Матрица Безу

В математике матрица Безу (или Безутиан или Безутиант ) — это специальная квадратная матрица , связанная с двумя многочленами , введенная Джеймсом Джозефом Сильвестром в 1853 году и Артуром Кэли в 1857 году и названная в честь Этьена Безу . ^{[1] [2]} Безутиан может также относиться к определителю этой матрицы, который равен результирующему двух многочленов. Матрицы Безу иногда используются для проверки устойчивости заданного многочлена.

Определение

Пусть и — два комплексных многочлена степени не выше n , ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle g(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{n}u_{i}z^{i},\qquad g(z)=\sum _{i=0}^{n}v_{i}z^{i}.}$

(Обратите внимание, что любой коэффициент или может быть равен нулю.) Матрица Безу порядка n , связанная с полиномами f и g, имеет вид ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$

${\displaystyle B_{n}(f,g)=\left(b_{ij}\right)_{i,j=0,\dots ,n-1}}$

где записи являются результатом идентификации ${\displaystyle b_{ij}}$

${\displaystyle {\frac {f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}}=\sum _{i,j=0}^{n-1}b_{ij}\,x^{i}\,y^{j}.}$

Это комплексная матрица размера n  ×  n , и ее элементы таковы, что если мы допустим и для каждого , то: ${\displaystyle \ell _{ij}=\max\{0,i-j\}}$ ${\displaystyle m_{ij}=\min\{i,n-1-j\}}$ ${\displaystyle i,j=0,\dots ,n-1}$

${\displaystyle b_{ij}=\sum _{k=\ell _{ij}}^{m_{ij}}(u_{j+k+1}v_{i-k}-u_{i-k}v_{j+k+1}).}$

Каждой матрице Безу можно сопоставить следующую билинейную форму , называемую матрицей Безу:

${\displaystyle \operatorname {Bez} :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :(x,y)\mapsto \operatorname {Bez} (x,y)=x^{*}B_{n}(f,g)\,y.}$

Примеры

• При n = 3 для любых многочленов f и g степени (максимум) 3  имеем :

${\displaystyle B_{3}(f,g)=\left[{\begin{matrix}u_{1}v_{0}-u_{0}v_{1}&u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}\\u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{2}v_{1}-u_{1}v_{2}+u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}&u_{3}v_{2}-u_{2}v_{3}\end{matrix}}\right]\!.}$

• Пусть и — два полинома. Тогда: ${\displaystyle f(x)=3x^{3}-x}$ ${\displaystyle g(x)=5x^{2}+1}$

${\displaystyle B_{4}(f,g)=\left[{\begin{matrix}-1&0&3&0\\0&8&0&0\\3&0&15&0\\0&0&0&0\end{matrix}}\right]\!.}$

Последняя строка и столбец все равны нулю, так как f и g имеют степень строго меньше n (которая равна 4). Остальные нулевые записи есть, потому что для каждого либо или равно нулю. ${\displaystyle i=0,\dots ,n}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$

Характеристики

• ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$симметричен (как матрица) ;
• ${\displaystyle B_{n}(f,g)=-B_{n}(g,f)}$;
• ${\displaystyle B_{n}(f,f)=0}$;
• ${\displaystyle (f,g)\mapsto B_{n}(f,g)}$является билинейной функцией;
• ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$является действительной матрицей, если f и g имеют действительные коэффициенты;
• ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$является невырожденным тогда и только тогда, когда f и g не имеют общих корней . ${\displaystyle n=\max(\deg(f),\deg(g))}$
• ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$причем имеет определитель , который является результатом f и g . ${\displaystyle n=\max(\deg(f),\deg(g))}$

Приложения

Важное применение матриц Безу можно найти в теории управления . Чтобы увидеть это, пусть f ( z ) будет комплексным многочленом степени n и обозначим через q и p действительные многочлены, такие что f (i y ) =  q ( y ) + i p ( y ) (где y является действительным числом). Мы также обозначим r для ранга и σ для сигнатуры . Тогда мы имеем следующие утверждения: ${\displaystyle B_{n}(p,q)}$

• f ( z ) имеет n  −  r общих корней со своим сопряженным элементом;
• левые r корней f ( z ) расположены таким образом, что:
  • ( r  +  σ )/2 из них лежат в открытой левой полуплоскости, а
  • ( r  −  σ )/2 лежат в открытой правой полуплоскости;
• f устойчиво по Гурвицу тогда и только тогда, когда положительно определено . ${\displaystyle B_{n}(p,q)}$

Третье утверждение дает необходимое и достаточное условие относительно устойчивости. Кроме того, первое утверждение демонстрирует некоторое сходство с результатом, касающимся матриц Сильвестра , а второе может быть связано с теоремой Рауса–Гурвица .

Цитаты

1. Сильвестр 1853.
2. Кейли 1857.

Ссылки

• Кэли, Артур (1857), «Примечание к методу устранения Безу», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 53 : 366–367, doi : 10.1515/crll.1857.53.366
• Крейн, МГ; Наймарк, МА (1981) [1936], «Метод симметрических и эрмитовых форм в теории разделения корней алгебраических уравнений», Линейная и полилинейная алгебра , 10 (4): 265–308, doi :10.1080/03081088108817420, ISSN  0308-1087, MR  0638124
• Пан, Виктор; Бини, Дарио (1994). Полиномиальные и матричные вычисления . Базель, Швейцария: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3786-9.
• Притчард, Энтони Дж.; Хинрихсен, Дидерих (2005). Математическая теория систем I: моделирование, анализ пространства состояний, устойчивость и надежность . Берлин: Springer. ISBN 3-540-44125-5.
• Сильвестр, Джеймс Джозеф (1853), «О теории сизигических отношений двух рациональных интегральных функций, включающей приложение к теории функций Штурма и теории наибольшей алгебраической общей меры», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 143 , The Royal Society: 407–548, doi : 10.1098/rstl.1853.0018 , ISSN  0080-4614, JSTOR  108572