Логарифмическое распределение

Дискретное распределение вероятностей

В теории вероятностей и статистике логарифмическое распределение (также известное как распределение логарифмического ряда или распределение логарифмического ряда ) представляет собой дискретное распределение вероятностей , полученное из разложения в ряд Маклорена.

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

Отсюда получаем тождество

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

Это приводит непосредственно к функции массы вероятности логарифмической случайной величины :

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

для k  ≥ 1 и где 0 <  p  <1. Ввиду приведенного выше тождества распределение правильно нормализовано.

Кумулятивная функция распределения равна

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

где B — неполная бета-функция .

Пуассон, составленный со случайными величинами, распределенными по Log( p ), имеет отрицательное биномиальное распределение . Другими словами, если N — случайная величина с распределением Пуассона , а X _i , i = 1, 2, 3, ... — бесконечная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых имеет распределение Log( p ), то

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

имеет отрицательное биномиальное распределение. Таким образом, отрицательное биномиальное распределение рассматривается как составное распределение Пуассона .

Р. А. Фишер описал логарифмическое распределение в статье, которая использовала его для моделирования относительной численности видов . ^[1]

Смотрите также

• Распределение Пуассона (также полученное из ряда Маклорена)

Рекомендации

1. Фишер, РА; Корбет, А.С.; Уильямс, CB (1943). «Связь между количеством видов и количеством особей в случайной выборке популяции животных» (PDF) . Журнал экологии животных . 12 (1): 42–58. дои : 10.2307/1411. JSTOR  1411. Архивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2011 г.

дальнейшее чтение

• Джонсон, Норман Ллойд; Кемп, Эдриенн В.; Коц, Сэмюэл (2005). «Глава 7: Логарифмические и лагранжевы распределения». Одномерные дискретные распределения (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-27246-5.
• Вайсштейн, Эрик В. «Распределение журнальных рядов». Математический мир .