }{{\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\cos \theta }}\Rightarrow {\frac {y}{x}}=\tan \theta .}$
2. Решите уравнение спирали литууса в полярных координатах: ${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\Leftrightarrow \theta ={\frac {a^{2}}{r^{2}}}.}$
3. Заменять : ${\displaystyle \theta ={\frac {a^{2}}{r^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right).}$
4. Заменять : ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}}}\right)\Rightarrow {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right).}$

Геометрические свойства

Кривизна

Кривизну литуальной спирали можно определить по формуле [ ^1]

${\displaystyle \kappa =\left(8\theta ^{2}-2\right)\left({\frac {\theta }{1+4\theta ^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}.}$

Длина дуги

В общем, длину дуги спирали литууса нельзя выразить в виде выражения в замкнутой форме , но длину дуги спирали литууса можно представить в виде формулы, использующей гипергеометрическую функцию Гаусса :

${\displaystyle L=2{\sqrt {\theta }}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}};{\frac {3}{4}};-{\frac {1}{4\theta ^{2}}}\right)-2{\sqrt {\theta _{0}}}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}};{\frac {3}{4}};-{\frac {1}{4\theta _{0}^{2}}}\right),}$

где длина дуги отсчитывается от θ = θ ₀ . ^[1]

Тангенциальный угол

Тангенциальный угол спирали литууса можно определить по формуле ^[1]

${\displaystyle \phi =\theta -\arctan 2\theta .}$

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Литуус». Математический мир . Проверено 4 февраля 2023 г.

Внешние ссылки

• «Литуус», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994].
• Вайсштейн, Эрик В. «Литуус». Математический мир .
• Интерактивный пример с использованием JSXGraph.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Литуус», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
• https://hsm.stackexchange.com/a/3181 об истории кривой литууса.