Менехм ( греч . Μέναιχμος , ок. 380 — ок. 320 до н. э.) — древнегреческий математик , геометр и философ [1], родившийся в Алопеконнесе или Проконнесе в Херсонесе Фракийском , который был известен своей дружбой с известным философом Платоном и своим кажущимся открытием конических сечений и решением давней на тот момент задачи удвоения куба с помощью параболы и гиперболы .
Менехм запомнился математикам своим открытием конических сечений и решением задачи удвоения куба. [2] Менехм, вероятно, открыл конические сечения, то есть эллипс , параболу и гиперболу , как побочный продукт своих поисков решения Делосской проблемы . [3] Менехм знал, что в параболе y 2 = L x, где L — константа, называемая latus rectum , хотя он не знал о том факте, что любое уравнение с двумя неизвестными определяет кривую. [4] Он, по-видимому, вывел эти свойства конических сечений и другие. Используя эту информацию, теперь стало возможным найти решение задачи удвоения куба , решив для точек, в которых пересекаются две параболы, решение, эквивалентное решению кубического уравнения. [4]
В современных обозначениях пусть будет гиперболой, а будет параболой, тогда их пересечения являются решениями . Теперь положим . [5]
Прямых источников по работе Менехма немного; его работа по коническим сечениям известна в основном из эпиграммы Эратосфена , а достижение его брата (разработка метода создания квадрата, равного по площади заданному кругу, с использованием квадратрисы ), Динострата , известно исключительно из трудов Прокла . Прокл также упоминает, что Менехм обучался у Евдокса . Существует любопытное утверждение Плутарха о том, что Платон не одобрял достижения Менехмом своего решения удвоенного куба с использованием механических устройств; доказательство, известное в настоящее время, по-видимому, является чисто алгебраическим.
Говорят, что Менехм был наставником Александра Македонского ; это убеждение вытекает из следующего анекдота: якобы однажды, когда Александр спросил его о кратчайшем пути к пониманию геометрии, он ответил: «О царь, для путешествий по стране есть королевские дороги и дороги для простых граждан, но в геометрии есть одна дорога для всех». [6] Однако эта цитата впервые засвидетельствована Стобеем около 500 г. н. э., поэтому неизвестно, действительно ли Менехм обучал Александра.
Точное место его смерти также неизвестно, хотя современные ученые полагают, что в конечном итоге он скончался в Кизике .
Евтокий и Прокл оба приписывают открытие конических сечений Менехму, который жил в Афинах в конце четвертого века до н. э. Прокл, цитируя Эратосфена, ссылается на «триады конических сечений Менехма». Поскольку эта цитата следует сразу после обсуждения «сечения прямоугольного конуса» и «сечения остроугольного конуса», делается вывод, что конические сечения были получены путем разрезания конуса плоскостью, перпендикулярной одному из его элементов. Тогда, если угол при вершине конуса острый, полученное сечение (называемое окситомом ) является эллипсом. Если угол прямой, сечение ( ортотом ) является параболой, а если угол тупой, сечение ( амблитом ) является гиперболой (см. рис. 5.7).
Следовательно, это было выдающимся достижением со стороны Менехма, когда он открыл, что кривые, обладающие желаемым свойством, были под рукой. Фактически, существовало семейство соответствующих кривых, полученных из одного источника - сечения прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной элементу конуса. То есть, Менехм, как полагают, открыл кривые, которые позже стали известны как эллипс, парабола и гипербола. [...] Тем не менее, первое открытие эллипса, по-видимому, было сделано Менехмом как просто побочный продукт в поисках, в которых именно парабола и гипербола предлагали свойства, необходимые для решения Делосской проблемы.
Если OP=y и OD = x — координаты точки P, то имеем y 2 = R).OV, или, подставив равенства, y 2 = R'D.OV = AR'.BC/AB.DO.BC/AB = AR'.BC 2 /AB 2 . Поскольку отрезки AR', BC и AB одинаковы для всех точек P на кривой EQDPG, мы можем записать уравнение кривой, «сечение прямоугольного конуса», как y 2 =lx, где l — константа, позже известная как latus rectum кривой. [...] Менехм, по-видимому, вывел эти свойства конических сечений и другие. Поскольку этот материал имеет сильное сходство с использованием координат, как показано выше, иногда утверждалось, что Менехм имел аналитическую геометрию. Такое суждение оправдано лишь отчасти, поскольку Менехм, несомненно, не знал, что любое уравнение с двумя неизвестными величинами определяет кривую. Фактически, общая концепция уравнения с неизвестными величинами была чужда греческой мысли. [...] Он натолкнулся на коники в успешном поиске кривых со свойствами, подходящими для удвоения куба. В терминах современных обозначений решение легко достигается. Сдвинув секущую плоскость (рис. 6.2), мы можем найти параболу с любым latus rectum. Если же мы хотим удвоить куб с ребром a, мы располагаем на прямоугольном конусе две параболы, одну с latus rectum a , а другую с latus rectum 2 a . [...] Вероятно, Менехм знал, что удвоение может быть достигнуто также с помощью прямоугольной гиперболы и параболы.
