Ляпуновская устойчивость

Свойство динамической системы, в которой решения вблизи точки равновесия остаются таковыми.

Могут обсуждаться различные типы устойчивости решений дифференциальных уравнений или разностных уравнений, описывающих динамические системы . Наиболее важным типом является вопрос об устойчивости растворов вблизи точки равновесия. Об этом может говорить теория Александра Ляпунова . Проще говоря, если решения, которые начинаются вблизи точки равновесия, остаются рядом навсегда, то Ляпунов устойчив . Более строго, если устойчиво по Ляпунову и все решения, начинающиеся около, сходятся к , то говорят, что оно асимптотически устойчиво (см. асимптотический анализ ). Понятие экспоненциальной устойчивости гарантирует минимальную скорость затухания, т. е. оценку того, насколько быстро сходятся решения. Идея устойчивости по Ляпунову может быть распространена на бесконечномерные многообразия, где она известна как структурная устойчивость , которая касается поведения различных, но «близких» решений дифференциальных уравнений. Стабильность входа в состояние (ISS) применяет понятия Ляпунова к системам с входами. ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$

История

Ляпуновская устойчивость названа в честь Александра Михайловича Ляпунова , русского математика, защитившего диссертацию «Общая проблема устойчивости движения» в Харьковском университете в 1892 году. ^[1] А.М. Ляпунов был пионером успешных попыток разработать глобальный подход к анализу устойчивость нелинейных динамических систем по сравнению с широко распространенным локальным методом их линеаризации относительно точек равновесия. Его работа, первоначально опубликованная на русском языке, а затем переведенная на французский, в течение многих лет не привлекала особого внимания. Математическая теория устойчивости движения, созданная А. М. Ляпуновым, значительно опередила время своего внедрения в науку и технику. Более того, Ляпунов сам не применял приложения в этой области, его собственный интерес заключался в стабильности вращающихся жидких масс с астрономическими приложениями. У него не было докторантов ^, следивших за исследованиями в области стабильности, а его собственная судьба сложилась ужасно трагично из-за его самоубийства в ^{1918 году} . На несколько десятилетий теория устойчивости канула в полное забвение. Российско-советский математик и механик Николай Гурьевич Четаев, работавший в Казанском авиационном институте в 1930-е годы, первым осознал невероятную значимость открытия А. М. Ляпунова. Вклад в теорию Н. Г. Четаева ^[2] был настолько значителен, что многие математики, физики и инженеры считают его прямым продолжателем Ляпунова и следующим научным наследником в создании и развитии математической теории устойчивости.

Интерес к нему внезапно резко возрос в период холодной войны , когда было обнаружено, что так называемый «Второй метод Ляпунова» (см. ниже) применим к стабильности аэрокосмических систем наведения , которые обычно содержат сильные нелинейности, не поддающиеся лечению другими методами. Тогда и с тех пор появилось большое количество публикаций в литературе по управлению и системам. ^{[3] [4] [5] [6] [7]} Совсем недавно концепция показателя Ляпунова (связанная с первым методом Ляпунова для обсуждения устойчивости) получила широкий интерес в связи с теорией хаоса . Методы устойчивости Ляпунова также применялись для поиска равновесных решений в задачах распределения трафика. ^[8]

Определение систем непрерывного времени

Рассмотрим автономную нелинейную динамическую систему

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(0)=x_{0}}$,

где обозначает вектор состояния системы , открытое множество, содержащее начало координат, и является непрерывным векторным полем на . Предположим, существует равновесие при так, что тогда ${\displaystyle x(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle f(x_{e})=0}$

1. Это равновесие называется устойчивым по Ляпунову, если для каждого существует такое, что если то для каждого имеем . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|<\epsilon }$
2. Равновесие указанной системы называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое, что если то . ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0}$
3. Равновесие указанной системы называется экспоненциально устойчивым, если оно асимптотически устойчиво и существуют такие, что если то для всех . ${\displaystyle \alpha >0,~\beta >0,~\delta >0}$ ${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Концептуально значения приведенных выше терминов следующие:

