Шведский математик и политик (1814–1886).
Карл Йохан Мальмстен (9 апреля 1814, Уддеторп, графство Скара, Швеция — 11 февраля 1886, Уппсала , Швеция) — шведский математик и политик. Он известен ранними исследованиями [1] теории функций комплексной переменной , оценкой нескольких важных логарифмических интегралов и рядов, своими исследованиями в области теории рядов и интегралов, связанных с дзета-функцией, а также помощью Миттаг-Леффлер основал журнал Acta Mathematica . [2]
Мальмстен стал доцентом в 1840 году, а затем профессором математики в Упсальском университете в 1842 году. В 1844 году он был избран членом Шведской королевской академии наук. В 1859–1866 годах он также был министром без портфеля и губернатором. округа Скараборг в 1866–1879 гг.
Основные вклады
Обычно Мальмстен известен своими ранними работами по комплексному анализу. [1] Однако он внес большой вклад и в другие разделы математики, но его результаты были незаслуженно забыты, а многие из них ошибочно приписывались другим лицам. Так, сравнительно недавно Ярославом Благоушиным [3] было обнаружено
, что Мальмстен первым вычислил несколько важных логарифмических интегралов и рядов, тесно связанных с гамма- и дзета-функциями и среди которых можно найти так -называемый интегралом Варди и рядом Куммера для логарифма гамма-функции. В частности, в 1842 г. он вычислил следующие lnln-логарифмические интегралы.
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\!{\frac {\,\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{1+x^{2}}}\, dx\,=\,\int _{1}^{\infty }\!{\frac {\,\ln \ln {x}\,}{1+x^{2}}}\,dx\, =\,{\frac {\pi }{\,2\,}}\ln \left\{{\frac {\Gamma {(3/4)}}{\Gamma {(1/4)}}} {\sqrt {2\pi \,}}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x)^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{(1+x)^{2}}}\,dx={\frac {1}{2} }{\bigl (}\ln \pi -\ln 2-\gamma {\bigr )},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x+x^{2}}}\, dx=\int _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1-x+x^{2}}}\,dx={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\sqrt[{6}]{32\pi ^{5}}}{\Gamma {(1/6)}}} {\biggr \}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x+x^{2}}}\, dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+x+x^{2}}}\,dx={\frac {\ pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\Gamma {(2/3)}}{\Gamma {(1/3)}}}{\sqrt[{3 }]{2\pi }}{\biggr \}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+2x\cos \varphi +x^{2} }}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}} }\,dx={\frac {\pi }{2\sin \varphi }}\ln \left\{{\frac {(2\pi )^{\frac {\scriptstyle \varphi }{\scriptstyle \pi }}\,\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\ right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}-{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\ right)}}\right\},\qquad -\pi <\varphi <\pi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x^{2 }+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n- 2}\ln \ln {x}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \quad =\,{\frac {\pi }{\,2n\,}}\sec {\frac {\,\pi \,}{2n}}\!\cdot \ln \pi +{ \frac {\pi }{\,n\,}}\cdot \!\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;{\frac {1}{2 }}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\cos {\frac {\,(2l-1)\pi \,}{2n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}{\Gamma \!\left(\displaystyle { \frac {2l-1}{2n}}\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{2 }+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n- 2}\ln \ln {x}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \qquad ={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln 2\ pi +{\frac {\pi }{n}}\sum _{l=1}^{n-1}(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\, }{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}}\right\} ,\quad n=2,4,6,\ldots \\[10mm]\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n }}\ln \pi +{\frac {\pi }{n}}\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;\;{\frac {1} {2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\ displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots \end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Подробности и интересный исторический анализ приведены в статье Благоушина. [3]
Многие из этих интегралов были впоследствии переоткрыты различными исследователями, в том числе Варди, [4]
Адамчиком, [5]
Мединой [6]
и Моллем. [7]
Более того, некоторые авторы даже назвали первый из этих интегралов в честь Варди, который провел его переоценку в 1988 году (они называют его интегралом Варди ), как и многие известные интернет-ресурсы, такие как сайт Wolfram MathWorld [8]
или Сайт Фонда OEIS [9]
(принимая во внимание несомненный приоритет Мальмстена в вычислении такого рода логарифмических интегралов, представляется, что название интегралы Мальмстена было бы для них более подходящим [3] ). Мальмстен вывел приведенные выше формулы, используя различные представления рядов. В то же время было показано, что их можно также оценить методами контурного интегрирования [3] с использованием дзета-функции Гурвица [5] с использованием полилогарифмов [6] и с использованием L-функций . [4] Более сложные формы интегралов Мальмстена встречаются в работах Адамчика [5] и Благоушина [3] (более 70 интегралов). Ниже приведены несколько примеров таких интегралов.
