Матрица норма

Норма в векторном пространстве матриц

В области математики нормы определяются для элементов векторного пространства . В частности, когда векторное пространство содержит матрицы, такие нормы называются матричными нормами . Матричные нормы отличаются от векторных тем, что они также должны взаимодействовать с матричным умножением.

Предварительные сведения

Пусть задано поле действительных или комплексных чисел , пусть - K - векторное пространство матриц со строками, столбцами и элементами в поле . Матричная норма является нормой на . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{m\times n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{m\times n}}$

Нормы часто обозначаются двойной вертикальной чертой (например: ). Таким образом, матричная норма – это функция , которая должна удовлетворять следующим свойствам: ^{[1] [2]} ${\displaystyle \|A\|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|:K^{m\times n}\to \mathbb {R} }$

Для всех скаляров и матриц ${\displaystyle \alpha \in K}$ ${\displaystyle A,B\in K^{m\times n}}$

• ${\displaystyle \|A\|\geq 0}$( положительное значение )
• ${\displaystyle \|A\|=0\iff A=0_{m,n}}$( определенный )
• ${\displaystyle \left\|\alpha A\right\|=\left|\alpha \right|\left\|A\right\|}$( абсолютно однородный )
• ${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|}$( субаддитивный или удовлетворяющий неравенству треугольника )

Единственная особенность, отличающая матрицы от переставленных векторов, — это умножение . Матричные нормы особенно полезны, если они также являются субмультипликативными : ^{[1] [2] [3]}

• ${\displaystyle \left\|AB\right\|\leq \left\|A\right\|\left\|B\right\|}$^{[Примечание 1]}

Любую норму на K ^{n × n} можно масштабировать до субмультипликативной; в некоторых книгах норма терминологической матрицы зарезервирована для субмультипликативных норм. ^[4]

Матричные нормы, индуцированные векторными нормами

Предположим, что векторная норма on и векторная норма on заданы. Любая матрица A индуцирует линейный оператор от до относительно стандартного базиса, и соответствующая индуцированная норма , или операторная норма , или подчиненная норма определяется в пространстве всех матриц следующим образом: ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ ${\displaystyle K^{m}}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle K^{m}}$ ${\displaystyle K^{m\times n}}$ ${\displaystyle m\times n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|_{\alpha ,\beta }&=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{\alpha }=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|_{\beta }}{\|x\|_{\alpha }}}:x\in K^{n}{\text{ with }}x\neq 0\right\}.\end{aligned}}}$$

верхнюю грань ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}$

Матричные нормы, индуцированные векторными p-нормами

Если p -норма для векторов ( ) используется для обоих пространств и тогда соответствующая операторная норма равна: ^[2] ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle K^{m},}$

$${\displaystyle \|A\|_{p}=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}.}$$

p-p -норм Шаттена ${\displaystyle \|A\|_{p}.}$

С геометрической точки зрения, можно представить единичный шар с p-нормой в , а затем применить к шару линейное отображение . В конечном итоге он станет искаженной выпуклой формой и будет измерять самый длинный «радиус» искаженной выпуклой формы. Другими словами, мы должны взять единичный шар p-нормы в , а затем умножить его как минимум на , чтобы он стал достаточно большим, чтобы содержать . ${\displaystyle V_{p,n}=\{x\in K^{n}:\|x\|_{p}=1\}}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AV_{p,n}\subset K^{m}}$ ${\displaystyle \|A\|_{p}}$ ${\displaystyle V_{p,m}}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle \|A\|_{p}}$ ${\displaystyle AV_{p,n}}$

р = 1, ∞

Когда , у нас есть простые формулы. ${\displaystyle p=1,\infty }$

$${\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|,}$$

$${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|,}$$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-3&5&7\\2&6&4\\0&2&8\\\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle \|A\|_{1}=\max(|{-3}|+2+0;5+6+2;7+4+8)=\max(5,13,19)=19,}$$

$${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max(|{-3}|+5+7;2+6+4;0+2+8)=\max(15,12,10)=15.}$$

Спектральная норма (p = 2)

Когда ( евклидова норма или -норма для векторов) норма индуцированной матрицы является спектральной нормой . (Эти два значения не совпадают в бесконечных измерениях — дальнейшее обсуждение см. в разделе «Спектральный радиус» .) Спектральная норма матрицы — это наибольшее сингулярное значение ( т. е. квадратный корень из наибольшего собственного значения матрицы, где обозначает сопряженное транспонирование матрицы ). ): ^[5] ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \ell _{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A,}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\max }\left(A^{*}A\right)}}=\sigma _{\max }(A).}$$

${\displaystyle \sigma _{\max }(A)}$ ${\displaystyle A.}$

Есть еще свойства:

• ${\textstyle \|A\|_{2}=\sup\{x^{*}Ay:x\in K^{m},y\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|_{2}=\|y\|_{2}=1\}.}$Доказывается неравенством Коши–Шварца .
• ${\textstyle \|A^{*}A\|_{2}=\|AA^{*}\|_{2}=\|A\|_{2}^{2}}$. Доказано методом сингулярного разложения (SVD) на . ${\displaystyle A}$
• ${\textstyle \|A\|_{2}=\sigma _{\mathrm {max} }(A)\leq \|A\|_{\rm {F}}={\sqrt {\sum _{i}\sigma _{i}(A)^{2}}}}$, где норма Фробениуса. Равенство выполняется тогда и только тогда, когда матрица является матрицей первого ранга или нулевой матрицей. ${\displaystyle \|A\|_{\textrm {F}}}$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\rho (A^{*}A)}}\leq {\sqrt {\|A^{*}A\|_{\infty }}}\leq {\sqrt {\|A\|_{1}\|A\|_{\infty }}}}$.

Матричные нормы, индуцированные векторными α- и β-нормами

Мы можем обобщить приведенное выше определение. Предположим, у нас есть векторные нормы и для пространств и соответственно; соответствующая операторная норма равна ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle K^{m}}$

$${\displaystyle \|A\|_{\alpha ,\beta }=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{\beta }}{\|x\|_{\alpha }}}.}$$

${\displaystyle \|A\|_{p}}$ ${\displaystyle \|A\|_{p,p}}$

В особых случаях и индуцированные матричные нормы можно вычислить по формуле ${\displaystyle \alpha =2}$ ${\displaystyle \beta =\infty }$

$${\displaystyle \|A\|_{2,\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\|A_{i:}\|_{2},}$$

${\displaystyle A_{i:}}$ ${\displaystyle A}$

В особых случаях и индуцированные матричные нормы можно вычислить по формуле ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta =2}$

$${\displaystyle \|A\|_{1,2}=\max _{1\leq j\leq n}\|A_{:j}\|_{2},}$$

${\displaystyle A_{:j}}$ ${\displaystyle A}$

Следовательно, и – максимальная 2-норма строки и столбца матрицы соответственно. ${\displaystyle \|A\|_{2,\infty }}$ ${\displaystyle \|A\|_{1,2}}$

Характеристики

Любая операторная норма согласуется с индуцирующими ее векторными нормами, что дает

$${\displaystyle \|Ax\|_{\beta }\leq \|A\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }.}$$

Предполагать ; ; и – операторные нормы, индуцированные соответствующими парами векторных норм ; ; и . Затем, ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta ,\gamma }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\gamma }}$ ${\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\beta })}$ ${\displaystyle (\|\cdot \|_{\beta },\|\cdot \|_{\gamma })}$ ${\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\gamma })}$

${\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta };}$

это следует из

$${\displaystyle \|ABx\|_{\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|Bx\|_{\beta }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }}$$

$${\displaystyle \sup _{\|x\|_{\alpha }=1}\|ABx\|_{\gamma }=\|AB\|_{\alpha ,\gamma }.}$$

Квадратные матрицы

Пусть – операторная норма в пространстве квадратных матриц, индуцированная векторными нормами и . Тогда норма оператора является субмультипликативной матричной нормой: ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\alpha }}$ ${\displaystyle K^{n\times n}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$

$${\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\alpha }\leq \|A\|_{\alpha ,\alpha }\|B\|_{\alpha ,\alpha }.}$$

Более того, любая такая норма удовлетворяет неравенству

для всех положительных целых чисел r , где ρ ( A ) — спектральный радиус A. Для симметричного или эрмитового A мы имеем равенство в ( 1 ) для 2-нормы, так как в этом случае 2-норма является в точности спектральным радиусом A. Для произвольной матрицы мы не можем иметь равенства ни по какой норме; контрпримером будет

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}$$

формулу спектрального радиуса

$${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A).}$$

Последовательные и совместимые нормы

Матричная норма на называется согласованной с векторной нормой на и векторной нормой на , если: ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle K^{m\times n}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ ${\displaystyle K^{m}}$

$${\displaystyle \left\|Ax\right\|_{\beta }\leq \left\|A\right\|\left\|x\right\|_{\alpha }}$$

m = nсовместимым ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$ ${\displaystyle x\in K^{n}}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$

Все индуцированные нормы непротиворечивы по определению. Кроме того, любая субмультипликативная матричная норма на индуцирует совместимую векторную норму путем определения . ${\displaystyle K^{n\times n}}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle \left\|v\right\|:=\left\|\left(v,v,\dots ,v\right)\right\|}$

«Входные» матричные нормы

Эти нормы рассматривают матрицу как вектор размера и используют одну из знакомых векторных норм. Например, используя p -норму для векторов p ≥ 1 , мы получаем: ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle m\cdot n}$

${\displaystyle \|A\|_{p,p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}}$

Это норма, отличная от индуцированной p -нормы (см. выше) и p -нормы Шаттена (см. ниже), но обозначения те же.