1. Устойчивость равновесия по Ляпунову означает, что решения, начинающиеся «достаточно близко» к равновесию (на расстоянии от него), остаются «достаточно близкими» навсегда (на расстоянии от него). Обратите внимание, что это должно быть верно для любого , что вы можете выбрать. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$
2. Асимптотическая устойчивость означает, что решения, которые начинаются достаточно близко, не только остаются достаточно близкими, но и в конечном итоге сходятся к равновесию.
3. Экспоненциальная устойчивость означает, что решения не только сходятся, но фактически сходятся быстрее, чем или, по крайней мере, так же быстро, как определенная известная скорость . ${\displaystyle \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$

Траектория (локально) привлекательна , если ${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$

${\displaystyle \|x(t)-\phi (t)\|\rightarrow 0}$ как ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

для всех траекторий , которые начинаются достаточно близко к , и глобально привлекательны, если это свойство справедливо для всех траекторий. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \phi (t)}$

То есть, если x принадлежит внутренней части своего устойчивого многообразия , он асимптотически устойчив , если он одновременно притягивает и устойчив. (Есть примеры, показывающие, что из привлекательности не следует асимптотическая устойчивость. ^{[9] [10] [11]} Такие примеры легко создать, используя гомоклинические связи .)

Если якобиан динамической системы в состоянии равновесия является матрицей устойчивости (т. е. если действительная часть каждого собственного значения строго отрицательна), то равновесие асимптотически устойчиво.

Система отклонений

Вместо рассмотрения устойчивости только вблизи точки равновесия (постоянного решения ) можно сформулировать аналогичные определения устойчивости вблизи произвольного решения . Однако можно свести более общий случай к состоянию равновесия путем замены переменных, называемой «системой отклонений». Определим , подчиняясь дифференциальному уравнению: ${\displaystyle x(t)=x_{e}}$ ${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$ ${\displaystyle y=x-\phi (t)}$

${\displaystyle {\dot {y}}=f(t,y+\phi (t))-{\dot {\phi }}(t)=g(t,y)}$.

Это уже не автономная система, но она имеет гарантированную точку равновесия, устойчивость которой эквивалентна устойчивости исходного решения . ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$

Второй метод Ляпунова для устойчивости.

Ляпунов в своей оригинальной работе 1892 года предложил два метода доказательства устойчивости . ^[1] Первый метод представлял решение в виде ряда, сходимость которого затем была доказана в определенных пределах. Второй метод, который теперь называется критерием устойчивости Ляпунова или прямым методом, использует функцию Ляпунова V(x) , имеющую аналог потенциальной функции классической динамики. Оно вводится следующим образом для системы, имеющей точку равновесия при . Рассмотрим функцию такую, что ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle V(x)=0}$ если и только если ${\displaystyle x=0}$
• ${\displaystyle V(x)>0}$ если и только если ${\displaystyle x\neq 0}$
• ${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}f_{i}(x)=\nabla V\cdot f(x)\leq 0}$для всех значений . Примечание: для асимптотической устойчивости требуется for . ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0}$ ${\displaystyle x\neq 0}$

Тогда V(x) называется функцией Ляпунова и система устойчива по Ляпунову. (Обратите внимание, что это требуется; в противном случае, например, было бы «доказано», что это локально стабильно.) Для вывода о глобальной устойчивости требуется дополнительное условие, называемое «собственностью» или «радиальной неограниченностью». Глобальная асимптотическая устойчивость (GAS) следует аналогичным образом. ${\displaystyle V(0)=0}$ ${\displaystyle V(x)=1/(1+|x|)}$ ${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x}$

Этот метод анализа легче визуализировать, представляя физическую систему (например, вибрирующую пружину и массу) и рассматривая энергию такой системы. Если система со временем теряет энергию и энергия никогда не восстанавливается, то в конечном итоге система должна остановиться и достичь некоторого окончательного состояния покоя. Это конечное состояние называется аттрактором . Однако найти функцию, которая дает точную энергию физической системы, может быть сложно, а для абстрактных математических, экономических или биологических систем концепция энергии может быть неприменима.

Ляпунов понял, что стабильность можно доказать, не требуя знания истинной физической энергии, при условии, что можно найти функцию Ляпунова, удовлетворяющую вышеуказанным ограничениям.

