Измерение расстояния

Определения расстояния между двумя объектами или событиями во Вселенной

Меры расстояния используются в физической космологии , чтобы дать естественное представление о расстоянии между двумя объектами или событиями во Вселенной . Их часто используют для привязки некоторой наблюдаемой величины (например, светимости далекого квазара , красного смещения далекой галактики или углового размера акустических пиков в спектре мощности космического микроволнового фона (CMB)) с другой величиной, которая не наблюдаем непосредственно , но более удобен для вычислений (например, сопутствующие координаты квазара, галактики и т. д.). Все обсуждаемые здесь меры расстояния сводятся к общему понятию евклидова расстояния при низком красном смещении.

В соответствии с нашим нынешним пониманием космологии, эти меры рассчитываются в контексте общей теории относительности , где для описания Вселенной используется решение Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера .

Обзор

В космологии существует несколько различных определений «расстояния», которые асимптотичны друг другу для небольших красных смещений . Выражения для этих расстояний наиболее практичны, когда они записаны как функции красного смещения , поскольку красное смещение всегда является наблюдаемым. Их также можно записать как функции масштабного коэффициента. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a=1/(1+z).}$

В оставшейся части статьи пекулярная скорость предполагается пренебрежимо малой, если не указано иное.

Сначала мы приведем формулы для нескольких мер расстояния, а затем опишем их более подробно ниже. Определение «расстояния Хаббла» как

$${\displaystyle d_{H}={\frac {c}{H_{0}}}\approx 3000h^{-1}{\text{Mpc}}\approx 9.26\cdot 10^{25}h^{-1}{\text{m}}}$$

скорость светаhбезразмерная постоянная Хабблаz ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle z\cdot d_{H}}$

Согласно уравнениям Фридмана , мы также определяем безразмерный параметр Хаббла : ^[1]

$${\displaystyle E(z)={\frac {H(z)}{H_{0}}}={\sqrt {\Omega _{r}(1+z)^{4}+\Omega _{m}(1+z)^{3}+\Omega _{k}(1+z)^{2}+\Omega _{\Lambda }}}}$$

Здесь и являются нормализованными значениями текущей плотности энергии излучения, плотности материи и « плотности темной энергии » соответственно (последняя представляет собой космологическую постоянную ) и определяет кривизну. Тогда параметр Хаббла при данном красном смещении равен . ${\displaystyle \Omega _{r},\Omega _{m},}$ ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$ ${\displaystyle \Omega _{k}=1-\Omega _{r}-\Omega _{m}-\Omega _{\Lambda }}$ ${\displaystyle H(z)=H_{0}E(z)}$

Формула сопутствующего расстояния, которая служит основой для большинства других формул, включает в себя интеграл . Хотя для некоторого ограниченного выбора параметров (см. ниже) интеграл сопутствующего расстояния имеет замкнутую аналитическую форму, в целом — и конкретно для параметров нашей Вселенной — мы можем найти решение только численно . Космологи обычно используют следующие меры для определения расстояний от наблюдателя до объекта с красным смещением вдоль луча зрения (LOS): ^[2] ${\displaystyle z}$

• Сопутствующее расстояние:
  $${\displaystyle d_{C}(z)=d_{H}\int _{0}^{z}{\frac {dz'}{E(z')}}}$$
• Поперечное встречное расстояние:
  $${\displaystyle d_{M}(z)={\begin{cases}{\frac {d_{H}}{\sqrt {\Omega _{k}}}}\sinh \left({\frac {{\sqrt {\Omega _{k}}}d_{C}(z)}{d_{H}}}\right)&\Omega _{k}>0\\d_{C}(z)&\Omega _{k}=0\\{\frac {d_{H}}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}}\sin \left({\frac {{\sqrt {|\Omega _{k}|}}d_{C}(z)}{d_{H}}}\right)&\Omega _{k}<0\end{cases}}}$$
• Расстояние углового диаметра:
  $${\displaystyle d_{A}(z)={\frac {d_{M}(z)}{1+z}}}$$
• Расстояние освещенности:
  $${\displaystyle d_{L}(z)=(1+z)d_{M}(z)}$$
• Расстояние светового путешествия:
  $${\displaystyle d_{T}(z)=d_{H}\int _{0}^{z}{\frac {dz'}{(1+z')E(z')}}}$$

