Менехм ( греч . Μέναιχμος , 380–320 до н. э.) был древнегреческим математиком , геометром и философом [1], родившимся в Алопеконнесе или Проконнесе во фракийском Херсонесе , который был известен своей дружбой с известным философом Платоном и очевидным открытием конические сечения и его решение давней на тот момент проблемы удвоения куба с помощью параболы и гиперболы .
Менехм запомнился математикам открытием конических сечений и решением проблемы удвоения куба. [2] Менехм, вероятно, открыл конические сечения, то есть эллипс , параболу и гиперболу , как побочный продукт своих поисков решения делосской проблемы . [3] Менехм знал, что в параболе y 2 = L x, где L — константа, называемая широкой прямой кишкой , хотя ему не был известен тот факт, что любое уравнение с двумя неизвестными определяет кривую. [4] Он, по-видимому, вывел эти свойства конических сечений и других. Используя эту информацию, теперь стало возможным найти решение проблемы дублирования куба путем определения точек пересечения двух парабол, что эквивалентно решению кубического уравнения. [4]
Прямых источников работ Менехма мало; его работа над коническими сечениями известна прежде всего из эпиграммы Эратосфена , а достижение его брата (по разработке метода создания квадрата, равного по площади данному кругу, с помощью квадратрисы ) , Динострата , известно исключительно из сочинений Прокл . Прокл также упоминает, что Менехма обучал Евдокс . Есть любопытное заявление Плутарха о том, что Платон не одобрял того, что Менехм достиг решения двойного куба с помощью механических устройств; известное в настоящее время доказательство представляется чисто алгебраическим.
Говорят, что Менехм был наставником Александра Великого ; это убеждение происходит из следующего анекдота: якобы однажды, когда Александр спросил его о кратчайшем пути к пониманию геометрии, он ответил: «О царь, для путешествия по стране есть царская дорога и дороги для простых граждан, но в геометрии есть одна дорога для всех». (Бекманн, История Пи , 1989, стр. 34). Однако эта цитата впервые засвидетельствована Стобеем около 500 г. н. э., поэтому неизвестно, действительно ли Менехм учил Александра.
Где именно он умер, также неизвестно, хотя современные ученые полагают, что в конечном итоге он скончался в Кизике .
Евтоций и Прокл приписывают открытие конических сечений Менехму, который жил в Афинах в конце четвертого века до нашей эры. Прокл, цитируя Эратосфена, ссылается на «триады конических сечений Менехма». Поскольку эта цитата приведена сразу после обсуждения «сечения прямоугольного конуса» и «сечения остроугольного конуса», предполагается, что конические сечения были получены путем разрезания конуса плоскостью, перпендикулярной одной из его элементов. Тогда, если угол при вершине конуса острый, полученное сечение (называемое окситомом ) представляет собой эллипс. Если угол прямой, то сечение ( ортотома ) — парабола, а если угол тупой, то сечение ( амблитома ) — гипербола (см. рис. 5.7).
Следовательно, для Менехма было выдающимся достижением, когда он обнаружил, что кривые, обладающие желаемыми свойствами, находятся под рукой. Фактически существовало семейство соответствующих кривых, полученных из одного источника — разрезания прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной элементу конуса. То есть считается, что Менехм открыл кривые, которые позже были известны как эллипс, парабола и гипербола. [...] Тем не менее, первое открытие эллипса, похоже, было сделано Менехмом как простой побочный продукт в поисках, в которых именно парабола и гипербола обладали свойствами, необходимыми для решения делосской проблемы.
Если OP=y и OD = x — координаты точки P, то y 2 = R).OV или, при подстановке равных, y 2 = R'D.OV = AR'.BC/AB.DO.BC/ AB = AR'.BC 2 /AB 2 . Поскольку отрезки AR', BC и AB одинаковы для всех точек P на кривой EQDPG, мы можем написать уравнение кривой, «отрезка правой -угловой конус», как y 2 =lx, где l — константа, позже известная как широкая прямая кишка кривой. [...] Менехм, по-видимому, заимствовал эти свойства и у конических сечений, и у других. Поскольку этот материал очень похож на использование координат, как показано выше, иногда утверждается, что Менехм обладал аналитической геометрией. Такое суждение оправдано лишь частично, поскольку Менехм, конечно, не знал, что любое уравнение с двумя неизвестными величинами определяет кривую. Фактически, общее понятие уравнения в неизвестных величинах было чуждо греческой мысли. [...] Он наткнулся на коники в успешном поиске кривых со свойствами, подходящими для дублирования куба. В современных обозначениях решение легко достигается. Смещая плоскость разреза (рис. 6.2), мы можем найти параболу при любой широкой прямой кишке. Если же мы хотим дублировать куб с ребром а, то располагаем на прямоугольном конусе две параболы: одну с широкой прямой кишкой а , другую с широкой прямой кишкой 2а . [...] Вероятно, Менехм знал, что дублирование может быть достигнуто также с помощью прямоугольной гиперболы и параболы.