Матричное кольцо

В абстрактной алгебре кольцо матриц — это набор матриц с элементами в кольце R , образующих кольцо при сложении и умножении матриц . ^[1] Множество всех матриц размера n × n с элементами из R представляет собой кольцо матриц, обозначаемое M _n ( R ) ^[2]^[3]^[4]^[5] (альтернативные обозначения: Mat _n ( R ) ^[3] и R ^{n × n}^[6] ). Некоторые наборы бесконечных матриц образуют бесконечные матричные кольца . Подкольцо матричного кольца снова является матричным кольцом. По rng можно формировать матричные rng.

Когда R — коммутативное кольцо, кольцо матриц M _n ( R ) является ассоциативной алгеброй над R и может называться матричной алгеброй . В этом случае, если M — матрица, а r находится в R , то матрица rM — это матрица M , каждый из ее элементов которой умножен на r .

Примеры

Множество всех квадратных матриц размера n × n над R обозначается M _n ( R ). Иногда это называют «полным кольцом матриц размера n на n ».
Множество всех верхнетреугольных матриц над R .
Набор всех нижних треугольных матриц над R .
Набор всех диагональных матриц над R . Эта подалгебра в _Mn ( R ) изоморфна прямому произведению n копий R. _ _
Для любого набора индексов I кольцо эндоморфизмов правого R -модуля изоморфно кольцу ^[^{нужна ссылка}^] конечных матриц -столбцов , элементы которых индексируются I × I и каждый столбец которого содержит только конечное число ненулевых элементов. Кольцо эндоморфизмов M , рассматриваемое как левый R -модуль, изоморфно кольцу матриц , конечных по строкам . ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$ $\mathbb {CFM} _{I}(R)$ $\mathbb {RFM} _{I}(R)$
Если R — банахова алгебра , то условие конечности строки или столбца в предыдущем пункте можно ослабить. При наличии нормы вместо конечных сумм можно использовать абсолютно сходящиеся ряды . Например, матрицы, суммы столбцов которых представляют собой абсолютно сходящиеся последовательности, образуют кольцо. ^{[ сомнительно – обсудить ]} Аналогично, конечно, кольцо образуют и матрицы, суммы строк которых представляют собой абсолютно сходящиеся ряды. ^{[ сомнительно – обсудить ]} Эту идею можно использовать, например, для представления операторов в гильбертовых пространствах .
Пересечение колец матриц, конечных по строкам и столбцам, образует кольцо . $\mathbb {RCFM} _{I}(R)$
Если R коммутативен , то Mn ₍ R ) имеет структуру *-алгебры над R , где инволюция * на Mn ₍ R ) есть транспонирование матрицы .
Если A — C*-алгебра , то Mn ₍ A ) — другая C*-алгебра. Если A неединичен, то Mn ₍ A ) также неединичен. По теореме Гельфанда–Наймарка существуют гильбертово пространство H и изометрический *-изоморфизм из A в нормозамкнутую подалгебру алгебры B ( H ) непрерывных операторов; это отождествляет M _n ( A ) с подалгеброй B ( H ^{⊕ n} ). Для простоты, если мы далее предположим, что H сепарабельна и AB ( H ) — C *-алгебра с единицей, мы можем разбить A на кольцо матриц над меньшей C*-алгеброй. Это можно сделать, зафиксировав проекцию p и, следовательно, ее ортогональную проекцию 1 − p ; можно отождествить A с , где умножение матриц работает должным образом из-за ортогональности проекций. Чтобы отождествить A с кольцом матриц над C*-алгеброй, мы требуем, чтобы p и 1 − p имели одинаковый «ранг»; точнее, нам нужно, чтобы p и 1 − p были эквивалентны Мюррею–фон Нейману, т. е. существовала частичная изометрия u такая, что p = uu * и 1 − p = u * u . Это можно легко обобщить на матрицы большего размера. $\subseteq$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}}$
Комплексные матричные алгебры Mn ₍ C ) являются с точностью до изоморфизма единственными конечномерными простыми ассоциативными алгебрами над полем C комплексных чисел . До изобретения матричных алгебр Гамильтон в 1853 году ввел кольцо, элементы которого он назвал бикватернионами ^[7] , а современные авторы назвали бы тензорами в C ⊗ _R H , которое, как позже было показано, изоморфно M ₂ ( C ). Один базис M ₂ ( C ) состоит из четырех матричных блоков (матрицы с одним 1 и всеми остальными элементами 0); другой базис задается единичной матрицей и тремя матрицами Паули .
Кольцо матриц над полем — это алгебра Фробениуса с формой Фробениуса, заданной следом произведения: σ ( A , B ) = tr( AB ) .