Сравнение мер космологического расстояния от нулевого красного смещения до красного смещения 0,5. Фоновой космологией является параметр Хаббла 72 км/с/Мпк, , , , и выбранный так, чтобы сумма параметров Омеги была равна 1. Эдвин Хаббл использовал галактики до красного смещения чуть более 0,003 ( Мессье 60 ). ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0.732}$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {matter}}=0.266}$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {radiation}}=0.266/3454}$ ${\displaystyle \Omega _{k}}$

Сравнение мер космологического расстояния от нулевого красного смещения до красного смещения 10 000, что соответствует эпохе равенства материи и излучения. Фоновой космологией является параметр Хаббла 72 км/с/Мпк, , , , и выбранный так, чтобы сумма параметров Омеги была равна единице. ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0.732}$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {matter}}=0.266}$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {radiation}}=0.266/3454}$ ${\displaystyle \Omega _{k}}$

Альтернативная терминология

Пиблс называет поперечное сопутствующее расстояние «расстоянием углового размера», которое не следует путать с расстоянием углового диаметра. ^[1] Иногда символы или используются для обозначения как сопутствующего, так и углового диаметра. Иногда расстояние прохождения света также называют «расстоянием обратного обзора» и/или «временем обратного обзора». ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle r}$

Подробности

Своеобразная скорость

В реальных наблюдениях на наблюдаемое красное смещение влияет движение Земли относительно потока Хаббла . ^{[ нужна цитата ]}

На самом деле существует два понятия красного смещения. Одним из них является красное смещение, которое наблюдалось бы, если бы и Земля, и объект не двигались относительно «движущегося» окружения ( поток Хаббла ), определяемого космическим микроволновым фоном. Другой — это фактическое измеренное красное смещение, которое зависит как от пекулярной скорости наблюдаемого объекта, так и от его пекулярной скорости. Поскольку Солнечная система движется со скоростью около 370 км/с в направлении между Львом и Кратером , эта скорость уменьшается для удаленных объектов в этом направлении примерно в 1,0012 раза и увеличивается в такой же раз для удаленных объектов в противоположном направлении. ^{( Скорость} движения Земли вокруг Солнца всего 30 км/с ^{. )} ${\displaystyle 1+z}$

Сопутствующее расстояние

Сопутствующее расстояние между фундаментальными наблюдателями, то есть наблюдателями, которые оба движутся вместе с потоком Хаббла , не меняется со временем, поскольку сопутствующее расстояние объясняет расширение Вселенной. Сопутствующее расстояние получается путем интегрирования правильных расстояний до ближайших фундаментальных наблюдателей вдоль луча зрения ( LOS ), тогда как правильное расстояние — это то, что даст измерение в постоянное космическое время. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle d_{C}}$

В стандартной космологии сопутствующее расстояние и собственное расстояние — это две тесно связанные меры расстояния, используемые космологами для измерения расстояний между объектами; Сопутствующее расстояние — это правильное расстояние в данный момент. ^{[ нужна цитата ]}

Сопутствующее расстояние (с небольшой поправкой на наше собственное движение) — это расстояние, которое можно было бы получить из параллакса, поскольку параллакс в градусах равен отношению астрономической единицы к длине окружности, проходящей в настоящее время через Солнце и по центру удаленного объекта, умноженный на 360°. Однако объекты, размер которых превышает мегапарсек, имеют параллакс слишком мал, чтобы его можно было измерить ( космический телескоп Gaia измеряет параллакс ярчайших звезд с точностью до 7 микросекунд дуги), поэтому параллакс галактик за пределами нашей Местной группы слишком мал, чтобы его можно было измерить.

