В некоторых видах спорта магическое число — это число, используемое для обозначения того, насколько близка лидирующая команда к завоеванию титула дивизиона и/или места в плей-офф. Оно представляет собой сумму дополнительных побед лидирующей команды или дополнительных поражений (или любую их комбинацию) команд-соперников, после которой математически невозможно, чтобы команды-соперники захватили титул в оставшемся количестве игр, если только не произойдет какое-то крайне маловероятное событие, такое как дисквалификация или исключение из соревнования или ретроактивное лишение права на игры.
Широкое использование магических чисел, как правило, ограничивается видами спорта, где игры учитываются в турнирной таблице только тогда, когда результатом является победа и поражение. Магические числа обычно не используются в видах спорта, где команды могут быть каким-либо образом засчитаны за частичную победу в случае таких результатов, как ничьи и проигрыши в дополнительное время . Его также можно назвать «числом клинча» .
Команды, не являющиеся лидирующей командой, имеют так называемое число выбываний (или «трагическое число» ) (часто сокращенно E# ). Это число представляет собой количество побед лидирующей команды или поражений отстающей команды, которые выбывают отстающую команду. Наибольшее число выбываний среди команд, не занявших первое место, является магическим числом для лидирующей команды.
Магическое число рассчитывается как G + 1 − W A − L B , где
Например, в Главной лиге бейсбола в сезоне 162 игры. Предположим, что верхние позиции дивизиона в конце сезона выглядят следующим образом:
Тогда магическое число для выбывания команды B составит 162 + 1 − 96 − 62 = 5.
Любая комбинация побед команды А и поражений команды Б в сумме 5 делает невозможным для команды Б выиграть титул дивизиона.
«+1» в формуле служит для устранения ничьих; без него, если бы магическое число уменьшилось до нуля и осталось там, две рассматриваемые команды оказались бы с одинаковыми результатами. Если обстоятельства диктуют, что лидирующая команда выиграет тай-брейк независимо от любых будущих результатов, то дополнительную константу 1 можно исключить. Например, НБА использует сложные формулы для разрешения ничьих, используя несколько других статистических показателей заслуг, помимо общего показателя побед и поражений; однако первым тай-брейком между двумя командами является их личный рекорд; если лидирующая команда уже установила лучший личный рекорд, то +1 не нужен. В 2022 году Высшая лига бейсбола представила сценарии тай-брейка (например, личный матч для ничьих дивизионов), которые сделали использование «+1» бессмысленным (поскольку игра 163 была исключена).
Магическое число также можно рассчитать как W B + GR B − W A + 1, где
Эта вторая формула в основном гласит: предположим, что команда B выигрывает все оставшиеся игры. Рассчитайте, сколько игр команде A нужно выиграть, чтобы превзойти максимальный результат команды B на 1. Используя пример выше и тот же сезон из 162 игр, у команды B осталось 7 игр.
Магическое число для победы команды А в дивизионе по-прежнему «5»: 93 + 7 − 96 + 1 = 5.
Команда B может выиграть до 100 игр. Если команда A выиграет 101 игру, команда B выбывает. Магическое число уменьшится с победой команды A и также уменьшится с поражением команды B, так как ее максимальный общий выигрыш уменьшится на единицу.
Вариация вышеизложенного рассматривает соотношение между потерями двух команд. Магическое число можно рассчитать как L A + GR A − L B + 1, где
Эта третья формула в основном гласит: предположим, что команда A проигрывает все оставшиеся игры. Рассчитайте, сколько игр команде B нужно проиграть, чтобы превзойти максимальный результат команды A на 1. Используя пример выше и тот же сезон из 162 игр, у команды A осталось 8 игр.
Магическое число для победы команды A в дивизионе по-прежнему равно "5": 58 + 8 − 62 + 1 = 5. Как вы можете видеть, магическое число одинаково, независимо от того, рассчитывается ли оно на основе потенциальных побед лидера или потенциальных поражений отстающей команды. Действительно, математические доказательства покажут, что три формулы, представленные здесь, математически эквивалентны.
Команда A может проиграть до 66 игр. Если команда B проиграет 67 игр, команда B выбывает. Опять же, магическое число будет уменьшаться с победой команды A и также будет уменьшаться с поражением команды B.
В некоторых видах спорта ничьи разрешаются дополнительными играми плей-офф из одной игры между участвующими командами. Когда команда достигает точки, где ее магическое число равно 1, говорят, что она «закрепила ничью» за дивизион или wild card. Однако, если они заканчивают сезон вничью с другой командой, и только одна из них имеет право на плей-офф, дополнительная игра плей-офф сотрет это «закрепление» для команды, проигравшей игру плей-офф.
В некоторых видах спорта вместо проведения плей-офф из одной игры используется формула тай-брейка. В таких случаях необходимо смотреть дальше показателей побед и поражений команд, чтобы определить магическое число, поскольку команде, которая уже гарантировала себе преимущество в формуле тай-брейка, не нужно включать «+1» при расчете своего магического числа. Например, предположим, что баскетбольная лига, которая играет сезон из 82 игр без тай-брейков из одной игры, показывает положение дивизионов в конце сезона следующим образом:
Предположим далее, что первым шагом в формуле тай-брейка лиги являются результаты личных встреч. Команда A и Команда B встречались четыре раза в течение сезона, и Команда A выиграла три из четырех игр. Они не планируют встретиться снова в регулярном сезоне. Таким образом, Команда A имеет преимущество в тай-брейке над Командой B и должна закончить с тем же количеством побед, что и Команда B, чтобы оказаться впереди Команды B в турнирной таблице. Таким образом, мы можем вычислить магическое число Команды A как 82 – 60 – 20 = 2. Если Команда A выиграет две из семи оставшихся игр, она закончит со счетом 62–20. Если Команда B выиграет все семь оставшихся игр, она также закончит со счетом 62–20. Однако, поскольку Команда B проигрывает тай-брейк по результатам личных встреч, Команда A становится победителем дивизиона. В случаях, когда победители потенциальных тай-брейков еще не определены (например, потому что командам еще предстоит сыграть несколько игр друг с другом), обычно магические числа участвующих команд рассчитываются так, как будто они проиграют тай-брейк, а числа выбывших таких команд рассчитываются так, как будто они выиграют тай-брейк.
По соглашению магическое число обычно используется для описания только команды, занявшей первое место, относительно команд, которые она лидирует. Однако те же математические формулы можно применить к любой команде, командам, которые делят лидерство, а также командам, которые отстают. В этих случаях команда, которая не находится на первом месте, будет зависеть от того, что лидирующая команда проиграет несколько игр, чтобы она могла догнать, поэтому магическое число будет больше, чем количество оставшихся игр. В конечном счете, для команд, которые больше не участвуют в борьбе, их магическое число будет больше, чем их оставшиеся игры + оставшиеся игры для команды, занявшей первое место, — что будет невозможно преодолеть.
Формула для магического числа выводится следующим образом. Как и прежде, в какой-то конкретный момент сезона пусть у команды A будет W A побед и L A поражений. Предположим, что в какой-то более поздний момент команда A имеет w A дополнительных побед и l A дополнительных поражений, и определим аналогично W B , L B , w B , l B для команды B. Общее количество побед, которое должна набрать команда B, таким образом, определяется как ( W A + w A ) − ( W B + w B ). Команда A выигрывает, когда это число превышает количество оставшихся игр у команды B, поскольку в этот момент команда B не может восполнить дефицит, даже если команда A не сможет выиграть больше игр. Если в сезоне всего G игр, то количество оставшихся игр для команды B определяется как G − ( W B + w B + L B + l B ). Таким образом, условием победы команды A является то, что ( W A + w A ) − ( W B + w B ) = 1 + G − ( W B + w B + L B + l B ). Отбрасывая общие члены, получаем w A + l B = G + 1 − W A − L B , что устанавливает формулу магического числа.
В следующем примере магическое число команды A равно 5, поскольку, хотя она может выбить команду B, занимающую второе место, за 4 дополнительных игры, для гарантированного выбивания команды C, занимающей третье место, потребуется 5 игр. Для расчета магического числа необходимо использовать наименьшее количество поражений среди других соревнующихся команд: 162 + 1 − 88 − 70 = 5.
Другой сценарий, в котором Magic Number может отличаться от математического расчета числа, может возникнуть, когда есть сценарий тай-брейка. В большинстве видов спорта есть ряд методов тай-брейка, установленных для решения возможных случаев равенства результатов в конце сезона. Обычно первый из этих методов включает в себя очные встречи команд и то, какая команда выиграла больше игр против другой в течение сезона.
В приведенном ниже примере у команд A и B осталось по 12 игр, и математическая формула диктует магическое число 6 для команды A. 162+1-83-74=6.
Однако если команда A выиграет только 5 из оставшихся игр и закончит сезон с результатом 88-74, а команда B выиграет все оставшиеся игры и закончит сезон с равным счетом, команда A выиграет титул дивизиона, если у нее будет победный счет над командой B в течение сезона, что будет означать, что в приведенном ниже примере команда A на самом деле имеет магическое число 5.
Иногда может показаться, что у команды есть математические шансы на победу, хотя на самом деле она уже выбыла из-за расписания. В этом сценарии Главной лиги бейсбола в сезоне осталось три игры. Предполагается, что команды A, B и C имеют право только на чемпионство дивизиона; команды с лучшими показателями в других дивизионах уже обеспечили себе три доступных места "wild card":
Если бы команда C выиграла все три оставшиеся игры, она бы закончила со счетом 88–74, а если бы обе команды A и B проиграли свои три оставшиеся игры, они бы закончили со счетом 87–75, что сделало бы команду C победителем дивизиона. Однако, если команды A и B играют друг против друга в последние выходные (в серии из 3 игр), обе команды не смогли бы проиграть три оставшиеся игры. Одна из них выиграет как минимум две игры и тем самым закрепит титул дивизиона со счетом 90–72 или 89–73. Более прямым следствием этой ситуации является то, что команды A и B также не могут закончить вничью друг с другом, и команда C не может выиграть дивизион.
Можно определенно сказать, была ли команда выбита с помощью алгоритма для задачи максимального потока . [1]
Добавление второй команды Wild Card делает обратный сценарий (в котором команда фактически обеспечила себе место в постсезоне, хотя кажется, что она все еще может вылететь) возможным в бейсболе. В этом сценарии для Wild Card:
Если команды B и C играют последние три игры друг против друга, а все остальные команды либо обеспечили себе места в своих дивизионах, либо математически выбыли из борьбы за команду A, то команда A обеспечит себе как минимум второе место в турнире Wild Card, поскольку команды B и C не смогут выиграть достаточно игр, чтобы догнать команду A.
Обратный сценарий более распространен в видах спорта, где больше мест в постсезоне, что выгодно командам, которые находятся на последних позициях плей-офф, но которых преследуют команды, которым еще предстоит играть друг с другом. Иногда оба сценария могут происходить одновременно. В следующем сценарии Национальной баскетбольной ассоциации для команд, занявших с седьмого по десятое место в турнирной таблице конференции:
Если командам B и C придется сыграть одну из последних двух игр друг против друга, а команда A выйдет в финал с командами B, C и D, то команда A обеспечит себе место в плей-офф, поскольку ее не смогут обогнать обе команды B и C. Кроме того, если команда D не выйдет в финал с какой-либо из команд A, B и C, то она выбывает из борьбы за выход в плей-офф, поскольку она не сможет обогнать обе команды B и C.
Похожий сценарий иногда происходит в европейских футбольных лигах и других соревнованиях, которые используют повышение и понижение . В этом сценарии для футбольной лиги из 20 команд, которая играет в формате двухкруговой системы , присуждает три очка за победу и одно за ничью и понижает лиги команд, занявших 18, 19 и 20 места:
Если команда A проиграет два последних матча, она наберет 38 очков, а если команда D выиграет два последних матча, она наберет 34 очка. Тем не менее, независимо от разницы забитых и пропущенных мячей или любого другого фактора, если командам B и C все равно придется играть друг с другом, то команда A не рискует вылететь, поскольку команды B и C не могут обе набрать по 38 очков, в то время как команда D вылетит, поскольку команды B и C не могут обе набрать менее 35 очков.
Другой метод может быть использован для определения количества выбывших, который использует только статистику оставшихся игр ( ) и игр от лидера (GBL) следующим образом: , где означает оставшиеся игры для лидера (аналогично, означает оставшиеся игры для трейлера).
Вернитесь к примеру, представленному выше. Номер выбывания для команды B снова "5": .
Необходимо использовать этот метод, если команды играют разное количество игр в полном сезоне, например, из-за отмен или ничьих, которые не будут переигрываться. Обратите внимание, что этот алгоритм также ограничен вышеупомянутыми тонкостями.
