stringtranslate.com

Машина для резки

В геометрической теории групп машина Рипса — это метод изучения действия групп на R -деревьях . Она была введена в неопубликованной работе Элияху Рипса примерно в 1991 году.

R - дерево — это уникально связное метрическое пространство , в котором каждая дуга изометрична некоторому действительному интервалу. Рипс доказал гипотезу Моргана и Шалена [1] о том, что любая конечно порожденная группа, действующая свободно на R -дереве, является свободным произведением свободных абелевых и поверхностных групп. [2]

Действия поверхностных групп на R-деревьях

Согласно теории Басса–Серра , группа, действующая свободно на симплициальном дереве, является свободной. Это больше не верно для R -деревьев, поскольку Морган и Шален показали, что фундаментальные группы поверхностей эйлеровой характеристики, меньшей −1, также действуют свободно на R -деревьях. [1] Они доказали, что фундаментальная группа связной замкнутой поверхности S действует свободно на R-дереве тогда и только тогда, когда S не является одной из 3 неориентируемых поверхностей эйлеровой характеристики ≥−1.

Приложения

Машина Рипса назначает стабильному изометрическому действию конечно порожденной группы G определенное приближение "нормальной формы" этого действия стабильным действием G на симплициальном дереве и, следовательно, расщепление G в смысле теории Басса–Серра. Групповые действия на реальных деревьях естественным образом возникают в нескольких контекстах геометрической топологии : например, как граничные точки пространства Тейхмюллера [3] (каждая точка на границе Терстона пространства Тейхмюллера представлена ​​измеренным геодезическим ламинированием на поверхности; это ламинирование поднимается до универсального покрытия поверхности, и естественно дуальным объектом к этому поднятию является -дерево, наделенное изометрическим действием фундаментальной группы поверхности), как пределы Громова-Хаусдорфа , соответствующим образом перемасштабированных, действий группы Клейна , [4] [5] и так далее. Использование техники -деревьев обеспечивает существенные сокращения в современных доказательствах теоремы Терстона о гиперболизации для 3-многообразий Хакена . [5] [6] Аналогично, -деревья играют ключевую роль в изучении внешнего пространства Каллера - Фогтмана [7] [8] , а также в других областях геометрической теории групп ; например, асимптотические конусы групп часто имеют древовидную структуру и приводят к групповым действиям на действительных деревьях . [9] [10] Использование -деревьев, вместе с теорией Басса–Серра, является ключевым инструментом в работе Селы по решению проблемы изоморфизма для (без кручения) гиперболических групп , версии Селы теории JSJ-разложения и работы Селы по гипотезе Тарского для свободных групп и теории предельных групп. [11] [12]

Ссылки

  1. ^ ab Морган, Джон В.; Шален, Питер Б. (1991), "Свободные действия поверхностных групп на R -деревьях", Топология , 30 (2): 143–154, doi : 10.1016/0040-9383(91)90002-L , ISSN  0040-9383, MR  1098910
  2. ^ Бествина, Младен; Фейн, Марк (1995), «Стабильные действия групп на реальных деревьях», Inventiones Mathematicae , 121 (2): 287–321, doi : 10.1007/BF01884300 , ISSN  0020-9910, MR  1346208, S2CID  122048815
  3. ^ Скора, Ричард (1990), «Разбиение поверхностей», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 23 (1): 85–90, doi : 10.1090/S0273-0979-1990-15907-5
  4. ^ Бествина, Младен (1988), «Вырождения гиперболического пространства», Duke Mathematical Journal , 56 (1): 143–161, doi :10.1215/S0012-7094-88-05607-4
  5. ^ ab Капович, Майкл (2001), Гиперболические многообразия и дискретные группы , Progress in Mathematics, т. 183, Birkhäuser, Бостон, Массачусетс, doi : 10.1007/978-0-8176-4913-5 , ISBN 0-8176-3904-7
  6. ^ Отал, Жан-Пьер (2001), Теорема гиперболизации для расслоенных 3-многообразий , SMF/AMS Тексты и монографии, т. 7, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд и Société Mathématique de France, Париж, ISBN 0-8218-2153-9
  7. ^ Коэн, Маршалл; Люстиг, Мартин (1995), «Действия очень малых групп на -деревьях и автоморфизмы скручивания Дена», Топология , 34 (3): 575–617, doi : 10.1016/0040-9383(94)00038-M
  8. ^ Левитт, Гилберт; Люстиг, Мартин (2003), «Неприводимые автоморфизмы F n имеют динамику север-юг в компактифицированном космическом пространстве», Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu , 2 (1): 59–72, doi : 10.1017/S1474748003000033, S2CID  120675231
  9. ^ Druţu, Cornelia ; Sapir, Mark (2005), "Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups (With an appix by Denis Osin and Mark Sapir.)", Topology , 44 (5): 959–1058, arXiv : math/0405030 , doi : 10.1016/j.top.2005.03.003
  10. ^ Друцу, Корнелия ; Сапир, Марк (2008), «Группы, действующие на древовидных пространствах и расщепления относительно гиперболических групп», Advances in Mathematics , 217 (3): 1313–1367, doi : 10.1016/j.aim.2007.08.012
  11. ^ Sela, Zlil (2002), «Диофантова геометрия над группами и элементарная теория свободных и гиперболических групп», Труды Международного конгресса математиков , т. II, Пекин: Higher Education Press, Пекин, стр. 87–92, ISBN 7-04-008690-5
  12. ^ Села, Злил (2001), «Диофантова геометрия над группами. Диаграммы И. Маканина-Разборова», Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 93 : 31–105, doi : 10.1007/s10240-001-8188-y

Дальнейшее чтение