Матрица Адамара типа Батсона

В математике комплексная матрица Адамара H размера N , все столбцы (строки) которой взаимно ортогональны , принадлежит типу Батсона H ( q ,  N ), если все ее элементы являются степенями корня q -й степени из единицы,

${\displaystyle (H_{jk})^{q}=1\quad {\text{for}}\quad j,k=1,2,\dots ,N.}$

Существование

Если p — простое число и , то может существовать только для с целым числом m и предполагается, что они существуют для всех таких случаев с . Для соответствующая гипотеза — существование для всех кратных 4. В общем случае проблема нахождения всех множеств, таких что существуют матрицы типа Батсона , остается открытой . ${\displaystyle N>1}$ ${\displaystyle H(p,N)}$ ${\displaystyle N=mp}$ ${\displaystyle p\geq 3}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \{q,N\}}$ ${\displaystyle H(q,N)}$

Примеры

• ${\displaystyle H(2,N)}$содержит действительные матрицы Адамара размера N ,
• ${\displaystyle H(4,N)}$содержит матрицы Адамара, состоящие из – такие матрицы Турин назвал комплексными матрицами Адамара. ${\displaystyle \pm 1,\pm i}$
• в пределе можно аппроксимировать все комплексные матрицы Адамара . ${\displaystyle q\to \infty }$
• Матрицы Фурье ${\displaystyle [F_{N}]_{jk}:=\exp[(2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\text{ for }}j,k=1,2,\dots ,N}$

принадлежат к типу Батсона,

${\displaystyle F_{N}\in H(N,N),}$

пока

${\displaystyle F_{N}\otimes F_{N}\in H(N,N^{2}),}$

${\displaystyle F_{N}\otimes F_{N}\otimes F_{N}\in H(N,N^{3}).}$

${\displaystyle D_{6}:={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&-1&i&-i&-i&i\\1&i&-1&i&-i&-i\\1&-i&i&-1&i&-i\\1&-i&-i&i&-1&i\\1&i&-i&-i&i&-1\\\end{bmatrix}}\in \,H(4,6)}$,

${\displaystyle S_{6}:={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&1&z&z&z^{2}&z^{2}\\1&z&1&z^{2}&z^{2}&z\\1&z&z^{2}&1&z&z^{2}\\1&z^{2}&z^{2}&z&1&z\\1&z^{2}&z&z^{2}&z&1\\\end{bmatrix}}\in \,H(3,6)}$

где ${\displaystyle z=\exp(2\pi i/3).}$

Ссылки

• AT Butson, Обобщенные матрицы Адамара, Proc. Am. Math. Soc. 13, 894-898 (1962).
• AT Butson, Отношения между обобщенными матрицами Адамара, относительными разностными множествами и линейными повторяющимися последовательностями максимальной длины, Can. J. Math. 15, 42-48 (1963).
• Р. Дж. Турин, Комплексные матрицы Адамара, стр. 435–437 в книге «Комбинаторные структуры и их приложения», Гордон и Брич, Лондон (1970).

Внешние ссылки

• Комплексные матрицы Адамара типа Батсона - каталог Войцеха Брузды, Войцеха Тадея и Кароля Жичковского, получено 24 октября 2006 г.