Существует выражение в замкнутой форме для интеграла в определении сопутствующего расстояния if или путем замены масштабного коэффициента на , if . Наша Вселенная теперь, похоже, тесно представлена. В этом случае мы имеем: ${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{m}=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1/(1+z)}$ ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0}$ ${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{k}=0.}$

$${\displaystyle d_{C}(z)=d_{H}\Omega _{m}^{-1/3}\Omega _{\Lambda }^{-1/6}[f((1+z)(\Omega _{m}/\Omega _{\Lambda })^{1/3})-f((\Omega _{m}/\Omega _{\Lambda })^{1/3})]}$$

$${\displaystyle f(x)\equiv \int _{0}^{x}{\frac {dx}{\sqrt {x^{3}+1}}}}$$

Сопутствующее расстояние следует рассчитывать, используя значение z , которое имело бы место, если бы ни объект, ни мы не имели своеобразной скорости.

Вместе с масштабным коэффициентом это дает правильное расстояние в данный момент:

$${\displaystyle d=ad_{C}}$$

Правильное расстояние

Правильное расстояние примерно соответствует тому, где удаленный объект будет находиться в определенный момент космологического времени , который может меняться со временем из-за расширения Вселенной . Сопутствующее расстояние учитывает расширение Вселенной, что дает расстояние, которое не меняется во времени из-за расширения пространства (хотя оно может измениться из-за других, локальных факторов, таких как движение галактики внутри скопления); Сопутствующее расстояние — это правильное расстояние в данный момент. ^{[ нужна цитата ]}

Поперечное встречное расстояние

Говорят , что два сопутствующих объекта с постоянным красным смещением , разделенные углом на небе, имеют расстояние , где поперечное сопутствующее расстояние определяется соответствующим образом. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \delta \theta }$ ${\displaystyle \delta \theta d_{M}(z)}$ ${\displaystyle d_{M}}$

Расстояние углового диаметра

Объект размером с красным смещением , который кажется угловым, имеет расстояние по угловому диаметру . Это обычно используется для наблюдения за так называемыми стандартными линейками , например, в контексте барионных акустических колебаний . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \delta \theta }$ ${\displaystyle d_{A}(z)=x/\delta \theta }$

При учете пекулярной скорости Земли следует использовать красное смещение, которое имело бы место в этом случае, но с поправкой на движение Солнечной системы с коэффициентом от 0,99867 до 1,00133, в зависимости от направления. (Если начать двигаться со скоростью v к объекту на любом расстоянии, угловой диаметр этого объекта уменьшится в .) ${\displaystyle d_{A}}$ ${\textstyle {\sqrt {(1+v/c)/(1-v/c)}}.}$

Расстояние освещенности

Если известна собственная светимость удаленного объекта, мы можем вычислить расстояние его светимости, измерив поток и определив , что оказывается эквивалентным приведенному выше выражению для . Эта величина важна для измерения стандартных свечей, таких как сверхновые типа Ia , которые впервые были использованы для открытия ускорения расширения Вселенной . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle d_{L}(z)={\sqrt {L/4\pi S}}}$ ${\displaystyle d_{L}(z)}$

При учете пекулярной скорости Земли следует использовать красное смещение, которое имело бы место в этом случае, но в качестве фактора следует использовать измеренное красное смещение, а еще одну поправку следует внести в пекулярную скорость объекта путем умножения на то, где теперь v — это составляющая пекулярной скорости объекта вдали от нас. Таким образом, расстояние светимости будет равно расстоянию углового диаметра, умноженному на где z — измеренное красное смещение, в соответствии с теоремой взаимности Этерингтона (см. ниже). ${\displaystyle d_{M},}$ ${\displaystyle (1+z)}$ ${\textstyle {\sqrt {(1+v/c)/(1-v/c)}},}$ ${\displaystyle (1+z)^{2},}$

Расстояние светового путешествия

(также известное как «время обратного просмотра» или «расстояние обратного просмотра») ^[3]

Это расстояние равно времени, за которое свет достиг наблюдателя от объекта, умноженному на скорость света . Например, радиус наблюдаемой Вселенной в этой мере расстояния равен возрасту Вселенной, умноженному на скорость света (1 световой год/год), что оказывается примерно 13,8 миллиарда световых лет. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle d_{T}}$