Определение систем дискретного времени

Определение систем с дискретным временем практически идентично определению систем с непрерывным временем. В приведенном ниже определении это обеспечивается с использованием альтернативного языка, обычно используемого в математических текстах.

Пусть ( X , d ) — метрическое пространство и f  : X → X — непрерывная функция . Точка x в X называется устойчивой по Ляпунову , если

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall y\in X\ \left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n\in \mathbf {N} \ d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)<\epsilon \right].}$

Мы говорим, что x асимптотически устойчив, если он принадлежит внутренней части своего устойчивого множества , т. е . если

${\displaystyle \exists \delta >0\left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \lim _{n\to \infty }d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)=0\right].}$

Устойчивость линейных моделей в пространстве состояний

Линейная модель пространства состояний

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}}$,

где – конечная матрица, асимптотически устойчива (фактически экспоненциально устойчива ), если все действительные части собственных значений отрицательны . Это условие эквивалентно следующему: ^[12] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{\textsf {T}}M+MA}$

является отрицательно определенной для некоторой положительно определенной матрицы . (Соответствующая функция Ляпунова равна .) ${\displaystyle M=M^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle V(x)=x^{\textsf {T}}Mx}$

Соответственно, дискретная по времени модель линейного пространства состояний

${\displaystyle {\textbf {x}}_{t+1}=A{\textbf {x}}_{t}}$

асимптотически устойчива (фактически экспоненциально устойчива), если все собственные значения имеют модуль меньше единицы. ${\displaystyle A}$

Это последнее условие было обобщено на системы с переключением: линейная система с дискретным временем с переключением (управляемая набором матриц ) ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

${\displaystyle {{\textbf {x}}_{t+1}}=A_{i_{t}}{\textbf {x}}_{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

асимптотически устойчив (фактически экспоненциально устойчив), если общий спектральный радиус множества меньше единицы. ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

Стабильность систем с входами

Система с входами (или органами управления) имеет вид

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},{\textbf {u}})}$

где (обычно зависящий от времени) входной сигнал u(t) может рассматриваться как управляющий , внешний входной сигнал , стимул , возмущение или принудительная функция . Показано ^[13] , что вблизи точки равновесия, устойчивой по Ляпунову, система остается устойчивой при малых возмущениях. Для более крупных входных возмущений изучение таких систем является предметом теории управления и применяется в технике управления . Для систем с входами необходимо количественно оценить влияние входов на стабильность системы. Основными двумя подходами к этому анализу являются устойчивость BIBO (для линейных систем ) и стабильность входного состояния (ISS) (для нелинейных систем ).

Пример

В этом примере показана система, в которой функция Ляпунова может использоваться для доказательства устойчивости по Ляпунову, но не может показать асимптотическую устойчивость. Рассмотрим следующее уравнение, основанное на уравнении осциллятора Ван дер Поля с измененным членом трения:

${\displaystyle {\ddot {y}}+y-\varepsilon \left({\frac {{\dot {y}}^{3}}{3}}-{\dot {y}}\right)=0.}$

Позволять

${\displaystyle x_{1}=y,x_{2}={\dot {y}}}$

так что соответствующая система

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}_{1}=x_{2},\\&{\dot {x}}_{2}=-x_{1}+\varepsilon \left({\frac {x_{2}^{3}}{3}}-{x_{2}}\right).\end{aligned}}}$

Начало координат является единственной точкой равновесия. Выберем в качестве функции Ляпунова ${\displaystyle x_{1}=0,\ x_{2}=0}$

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}$

что явно положительно определено . Его производная

${\displaystyle {\dot {V}}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}=\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}.}$

Кажется, что если параметр положителен, устойчивость асимптотична для Но это неверно, так как не зависит от , и всюду на оси будет 0 . Равновесие устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически устойчиво. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x_{2}^{2}<3.}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$

Лемма Барбала и устойчивость нестационарных систем.

