Метод фонового поля

Техника квантовой теории поля

В теоретической физике метод фонового поля является полезной процедурой для расчета эффективного действия квантовой теории поля путем расширения квантового поля вокруг классического «фонового» значения B :

${\displaystyle \phi (x)=B(x)+\eta (x)}$.

После этого функции Грина оцениваются как функция фона. Этот подход имеет то преимущество, что калибровочная инвариантность явно сохраняется, если подход применяется к калибровочной теории .

Метод

Обычно мы хотим вычислить такие выражения, как

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\phi (x)]+J(x)\phi (x))\right)}$

где J ( x ) — источник, — плотность лагранжиана системы, d — число измерений, — поле. ${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

В методе фонового поля это поле сначала разделяется на классическое фоновое поле B ( x ) и поле η( x ), содержащее дополнительные квантовые флуктуации:

${\displaystyle \phi (x)=B(x)+\eta (x)\,.}$

Обычно B ( x ) будет решением классических уравнений движения

${\displaystyle \left.{\frac {\delta S}{\delta \phi }}\right|_{\phi =B}=0}$

где S — действие, т.е. пространственный интеграл плотности Лагранжа. Включение источника J ( x ) изменит уравнения на

${\displaystyle \left.{\frac {\delta S}{\delta \phi }}\right|_{\phi =B}+J=0}$.

Затем действие распространяется на фон B ( x ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\int d^{d}x({\mathcal {L}}[\phi (x)]+J(x)\phi (x))&=\int d^{d}x({\mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))\\&+\int d^{d}x\left({\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)}}[B]+J(x)\right)\eta (x)\\&+{\frac {1}{2}}\int d^{d}xd^{d}y{\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}[B]\eta (x)\eta (y)+\cdots \end{aligned}}}$

Второй член в этом расширении равен нулю по уравнениям движения. Первый член не зависит ни от каких флуктуирующих полей, так что его можно вывести из интеграла по траектории. Результат:

${\displaystyle Z[J]=e^{i\int d^{d}x({\mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))}\int {\mathcal {D}}\eta e^{{\frac {i}{2}}\int d^{d}xd^{d}y{\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}[B]\eta (x)\eta (y)+\cdots }.}$

Оставшийся интеграл по траектории (без учета поправок в точках) имеет гауссову форму и может быть точно проинтегрирован:

${\displaystyle Z[J]=Ce^{i\int d^{d}x({\mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))}\left(\det {\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}[B]\right)^{-1/2}+\cdots }$

где "det" означает функциональный определитель , а C - константа. Степень минус половины будет, естественно, плюс один для полей Грассмана .

Вышеприведенный вывод дает гауссово приближение к функциональному интегралу. Поправки к этому могут быть вычислены, создавая диаграммное расширение.

Смотрите также

• теория БФ
• Эффективное действие
• Исходное поле

Ссылки

• Пескин, Майкл; Шредер, Дэниел (1994). Введение в квантовую теорию поля . Perseus Publishing. ISBN 0-201-50397-2.
• Бём, Манфред; Деннер, Ансгар; Йоос, Ганс (2001). Калибровочные теории сильного и электрослабого взаимодействия (3-е изд.). Тойбнер. ISBN 3-519-23045-3.
• Кляйнерт, Хаген (2009). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (5-е изд.). World Scientific.
• Эбботт, Л. Ф. (1982). "Введение в метод фонового поля" (PDF) . Acta Phys. Pol. B . 13 : 33. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-05-10 . Получено 2016-03-10 .