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{3}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\ln \ln x}{1+x^{3}}}\,dx={\frac {\ln 2}{6}}\ln {\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 54-8\ln 2\pi +12\ln \Gamma \ влево({\frac {1}{3}}\вправо)\вправо\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1-x+x^{2})^ {2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln x}{(1-x+x^{2})^{2 }}}\,dx=-{\frac {\gamma }{3}}-{\frac {1}{3}}\ln {\frac {6{\sqrt {3}}}{\pi }} +{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{27}}\left\{5\ln 2\pi -6\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right )\верно\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x }}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\left(x^{ 4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx={\frac {2 \,\mathrm {G} {\pi }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1} x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x ^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx={\frac {7\дзета (3)}{8\pi ^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x ^{-{\frac {m}{n}}}\right)^{\!2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1-x^{2}) ^{2}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x^ {- {\frac {m}{n}}}\right)^{\!2}\ln \ln {x}}{\,(1-x^{2})^{2}\,}} \,dx=\!\!\!&\displaystyle {\frac {\,m\pi \,}{\,n\,}}\sum _{l=1}^{n-1}\sin { \dfrac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {l}{n}}\!\right)-\,{\frac {\pi m }{\,2n\,}}\cot {\frac {\pi m}{n}}\cdot \ln \pi n\\[3mm]&\displaystyle -\,{\frac {\,1\, }{2}}\ln \!\left(\!{\frac {\,2\,}{\pi }}\sin {\frac {\,m\pi \,}{n}}\!\ вправо)-\,{\frac {\gamma }{2}}\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}\!\left(x^{\frac {m}{n) }}+x^{-{\frac {m}{n}}}\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{ 3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}\!\left(x^{\frac {m}{n}}+ x^{-{\frac {m}{n}}}\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx= -{\frac {\,\pi \left(n^{2}-m^{2}\right)\,}{8n^{2}}}\!\sum _{l=0}^{2n -1}\!(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {2l +1}{4n}}\right)\\[3mm]\displaystyle \,\,+{\frac {\,m\,}{\,8n^{2}\,}}\!\sum _{ l=0}^{2n-1}\!(-1)^{l}\sin {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi \!\left(\! {\frac {2l+1}{4n}}\right)-{\frac {\,1\,}{\,32\pi n^{2}\,}}\!\sum _{l=0 }^{2n-1}(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi _{1}\!\left(\!{ \frac {2l+1}{4n}}\right)+\,{\frac {\,\pi (n^{2}-m^{2})\,}{16n^{2}}}\ sec {\dfrac {m\pi }{2n}}\cdot \ln 2\pi n\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где m и n — положительные целые числа такие, что m < n , G — константа Каталана , ζ — дзета-функция Римана , Ψ — дигамма-функция , а Ψ 1 — тригамма-функция ; см. соответственно уравнение. (43), (47) и (48) в книге Адамчика [5] для первых трех интегралов и упражнения № 1. 36-а, 36-б, 11-б и 13-б в работе Благоушина [3] для последних четырех интегралов соответственно (третий интеграл вычисляется в обеих работах). Любопытно, что некоторые интегралы Мальмстена приводят к нечасто встречающимся в анализе гамма- и полигамма-функциям комплексного аргумента. Например, как показал Ярослав Благоушин, [3]
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+4x^{2}+x^{4 }}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln {x}}{1+4x^{2}+x^{4}} }\,dx={\frac {\,\pi \,}{\,2{\sqrt {3\,}}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\ left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{2\pi i}}\right)\!\right] +\,{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{\,4{\sqrt {3\,}}\,}}\ln \pi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