Частный случай p = 2 — это норма Фробениуса, а p = ∞ дает максимальную норму.

Нормы L 2,1 и L p,q

Позвольте быть столбцами матрицы . Согласно исходному определению, матрица представляет n точек данных в m-мерном пространстве. Норма ^[6] представляет собой сумму евклидовых норм столбцов матрицы: ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L_{2,1}}$

${\displaystyle \|A\|_{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\|a_{j}\|_{2}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Норма как функция ошибок более надежна, поскольку ошибка для каждой точки данных (столбца) не возводится в квадрат. Он используется для надежного анализа данных и разреженного кодирования . ${\displaystyle L_{2,1}}$

При p , q ≥ 1 норму можно обобщить до нормы следующим образом: ${\displaystyle L_{2,1}}$ ${\displaystyle L_{p,q}}$

${\displaystyle \|A\|_{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Норма Фробениуса

Когда p = q = 2 для нормы, это называется нормой Фробениуса или нормой Гильберта – Шмидта , хотя последний термин чаще используется в контексте операторов в (возможно, бесконечномерном) гильбертовом пространстве . Эту норму можно определить по-разному: ${\displaystyle L_{p,q}}$

${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i}^{m}\sum _{j}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}(A)}},}$

где след представляет собой сумму диагональных элементов и являются сингулярными значениями . Второе равенство доказывается явным вычислением . Третье равенство доказывается разложением по сингулярным значениям и тем фактом, что след инвариантен относительно круговых сдвигов. ${\displaystyle \sigma _{i}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {trace} (A^{*}A)}$ ${\displaystyle A}$

Норма Фробениуса является расширением евклидовой нормы и вытекает из внутреннего произведения Фробениуса в пространстве всех матриц. ${\displaystyle K^{n\times n}}$

Норма Фробениуса субмультипликативна и очень полезна для числовой линейной алгебры . Субмультипликативность нормы Фробениуса можно доказать с помощью неравенства Коши – Шварца .

Норму Фробениуса часто легче вычислить, чем индуцированные нормы, и она обладает полезным свойством инвариантности относительно вращений (и унитарных операций в целом). То есть для любой унитарной матрицы . Это свойство следует из цикличности трассы ( ): ${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}=\|AU\|_{\text{F}}=\|UA\|_{\text{F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {trace} (XYZ)=\operatorname {trace} (ZXY)}$

${\displaystyle \|AU\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((AU)^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(U^{*}A^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(UU^{*}A^{*}A\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}$

и аналогично:

${\displaystyle \|UA\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((UA)^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}U^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}$

где мы использовали унитарный характер (т.е. ). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=\mathbf {I} }$

Это также удовлетворяет

${\displaystyle \|A^{*}A\|_{\text{F}}=\|AA^{*}\|_{\text{F}}\leq \|A\|_{\text{F}}^{2}}$

и

${\displaystyle \|A+B\|_{\text{F}}^{2}=\|A\|_{\text{F}}^{2}+\|B\|_{\text{F}}^{2}+2Re\left(\langle A,B\rangle _{\text{F}}\right),}$

где — внутренний продукт Фробениуса , а Re — действительная часть комплексного числа (не имеет значения для вещественных матриц) ${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{F}}}$

Макс норма

Максимальная норма — это поэлементная норма в пределе, когда p = q стремится к бесконечности:

${\displaystyle \|A\|_{\max }=\max _{ij}|a_{ij}|.}$

Эта норма не является субмультипликативной.

Обратите внимание, что в некоторой литературе (например, « Коммуникационная сложность ») альтернативное определение максимальной нормы, также называемое -нормой , относится к норме факторизации: ${\displaystyle \gamma _{2}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(A)=\min _{U,V:A=UV^{T}}\|U\|_{2,\infty }\|V\|_{2,\infty }=\min _{U,V:A=UV^{T}}\max _{i,j}\|U_{i,:}\|_{2}\|V_{j,:}\|_{2}}$

Нормы Шаттена

p -нормы Шаттена возникают при применении p -нормы к вектору сингулярных значений матрицы. ^[2] Если сингулярные значения матрицы обозначаются σ i _, то p -норма Шаттена определяется формулой ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{p}(A)\right)^{1/p}.}$

Эти нормы снова имеют те же обозначения, что и индуцированные и входные p- нормы, но они различны.

