В математике (и особенно в комбинаторике ) главный индекс перестановки — это сумма позиций спусков перестановки . В символах главный индекс перестановки w равен
Например, если w задано в однострочной записи как w = 351624 (то есть w является перестановкой {1, 2, 3, 4, 5, 6}, такой что w (1) = 3, w (2) = 5 и т. д.), то w имеет спуски в позициях 2 (с 5 на 1) и 4 (с 6 на 2), и поэтому maj( w ) = 2 + 4 = 6.
Эта статистика названа в честь майора Перси Александра Макмахона , который в 1913 году показал, что распределение главного индекса по всем перестановкам фиксированной длины совпадает с распределением инверсий . То есть число перестановок длины n с k инверсиями совпадает с числом перестановок длины n с главным индексом, равным k . (Эти числа известны как числа Махона , также в честь Макмахона. [1] ) На самом деле, верен более сильный результат: число перестановок длины n с главным индексом k и i инверсиями совпадает с числом перестановок длины n с главным индексом i и k инверсиями, то есть эти две статистики равномерно распределены. Например, число перестановок длины 4 с заданным главным индексом и числом инверсий приведено в таблице ниже.