Может быть трудно найти функцию Ляпунова с отрицательно определенной производной, как того требует критерий устойчивости Ляпунова, однако может быть доступна функция с отрицательной полуопределенной производной. В автономных системах теорема об инвариантном множестве может быть применена для доказательства асимптотической устойчивости, но эта теорема неприменима, когда динамика является функцией времени. ^[14] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$

Вместо этого лемма Барбала допускает ляпуновский анализ этих неавтономных систем. Лемма мотивирована следующими наблюдениями. Предполагая, что f является функцией только времени:

• Наличие не означает, что оно имеет предел в . Например, . ${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle f(t)=\sin(\ln(t)),\;t>0}$
• Приближение к пределу не означает этого . Например, . ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$ ${\displaystyle f(t)=\sin \left(t^{2}\right)/t,\;t>0}$
• Наличие ограничения снизу и уменьшение ( ) означает, что оно сходится к пределу. Но здесь не сказано, так ли это или нет . ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle {\dot {f}}\leq 0}$ ${\displaystyle {\dot {f}}\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

Лемма Барбалата гласит:

Если имеет конечный предел as и если равномерно непрерывен (достаточным условием равномерной непрерывности является ограниченность), то as . ^[15] ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle {\dot {f}}}$ ${\displaystyle {\ddot {f}}}$ ${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

Альтернативная версия выглядит следующим образом:

Пусть и . Если и , то как ^[16] ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ ${\displaystyle q\in (1,\infty ]}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(0,\infty )}$ ${\displaystyle {\dot {f}}\in L^{q}(0,\infty )}$ ${\displaystyle f(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty .}$

В следующей форме лемма верна и в векторнозначном случае:

Пусть - равномерно непрерывная функция со значениями в банаховом пространстве и предположим, что она имеет конечный предел при . Тогда как . ^[17] ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}f(\tau )\mathrm {d} \tau }$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle f(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

Следующий пример взят со страницы 125 книги Слотина и Ли «Прикладное нелинейное управление» . ^[14]

Рассмотрим неавтономную систему

${\displaystyle {\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)}$

${\displaystyle {\dot {g}}=-e\cdot w(t).}$

Это неавтономно, поскольку входные данные являются функцией времени. Предположим, что вход ограничен. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w(t)}$

Принимая дает ${\displaystyle V=e^{2}+g^{2}}$ ${\displaystyle {\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.}$

Это говорит о том, что первыми двумя условиями и, следовательно, и ограничены. Но это ничего не говорит о стремлении к нулю, поскольку является лишь отрицательно полуопределенным (заметьте, может быть ненулевым при =0), а динамика неавтономна. ${\displaystyle V(t)\leq V(0)}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$

Используя лемму Барбалата:

${\displaystyle {\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)}$.

Это ограничено , потому что и ограничены. Это подразумевает как и, следовательно , . Это доказывает, что ошибка сходится. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\dot {V}}\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle e\to 0}$

Смотрите также

• функция Ляпунова
• Принцип инвариантности ЛаСалле
• Теорема Ляпунова–Малкина
• Гипотеза Маркуса – Ямабе
• Орбита точки либрации
• Теорема Хартмана – Гробмана
• Теория возмущений