Состав

Кольцо матриц Mn ₍ R ) можно отождествить с кольцом эндоморфизмов свободного правого R -модуля ранга n ; то есть M _n ( R ) ≅ End _R ( R ⁿ ) . Умножение матриц соответствует композиции эндоморфизмов.
Кольцо Mn ₍ D ) над телом D — артиново простое кольцо , особый тип полупростого кольца . Кольца и не являются простыми и не артиновыми, если множество I бесконечно, но они все же являются полными линейными кольцами . $\mathbb {CFM} _{I}(D)$ $\mathbb {RFM} _{I}(D)$
Теорема Артина-Веддерберна утверждает, что каждое полупростое кольцо изоморфно конечному прямому произведению для некоторого неотрицательного целого числа r , положительных целых чисел n _i и тел D _i . ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$
Когда мы рассматриваем Mn ₍ C ) как кольцо линейных эндоморфизмов Cn , те матрицы, которые обращаются в нуль в данном подпространстве V ^, образуют левый идеал . И наоборот, для данного левого идеала I в M _n ( C ) пересечение нулевых пространств всех матриц в I дает подпространство C ⁿ . Согласно этой конструкции левые идеалы M _n ( C ) находятся в биекции с подпространствами C ⁿ .
Существует биекция между двусторонними идеалами Mn ( R ) и двусторонними _{идеалами} R. А именно, для каждого идеала I из R множество всех матриц размера n × n с элементами в I является идеалом из M _n ( R ), и каждый идеал из M _n ( R ) возникает таким образом. Отсюда следует, что Mn ₍ R ) прост тогда и только тогда, когда R прост. При n ≥ 2 не каждый левый или правый идеал в Mn ₍ R ) возникает в соответствии с предыдущей конструкцией из левого или правого идеала в R. Например, набор матриц, чьи столбцы с индексами от 2 до n равны нулю, образует левый идеал в M _n ( R ).
Предыдущее идеальное соответствие на самом деле возникает из-за того, что кольца R и Mn ₍ R ) Морита -эквивалентны . Грубо говоря, это означает, что категория левых R -модулей и категория левых Mn ₍ R ) -модулей очень похожи. Благодаря этому существует естественное биективное соответствие между классами изоморфизма левых R -модулей и левыми Mn ₍ R ) -модулями, а также между классами изоморфизма левых идеалов R и левых идеалов Mn ₍ R ) . Идентичные утверждения справедливы для правых модулей и правых идеалов. Благодаря эквивалентности Морита, Mn ₍ R ) наследует любые Морита-инвариантные свойства R , такие как простота , артиновость , нётеровость , простота .

Характеристики

Если S — подкольцо R , то Mn ( _S ) — подкольцо Mn ₍ R ) . Например, M _n ( Z ) является подкольцом M _n ( Q ).
Кольцо матриц Mn ₍ R ) коммутативно тогда и только тогда, когда n = 0 , R = 0 или R коммутативно и n = 1 . Фактически это справедливо и для подкольца верхнетреугольных матриц. Вот пример, показывающий две верхние треугольные матрицы 2 × 2 , которые не коммутируют, предполагая, что 1 ≠ 0 в R :
${\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix }}$
и
${\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix }}.$
При n ≥ 2 кольцо матриц Mn ₍ R ) над ненулевым кольцом имеет делители нуля и нильпотентные элементы ; то же самое справедливо и для кольца верхнетреугольных матриц. Примером в матрицах 2 × 2 может быть:
${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix }}.$
Центр Mn ₍ R ) состоит из скалярных кратных единичной матрицы In , в _{которой} скаляр принадлежит центру R.
Единичная группа M _n ( R ), состоящая из обратимых при умножении матриц, обозначается GL _n ( R ).
Если F — поле, то для любых двух матриц _A и B из Mn ₍ F ) _из равенства AB = In следует BA = In . Однако это верно не для каждого кольца R. Кольцо R , все матричные кольца которого обладают указанным свойством, известно как стабильно конечное кольцо (Lam 1999, стр. 5).

Матричное полукольцо

Фактически, чтобы Mn ₍ R ) было определено, R должно быть всего лишь полукольцом . В этом случае Mn ₍ R ) представляет собой полукольцо, называемое матричным полукольцом . Аналогично, если R — коммутативное полукольцо, то Mn ₍ R ) —матричная полуалгебра .

Например, если R — булево полукольцо ( двухэлементная булева алгебра R = {0, 1} с 1 + 1 = 1 ), ^[8] то M _n ( R ) — полукольцо бинарных отношений на n - Набор элементов с объединением в качестве сложения, композицией отношений в качестве умножения, пустым отношением ( нулевой матрицей ) в качестве нуля и тождественным отношением ( тождественной матрицей ) в качестве единицы . ^[9]

Смотрите также

Цитаты

^ Лам (1999), Теорема 3.1.
^ Лам (2001).
^ аб Ланг (2005), т. §3
^ Серр (2006), с. 3
^ Серр (1979), с. 158
^ Артин (2018), пример 3.3.6 (а)
^ Лекция VII сэра Уильяма Роуэна Гамильтона (1853 г.) Лекции по кватернионам , Ходжесу и Смиту
^ Дросте и Куич (2009), с. 7
^ Дросте и Куич (2009), с. 8