В геометрии малый звездчатый додекаэдр представляет собой многогранник Кеплера-Пуансо , названный Артуром Кэли и с символом Шлефли { 5 ⁄ 2,5 }. Это один из четырех невыпуклых правильных многогранников . Он состоит из 12 граней пентаграмм , по пять пентаграмм сходящихся в каждой вершине.
Он имеет то же расположение вершин , что и выпуклый правильный икосаэдр . Он также имеет то же расположение ребер , что и большой икосаэдр , с которым он образует вырожденную однородную составную фигуру .
Это вторая из четырех звездочек додекаэдра (включая сам исходный додекаэдр).
Маленький звездчатый додекаэдр можно построить аналогично пентаграмме, ее двумерному аналогу, путем расширения ребер (1-граней) основного многогранника до тех пор, пока не будет достигнута точка их пересечения.
Если пентаграммные грани рассматривать как 5 треугольных граней, они имеют ту же топологию поверхности, что и додекаэдр пентакиса , но с гораздо более высокими гранями равнобедренного треугольника, а высота пятиугольных пирамид отрегулирована так, что пять треугольников в пентаграмме становятся копланарными. Критический угол равен atan(2) над гранью додекаэдра.
Если мы рассматриваем его как имеющий 12 пентаграмм в качестве граней, причем эти пентаграммы встречаются в 30 ребрах и 12 вершинах, мы можем вычислить его род , используя формулу Эйлера
и заключить, что малый звездчатый додекаэдр имеет род 4. Это наблюдение, сделанное Луи Пуансо , поначалу сбивало с толку, но Феликс Кляйн показал в 1877 году, что маленький звездчатый додекаэдр можно рассматривать как разветвленное покрытие римановой сферы римановой поверхностью род 4, с точками ветвления в центре каждой пентаграммы. Фактически эта риманова поверхность, называемая кривой Бринга , имеет наибольшее число симметрий среди всех римановых поверхностей рода 4: симметрическая группа действует как автоморфизмы [1]
Небольшой звездчатый додекаэдр можно увидеть в мозаике пола в базилике Святого Марка в Венеции работы Паоло Уччелло ок. 1430 . [2] Одна и та же форма занимает центральное место в двух литографиях М. К. Эшера : «Контраст (Порядок и Хаос)» (1950) и «Гравитация» (1952). [3]
Для небольшого звездчатого додекаэдра с длиной ребра E:
Его выпуклая оболочка представляет собой правильный выпуклый икосаэдр . Он также разделяет свои края с большим икосаэдром ; соединение обоих представляет собой большой сложный икосододекаэдр .
Существует четыре связанных однородных многогранника, построенных как степени усечения. Дуал — это большой додекаэдр . Додекадодекаэдр — это ректификация, при которой ребра усекаются до точек.
Усеченный малый звездчатый додекаэдр можно считать вырожденным однородным многогранником , поскольку ребра и вершины совпадают, но он включен для полноты. Визуально на поверхности он выглядит как правильный додекаэдр , но у него 24 грани, попарно перекрывающиеся. Шипы обрезаются, пока не достигают плоскости пентаграммы под ними. 24 грани представляют собой 12 пятиугольников из усеченных вершин и 12 десятиугольников, имеющих форму пятиугольников с двойной обмоткой, перекрывающих первые 12 пятиугольников. Последние грани образуются путем усечения исходных пентаграмм. Когда { n ⁄ d }-угольник усекается, он становится { 2 n ⁄ d }-угольником. Например, усеченный пятиугольник { 5 ⁄ 1 } становится десятиугольником { 10 ⁄ 1 }, поэтому усечение пентаграммы { 5 ⁄ 2 } становится пятиугольником с двойной виткой { 10 ⁄ 2 } (общий множитель между 10 и 2 означает, что мы посетите каждую вершину дважды, чтобы завершить многоугольник).