Все нормы Шаттена субмультипликативны. Они также унитарно инвариантны, что означает, что для всех матриц и всех унитарных матриц и . ${\displaystyle \|A\|=\|UAV\|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Наиболее знакомые случаи — p = 1, 2, ∞. Случай p = 2 дает введенную ранее норму Фробениуса. Случай p = ∞ дает спектральную норму, которая представляет собой операторную норму, индуцированную векторной 2-нормой (см. выше). Наконец, p = 1 дает ядерную норму (также известную как норма следа или 'n'-норма Кай Фана ^[7] ), определяемую как:

${\displaystyle \|A\|_{*}=\operatorname {trace} \left({\sqrt {A^{*}A}}\right)=\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}(A),}$

где обозначает положительную полуопределенную матрицу такую, что . Точнее, поскольку – положительно полуопределенная матрица , ее квадратный корень корректно определен. Ядерная норма представляет собой выпуклую оболочку ранговой функции , поэтому ее часто используют в математической оптимизации для поиска матриц низкого ранга. ${\displaystyle {\sqrt {A^{*}A}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle BB=A^{*}A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle \|A\|_{*}}$ ${\displaystyle {\text{rank}}(A)}$

Объединение неравенства следа фон Неймана с неравенством Гельдера для евклидова пространства дает версию неравенства Гельдера для норм Шаттена для : ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$

${\displaystyle \left|\operatorname {trace} (A'B)\right|\leq \|A\|_{p}\|B\|_{q},}$

В частности, отсюда следует нормовое неравенство Шаттена

${\displaystyle \|A\|_{F}^{2}\leq \|A\|_{p}\|A\|_{q}.}$

Монотонные нормы

Матричная норма называется монотонной, если она монотонна относительно порядка Лёвнера . Таким образом, норма матрицы возрастает, если ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle A\preccurlyeq B\Rightarrow \|A\|\leq \|B\|.}$

Норма Фробениуса и спектральная норма являются примерами монотонных норм. ^[8]

Вырезать нормы

Другим источником вдохновения для матричных норм является рассмотрение матрицы как матрицы смежности взвешенного ориентированного графа . ^[9] Так называемая «норма сокращения» измеряет, насколько близок связанный граф к двудольному :

$${\displaystyle \|A\|_{\Box }=\max _{S\subseteq [n],T\subseteq [m]}{\left|\sum _{s\in S,t\in T}{A_{t,s}}\right|}}$$

А ∈ К ^{м × п[9] [10] [11]}2| С | > п и 2 | Т | > мС = ТS ∩ Т знак равно ∅^[10]

Разрезанная норма эквивалентна индуцированной операторной норме ‖·‖ _∞→1 , которая сама по себе эквивалентна другой норме, называемой нормой Гротендика . ^[11]

Чтобы определить норму Гротендика, сначала заметим, что линейный оператор K ¹ → K ¹ является просто скаляром и, следовательно, продолжается до линейного оператора на любом K ^k → K ^k . Более того, при любом выборе базиса для K ⁿ и K ^m любой линейный оператор K ⁿ → K ^m расширяется до линейного оператора ( K ^k ) ⁿ → ( K ^k ) ^m , позволяя каждому матричному элементу на элементах K ^k через скалярное умножение. Норма Гротендика является нормой этого расширенного оператора; в обозначениях: ^[11]

$${\displaystyle \|A\|_{G,k}=\sup _{{\text{each }}u_{j},v_{j}\in K^{k};\|u_{j}\|=\|v_{j}\|=1}{\sum _{j\in [n],\ell \in [m]}{(u_{j}\cdot v_{j})A_{\ell ,j}}}}$$

Норма Гротендика зависит от выбора базиса (обычно принимаемого за стандартный ) и k .

Эквивалентность норм

Для любых двух матричных норм и мы имеем следующее: ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$

${\displaystyle r\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta }\leq s\|A\|_{\alpha }}$

для некоторых положительных чисел r и s для всех матриц . Другими словами, все нормы на эквивалентны ; они индуцируют ту же самую топологию на . Это верно, поскольку векторное пространство имеет конечную размерность . ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$ ${\displaystyle K^{m\times n}}$ ${\displaystyle K^{m\times n}}$ ${\displaystyle K^{m\times n}}$ ${\displaystyle m\times n}$

Более того, для каждой векторной нормы на существует уникальное положительное действительное число такое, что является субмультипликативной матричной нормой для каждого . ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \ell \geq k}$

Субмультипликативная матричная норма называется минимальной , если не существует другой субмультипликативной матричной нормы, удовлетворяющей . ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }<\|\cdot \|_{\alpha }}$

Примеры эквивалентности норм

Давайте еще раз обратимся к норме, индуцированной вектором p -нормой (как указано выше в разделе «Индуцированная норма»). ${\displaystyle \|A\|_{p}}$

Для матрицы ранга имеют место следующие неравенства: ^{[12] [13]} ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle r}$

• ${\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{2}}$
• ${\displaystyle \|A\|_{F}\leq \|A\|_{*}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{F}}$
• ${\displaystyle \|A\|_{\max }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\max }}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}.}$

Смотрите также

• Двойная норма
• Логарифмическая норма

Примечания

1. Условие применяется только в том случае, если продукт определен, например, в случае квадратных матриц ( m = n ).

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Матричная норма». mathworld.wolfram.com . Проверено 24 августа 2020 г.
2. «Матрица норм». fourier.eng.hmc.edu . Проверено 24 августа 2020 г.
3. Малек-Шахмирзади, Масуд (1983). «Характеристика некоторых классов матричных норм». Линейная и полилинейная алгебра . 13 (2): 97–99. дои : 10.1080/03081088308817508. ISSN  0308-1087.
4. Хорн, Роджер А. (2012). Матричный анализ . Джонсон, Чарльз Р. (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 340–341. ISBN 978-1-139-77600-4. ОСЛК  817236655.
5. Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, §5.2, стр.281, Общество промышленной и прикладной математики, июнь 2000 г.
6. Дин, Крис; Чжоу, Дин; Он, Сяофэн; Чжа, Хунъюань (июнь 2006 г.). «R1-PCA: Анализ главных компонентов вращательной инвариантной нормы L1 для устойчивой факторизации подпространства». Материалы 23-й Международной конференции по машинному обучению . ICML '06. Питтсбург, Пенсильвания, США: ACM. стр. 281–288. дои : 10.1145/1143844.1143880. ISBN 1-59593-383-2.
7. Фан, Кентукки (1951). «Максимальные свойства и неравенства для собственных значений вполне непрерывных операторов». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 37 (11): 760–766. Бибкод : 1951PNAS...37..760F. дои : 10.1073/pnas.37.11.760 . ПМЦ 1063464 . ПМИД  16578416. 
8. Сиарле, Филипп Г. (1989). Введение в численную линейную алгебру и оптимизацию . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. п. 57. ИСБН 0521327881.
9. Фриз, Алан; Каннан, Рави (1 февраля 1999 г.). «Быстрое приближение к матрицам и приложениям». Комбинаторика . 19 (2): 175–220. дои : 10.1007/s004930050052. ISSN  1439-6912. S2CID  15231198.
10. Ловаш Ласло (2012). «Дистанция разреза». Большие сети и ограничения графов . Публикации коллоквиума AMS. Том. 60. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 127–131. ISBN 978-0-8218-9085-1. Обратите внимание, что Ловас масштабирует ‖ A ‖ _□ так, чтобы он лежал в [0, 1] .
11. Алон, Нога ; Наор, Ассаф (13 июня 2004 г.). «Аппроксимация нормы сокращения с помощью неравенства Гротендика». Материалы тридцать шестого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . СТОК '04. Чикаго, Иллинойс, США: Ассоциация вычислительной техники. стр. 72–80. дои : 10.1145/1007352.1007371. ISBN 978-1-58113-852-8. S2CID  1667427.
12. Голуб, Джин ; Чарльз Ф. Ван Лоан (1996). Матричные вычисления – третье издание. Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса, 56–57. ISBN 0-8018-5413-X . 
13. Роджер Хорн и Чарльз Джонсон. Матричный анализ, глава 5, издательство Кембриджского университета, 1985. ISBN 0-521-38632-2 . 

Библиография

• Джеймс В. Деммел , «Прикладная численная линейная алгебра», раздел 1.7, опубликовано SIAM, 1997.
• Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, опубликовано SIAM, 2000. [1]
• Джон Уотрус , Теория квантовой информации, 2.3 Нормы операторов, конспекты лекций, Университет Ватерлоо, 2011.
• Кендалл Аткинсон, Введение в численный анализ, опубликовано John Wiley & Sons, Inc, 1989 г.