или,
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\,x\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{\,x^{4}- 2x^{2}\cosh {2}+1\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\,x\ln \ln {x}\ ,}{\,x^{4}-2x^{2}\cosh {2}+1\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \,}{2\,\sinh { 2}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {i}{2\pi }}\right)-\ln \Gamma \!\ left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2\pi }}\right)\!\right]-{\frac {\,\pi ^{2}}{ 8\,\sinh {2}\,}}-{\frac {\,\ln 2\pi \,}{2\,\sinh {2}\,}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
см. упражнения 7-а и 37 соответственно. Кстати, интегралы Мальмстена также оказались тесно связанными с константами Стилтьеса . [3] [10]
В 1842 году Мальмстен также оценил несколько важных логарифмических рядов, среди которых мы можем найти эти два ряда.
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\ln \pi -\gamma )-\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\sin an\cdot \ln {n}}{n}}\,=\, \pi \ln \left\{{\frac {\pi ^{{\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2\pi }}}}{\Gamma \left(\displaystyle { \frac {1}{2}}+{\frac {a}{2\pi }}\right)}}\right\}-{\frac {a}{2}}{\big (}\gamma + \ln 2{\big)}-{\frac {\pi }{2}}\ln \cos {\frac {a}{2}}\,,\qquad -\pi <a<\pi .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Последняя серия была позже вновь открыта в несколько иной форме Эрнстом Куммером , который вывел аналогичное выражение
![{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}= \ln \Gamma (x)-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \pi x)-{\frac {1}{2}}(\gamma +\ln 2\pi )(1-2x)\,,\qquad 0<x<1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
в 1847 г. [3] (строго говоря, результат Куммера получается из результата Мальмстена, если положить a=π(2x-1)). Более того, этот ряд даже известен в анализе как ряд Куммера для логарифма гамма-функции , хотя Мальмстен вывел его за 5 лет до Куммера.
Мальсмтен также внес заметный вклад в теорию рядов и интегралов, связанных с дзета-функцией. В 1842 году он доказал следующую важную функциональную зависимость для L-функции.
![{\displaystyle L(s)\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\qquad \ qquad L(1-s)=L(s)\Gamma (s)2^{s}\pi ^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
а также для М-функции
![{\displaystyle M(s)\equiv {\frac {2}{\sqrt {3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1} }{n^{s}}}\sin {\frac {\pi n}{3}}\qquad \qquad M(1-s)=\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}} \,M(s)\Gamma (s)3^{s}(2\pi )^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где в обеих формулах 0<s<1. Первая из этих формул была предложена Леонардом Эйлером еще в 1749 году [11] , но доказал ее именно Мальмстен (Эйлер лишь предложил эту формулу и проверил ее для нескольких целых и полуцелых значений s). Любопытно, что та же самая формула для L(s) была неосознанно заново открыта Оскаром Шлёмильхом в 1849 году (доказательство было представлено только в 1858 году). [3] [12] [13] [14] Четыре года спустя Мальмстен вывел несколько других подобных формул отражения, которые оказались частными случаями функционального уравнения Гурвица .
Говоря о вкладе Мальмстена в теорию дзета-функций, нельзя не упомянуть совсем недавнее открытие им авторства формулы отражения первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональном рассуждении.