Существует решение в замкнутой форме расстояния прохождения света, если используются обратные гиперболические функции или (или используются обратные тригонометрические функции, если космологическая постоянная имеет другой знак). Если тогда существует решение в замкнутой форме для, но не для ${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{m}=0}$ ${\displaystyle {\text{arcosh}}}$ ${\displaystyle {\text{arsinh}}}$ ${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{\Lambda }=0}$ ${\displaystyle d_{T}(z)}$ ${\displaystyle z(d_{T}).}$

Обратите внимание, что сопутствующее расстояние восстанавливается из поперечного сопутствующего расстояния путем принятия предела , так что две меры расстояния эквивалентны в плоской вселенной . ${\displaystyle \Omega _{k}\to 0}$

Существуют веб-сайты для расчета расстояния прохождения света по красному смещению. ^{[4] [5] [6] [7]}

Тогда возраст Вселенной станет , а время, прошедшее с момента красного смещения до настоящего момента, составит: ${\displaystyle \lim _{z\to \infty }d_{T}(z)/c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t(z)=d_{T}(z)/c.}$

Дистанционная двойственность Этерингтона

Уравнение двойственности расстояния Этерингтона ^[8] представляет собой зависимость между расстоянием светимости стандартных свечей и расстоянием углового диаметра. Это выражается следующим образом: ${\displaystyle d_{L}=(1+z)^{2}d_{A}}$

Смотрите также

• Космический портал

• Большой взрыв
• Сопутствующие и правильные расстояния
• Уравнения Фридмана
• Парсек
• Физическая космология
• Лестница космических расстояний
• Метрика Фридмана – Леметра – Робертсона – Уокера
• Субатомный масштаб

Рекомендации

1. Пиблс, PJE (1993). Принципы физической космологии . Издательство Принстонского университета . стр. 310–320. Бибкод : 1993ppc..книга.....П. ISBN 978-0-691-01933-8.
2. Дэвид В. Хогг (2000). «Дистанционные меры в космологии». arXiv : astro-ph/9905116v4 .
3. Персонал (2022). «Космологический калькулятор». Международный центр радиоастрономических исследований . Проверено 4 августа 2022 г.
4. Персонал (2015). «Космологический калькулятор Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе». Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе . Проверено 6 августа 2022 г.Расстояние прохождения света было рассчитано на основе значения красного смещения с использованием Космологического калькулятора Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе со значениями параметров по состоянию на 2015 год: H ₀ = 67,74 и Omega _M = 0,3089 (см. Таблицу / Planck2015 в разделе « Модель Lambda-CDM # Параметры ») .
5. Персонал (2018). «Космологический калькулятор Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе». Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе . Проверено 6 августа 2022 г.Расстояние прохождения света было рассчитано на основе значения красного смещения с использованием Космологического калькулятора Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе со значениями параметров по состоянию на 2018 год: H ₀ = 67,4 и Omega _M = 0,315 (см. Таблицу / Planck2018 в разделе « Модель Lambda-CDM # Параметры ») .
6. Персонал (2022). «Космологический калькулятор ICRAR». Международный центр радиоастрономических исследований . Проверено 6 августа 2022 г.Космологический калькулятор ICRAR — установите H ₀ = 67,4 и Omega _M = 0,315 (см. Таблицу / Planck2018 в разделе « Модель Lambda-CDM # Параметры »).
7. Кемпнер, Джошуа (2022). «Космологический калькулятор КЕМПНЕР». Кемпнер.нет . Проверено 6 августа 2022 г.Космологический калькулятор KEMP — установите H ₀ = 67,4, Omega _M = 0,315 и Omega _Λ = 0,6847 (см. Таблицу / Planck2018 в разделе « Модель Lambda-CDM # Параметры »).
8. IMH Этерингтон, «LX. Об определении расстояния в общей теории относительности», Философский журнал, Vol. 15, С. 7 (1933), стр. 761-773.

• Скотт Додельсон, Современная космология. Академическое издательство (2003).

Внешние ссылки

• «Шкала расстояний Вселенной» сравнивает различные космологические меры расстояний.
• «Меры расстояний в космологии» подробно объясняет, как рассчитать различные меры расстояний в зависимости от модели мира и красного смещения.
• iCosmos: космологический калькулятор (с генерацией графиков) вычисляет различные меры расстояния в зависимости от космологической модели и красного смещения и создает графики для модели от красного смещения от 0 до 20.