Рекомендации

1. Ляпунов А.М. Общая проблема устойчивости движения (на русском языке), Докторская диссертация, Унив. Харьков, 1892 г., английские переводы: (1) Устойчивость движения , Academic Press, Нью-Йорк и Лондон, 1966 г. (2) Общая проблема устойчивости движения (перевод А.Т. Фуллера) Тейлор и Фрэнсис, Лондон, 1992 г. Включен биография Смирнова и обширная библиография творчества Ляпунова.
2. Четаев, Н. Г. Об устойчивых траекториях динамики, Научные записки Казанского ун-та, т. 4 № 1, 1936; Устойчивость движения. Первоначально опубликовано на русском языке в 1946 году издательством ОГИЗ. Гос. изд-во технико-теорет. лит., Москва-Ленинград. Перевод Мортона Надлера, Оксфорд, 1961, 200 страниц.
3. Летов, А.М. (1955). Устойчивость нелинейных регулируемых систем . Москва: Гостехиздат.английский тр. Принстон, 1961 год
4. Кальман, RE ; Бертрам, Дж. Ф. (1960). «Анализ и проектирование систем управления с помощью «второго метода» Ляпунова: I — системы с непрерывным временем». Журнал фундаментальной инженерии . 82 (2): 371–393. дои : 10.1115/1.3662604.
5. ЛаСалль, Япония ; Лефшец, С. (1961). Устойчивость по второму методу Ляпунова с приложениями . Нью-Йорк: Академическая пресса.
6. Паркс, ПК (1962). «Метод Ляпунова в теории автоматического управления». Контроль . I ноября 1962 г. II декабря 1962 г.
7. Кальман, RE (1963). «Функции Ляпунова для задачи Лурье в автоматическом управлении». Proc Natl Acad Sci США . 49 (2): 201–205. Бибкод : 1963PNAS...49..201K. дои : 10.1073/pnas.49.2.201 . ПМК 299777 . ПМИД  16591048. 
8. Смит, MJ; Вистен, МБ (1995). «Модель непрерывного повседневного распределения трафика и существование непрерывного динамического равновесия пользователей». Анналы исследования операций . 60 (1): 59–79. дои : 10.1007/BF02031940. S2CID  14034490.
9. Хан, Вольфганг (1967). Стабильность движения. Спрингер. стр. 191–194, раздел 40. doi :10.1007/978-3-642-50085-5. ISBN 978-3-642-50087-9.
10. Браун, Филипп; Грюне, Ларс; Келлетт, Кристофер М. (2021). (Не-)устойчивость дифференциальных включений: понятия, эквивалентности и ляпуновские характеристики. Спрингер. с. 19–20, пример 2.18. дои : 10.1007/978-3-030-76317-6. ISBN 978-3-030-76316-9. S2CID  237964551.
11. Виноград, RE (1957). «Неадекватность метода характеристических показателей для исследования нелинейных дифференциальных уравнений». Доклады Академии наук . 114 (2): 239–240.
12. Го, BS (1977). «Глобальная стабильность в многовидовых системах». Американский натуралист . 111 (977): 135–143. дои : 10.1086/283144. S2CID  84826590.
13. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения, Москва 1952 (Гостехиздат) Глава II параграф 4 (рус.) англ. перевод, Бюро лингвистической службы, Вашингтон AEC -tr-3352; первоначально Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях Прикл Матем 1944, т. 1, с. 8 №3 241-245 (русский); амер. Математика. Соц. перевод нет. 8
14. Slotine, Жан-Жак Э.; Вэйпин Ли (1991). Прикладное нелинейное управление . Нью-Джерси: Прентис Холл.
15. И. Барбэлат, Системы дифференциальных уравнений нелинейных колебаний, Rev. Math. Приложение Pures. 4 (1959) 267–270, с. 269.
16. Б. Фаркас и др., Вариации леммы Барбэлата, Amer. Математика. Ежемесячник (2016) 128, вып. 8, 825-830, DOI: 10.4169/amer.math.monthly.123.8.825, с. 827.
17. Б. Фаркас и др., Вариации леммы Барбэлата, Amer. Математика. Ежемесячник (2016) 128, вып. 8, 825-830, DOI: 10.4169/amer.math.monthly.123.8.825, с. 826.

дальнейшее чтение

• Бхатия, Нам Паршад; Сегё, Джорджио П. (2002). Теория устойчивости динамических систем . Спрингер. ISBN 978-3-540-42748-3.
• Червин, Роберт (1971). Ляпунов Устойчивость и управление с обратной связью двухпотоковых плазменных систем (к.т.н.). Колумбийский университет.
• Гандольфо, Джанкарло (1996). Экономическая динамика (Третье изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 407–428. ISBN 978-3-540-60988-9.
• Паркс, ПК (1992). «Теория устойчивости А. М. Ляпунова — 100 лет спустя». Журнал IMA математического контроля и информации . 9 (4): 275–303. дои : 10.1093/имамчи/9.4.275.
• Слотин, Жан-Жак Э.; Вэйпин Ли (1991). Прикладное нелинейное управление . Нью-Джерси: Прентис Холл.
• Тешль, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Виггинс, С. (2003). Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 978-0-387-00177-7.

Эта статья включает в себя материал из асимптотически стабильной платформы PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .