Максвелл материал

Модель вязкоупругого материала

Материал Максвелла — это наиболее простая модель вязкоупругого материала, демонстрирующая свойства типичной жидкости. Он демонстрирует вязкое течение в длительной временной шкале, но дополнительное упругое сопротивление быстрым деформациям. ^[1] Он назван в честь Джеймса Клерка Максвелла , который предложил эту модель в 1867 году. ^{[2] [3]} Он также известен как жидкость Максвелла. Обобщение скалярного отношения к тензорному уравнению лишено мотивации со стороны более микроскопических моделей и не соответствует концепции материальной объективности. Однако этим критериям удовлетворяет модель Максвелла с верхней конвекцией .

Определение

Диаграмма материала Максвелла

Модель Максвелла представлена ​​чисто вязким демпфером и чисто упругой пружиной, соединенными последовательно, ^[4] как показано на схеме. Если же вместо этого мы соединим эти два элемента параллельно, ^[4] то получим обобщенную модель твердого материала Кельвина–Фойгта .

В конфигурации Максвелла при приложенном осевом напряжении полное напряжение и полная деформация могут быть определены следующим образом: ^[1] ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {Total} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {Total} }}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {Total} }=\sigma _{\rm {D}}=\sigma _{\rm {S}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {Total} }=\varepsilon _{\rm {D}}+\varepsilon _{\rm {S}}}$

где индекс D указывает на напряжение-деформацию в демпфере, а индекс S указывает на напряжение-деформацию в пружине. Взяв производную деформации по времени, получаем:

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon _{\mathrm {Total} }}{dt}}={\frac {d\varepsilon _{\rm {D}}}{dt}}+{\frac {d\varepsilon _{\rm {S}}}{dt}}={\frac {\sigma }{\eta }}+{\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}}$

где E — модуль упругости, а η — коэффициент вязкости материала. Эта модель описывает демпфер как ньютоновскую жидкость и моделирует пружину с законом Гука .

В материале Максвелла напряжение σ , деформация ε и скорости их изменения во времени t определяются уравнениями вида: ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\frac {d\varepsilon }{dt}}}$

или, в точечной нотации:

${\displaystyle {\frac {\dot {\sigma }}{E}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\dot {\varepsilon }}}$

Уравнение можно применять либо к сдвиговому напряжению , либо к равномерному натяжению в материале. В первом случае вязкость соответствует вязкости ньютоновской жидкости . Во втором случае она имеет несколько иной смысл, связывая напряжение и скорость деформации.

Модель обычно применяется к случаю малых деформаций. Для больших деформаций следует включить некоторую геометрическую нелинейность. Для простейшего способа обобщения модели Максвелла обратитесь к модели Максвелла с верхней конвекцией .

Эффект внезапной деформации

Зависимость безразмерного напряжения от безразмерного времени при постоянной деформации

Если материал Максвелла внезапно деформируется и удерживается при напряжении , то напряжение затухает в характерной временной шкале , известной как время релаксации . Это явление известно как релаксация напряжения . ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle {\frac {\eta }{E}}}$

На рисунке показана зависимость безразмерного напряжения от безразмерного времени : ${\displaystyle {\frac {\sigma (t)}{E\varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\frac {E}{\eta }}t}$

Если освободить материал в момент времени , то упругий элемент отскочит назад на величину ${\displaystyle t_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {back} }=-{\frac {\sigma (t_{1})}{E}}=\varepsilon _{0}\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right).}$

Поскольку вязкий элемент не вернется к своей первоначальной длине, необратимую составляющую деформации можно упростить до следующего выражения:

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {irreversible} }=\varepsilon _{0}\left[1-\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right)\right].}$

Эффект внезапного стресса

Если материал Максвелла внезапно подвергается напряжению , то упругий элемент внезапно деформируется, а вязкий элемент будет деформироваться с постоянной скоростью: ${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma _{0}}{E}}+t{\frac {\sigma _{0}}{\eta }}}$

Если в какой-то момент мы отпустим материал, то деформация упругого элемента будет представлять собой деформацию пружинения, а деформация вязкого элемента не изменится: ${\displaystyle t_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {reversible} }={\frac {\sigma _{0}}{E}},}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {irreversible} }=t_{1}{\frac {\sigma _{0}}{\eta }}.}$

Модель Максвелла не демонстрирует ползучести , поскольку моделирует деформацию как линейную функцию времени.

Если небольшое напряжение прикладывается достаточно долго, то необратимые деформации становятся большими. Таким образом, материал Максвелла является типом жидкости.

Эффект постоянной скорости деформации

Если материал Максвелла подвергается постоянной скорости деформации , то напряжение увеличивается, достигая постоянного значения ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$

${\displaystyle \sigma =\eta {\dot {\varepsilon }}}$

В общем

${\displaystyle \sigma (t)=\eta {\dot {\varepsilon }}(1-e^{-Et/\eta })}$

Динамический модуль

Спектр релаксации для материала Максвелла

Комплексный динамический модуль материала Максвелла будет равен:

${\displaystyle E^{*}(\omega )={\frac {1}{1/E-i/(\omega \eta )}}={\frac {E\eta ^{2}\omega ^{2}+i\omega E^{2}\eta }{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}}$

Таким образом, компоненты динамического модуля равны:

${\displaystyle E_{1}(\omega )={\frac {E\eta ^{2}\omega ^{2}}{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}={\frac {(\eta /E)^{2}\omega ^{2}}{(\eta /E)^{2}\omega ^{2}+1}}E={\frac {\tau ^{2}\omega ^{2}}{\tau ^{2}\omega ^{2}+1}}E}$

и

${\displaystyle E_{2}(\omega )={\frac {\omega E^{2}\eta }{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}={\frac {(\eta /E)\omega }{(\eta /E)^{2}\omega ^{2}+1}}E={\frac {\tau \omega }{\tau ^{2}\omega ^{2}+1}}E}$

На рисунке показан релаксационный спектр для материала Максвелла. Постоянная времени релаксации равна . ${\displaystyle \tau \equiv \eta /E}$

Смотрите также

• Материал для бургеров
• Обобщенная модель Максвелла
• Материал Кельвина-Фойгта
• Модель Oldroyd-B
• Стандартная линейная твердотельная модель
• Модель Максвелла с верхней конвекцией

Ссылки

1. Ройланс, Дэвид (2001). Инженерная вязкоупругость (PDF) . Кембридж, Массачусетс 02139: Массачусетский технологический институт. С. 8–11.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
2. Boyaval, Sébastien (1 мая 2021 г.). «Вязкоупругие потоки жидкостей Максвелла с законами сохранения». ESAIM: Математическое моделирование и численный анализ . 55 (3): 807–831. arXiv : 2007.16075 . doi : 10.1051/m2an/2020076. ISSN  0764-583X.
3. "IV. О динамической теории газов". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 157 : 49–88. 31 декабря 1867. doi :10.1098/rstl.1867.0004. ISSN  0261-0523.
4. Кристенсен, Р. М. (1971). Теория вязкоупругости . Лондон, W1X6BA: Academic Press. стр. 16–20. ISBN 9780121742508.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)