![{\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr)}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m} n}}{\biggr )}=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где m и n — положительные целые числа такие, что m < n . Это тождество было выведено, хотя и в несколько иной форме, Мальмстеном уже в 1846 г., а также открыто несколько раз независимо разными авторами. В частности, в литературе, посвященной константам Стилтьеса , ее часто приписывают Альмквисту и Меурману, которые вывели ее в 1990-е годы. [10]
Рекомендации
- ^ Аб Мальмстен, CJ (1867). «Ом определенный интеграл лучшего воображения». К. Вет. Акад. Ручка. (на шведском языке). Стокгольм: PA Norstedt & Söner. 6 (3): 1–18.
- ^ Гординг, Ларс (1998). Математика и математики: Математика в Швеции до 1950 года . История математики. Том. 13. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/hmath/013. ISBN 978-0-8218-0612-8. МР 1488153.
- ^ abcdefghij Благоушин, Ярослав В. (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты». Рамануджан Дж . 35 (1): 21–110. дои : 10.1007/s11139-013-9528-5. ISSN 1382-4090. МР 3258600. S2CID 254986780.Благоушин, Ярослав В. (2017). «Ошибка и дополнение к: Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты [Рамануджан Дж. (2014), 35:21–110]». Рамануджан Дж . 42 (3): 777–781. doi : 10.1007/s11139-015-9763-z. ISSN 1382-4090. МР 3625019. S2CID 254982221.PDF
- ^ Аб Варди, Илан (1988). «Интегралы, введение в аналитическую теорию чисел». амер. Математика. Ежемесячно . 95 (4): 308–315. дои : 10.2307/2323562. ISSN 0002-9890. JSTOR 2323562. МР 0935205.
- ^ abcd В. Адамчик Класс логарифмических интегралов. Материалы Международного симпозиума 1997 г. по символическим и алгебраическим вычислениям, стр. 1-8, 1997 г.
- ^ аб Медина, Луис А.; Молл, Виктор Х. (2009). «Класс логарифмических интегралов». Рамануджан Дж . 20 (1): 91–126. arXiv : 0808.2750 . дои : 10.1007/s11139-008-9148-7. ISSN 1382-4090. MR 2546186. S2CID 115174350.
- ^ В. Х. Молл Некоторые вопросы оценки определенных интегралов. Краткий курс MAA, Сан-Антонио, Техас. Январь 2006 г.
- ^ Интеграл Эрика В. Вайсстейна Варди. Из MathWorld – веб-ресурса Wolfram.
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A115252». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ аб Благоушин, Ярослав В. (2015). «Теорема для оценки в замкнутой форме первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах и некоторые связанные с ней суммирования». Дж. Теория чисел . 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724 . дои : 10.1016/j.jnt.2014.08.009. ISSN 0022-314X. МР 3283193.Благоушин, Ярослав В. (2015). «Ошибка в «Теореме для оценки в замкнутой форме первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах и некоторых связанных с ней суммированиях» [J. Number Theory 148 (2015) 537–592]». Дж. Теория чисел . 151 : 276–277. arXiv : 1401.3724 . дои : 10.1016/j.jnt.2015.01.001. ISSN 0022-314X. МР 3314214.Благоушин, Ярослав В. (23 февраля 2015 г.). «Теорема для оценки в замкнутой форме первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах и некоторые связанные с ней суммирования». Журнал теории чисел . 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724v3 . дои : 10.1016/J.JNT.2014.08.009.
- ^ Л. Эйлер Ремарк о прекрасном взаимопонимании между сериями сил, которые направляют взаимность. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, année MDCCLXI, Том 17, стр. 83-106, A Berlin, chez Haude et Spener, Libraires de la Cour et de l'Académie Royale, 1768 г. [прочитано в 1749 г.]
- ^ Харди, GH (1949). Дивергентный сериал. Лондон: Издательство Оксфордского университета. МР 0030620.
- ^ H. Wieleitner Geschichte der Mathematik [в 2-х томах] Берлин, 1922-1923.
- ^ Дж. Дутка О суммировании некоторых расходящихся рядов Эйлера и дзета-функций. Архив истории точных наук, том 50, выпуск 2, стр. 187-200, Архив истории точных наук, 27.VIII.1996.