Метод механических теорем

Метод механических теорем ( греч . Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος ), также называемый Методом , является одним из основных сохранившихся трудов древнегреческого полимата Архимеда . Метод имеет форму письма Архимеда Эратосфену ^[1] ,главному библиотекарю Александрийской библиотеки , и содержит первое засвидетельствованное явное использование неделимых (неделимые являются геометрическими версиями бесконечно малых величин ).^[1]^[2] Первоначально работа считалась утерянной, но в 1906 году была вновь обнаружена в знаменитом « Палимпсесте Архимеда ». Палимпсест включает в себя изложение Архимедом «механического метода», названного так потому, что он опирается на центр тяжести фигур ( центроид ) и закон рычага , которые были продемонстрированы Архимедом в «О равновесии плоскостей» .

Архимед не признавал метод неделимых как часть строгой математики и поэтому не опубликовал свой метод в формальных трактатах, содержащих результаты. В этих трактатах он доказывает те же теоремы исчерпыванием , находя строгие верхние и нижние границы, которые обе сходятся к требуемому ответу. Тем не менее, механический метод был тем, что он использовал для открытия соотношений, для которых он позже дал строгие доказательства.

Площадь параболы

Идея Архимеда заключается в использовании закона рычага для определения площадей фигур из известного центра масс других фигур. ^[1]^{: 8} Простейший пример на современном языке — площадь параболы. Современный подход заключается в том, чтобы найти эту площадь, вычислив интеграл

$\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}},$

что является элементарным результатом в интегральном исчислении . Вместо этого метод Архимеда механически уравновешивает параболу (искривленную область, интегрированную выше) с определенным треугольником, который сделан из того же материала. Парабола - это область в плоскости между осью и кривой , которая изменяется от 0 до 1. Треугольник - это область в той же плоскости между осью и прямой , также поскольку изменяется от 0 до 1. $(x,y)$ $x$ $y=x^{2}$ $x$ $x$ $у=х$ $x$

Разрежьте параболу и треугольник на вертикальные дольки, по одной для каждого значения . Представьте, что ось - это рычаг с точкой опоры в . Закон рычага гласит, что два объекта по разные стороны от точки опоры будут уравновешены, если каждый из них имеет одинаковый крутящий момент , где крутящий момент объекта равен его весу, умноженному на его расстояние до точки опоры. Для каждого значения , долька треугольника в позиции имеет массу, равную его высоте , и находится на расстоянии от точки опоры; поэтому она уравновесит соответствующую дольку параболы высотой , если последняя будет перемещена на , на расстояние 1 по другую сторону от точки опоры. $x$ $x$ $x=0$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x^{2}$ $х=-1$

Сбалансированный треугольник и параболическая перемычка по методу

Поскольку каждая пара срезов уравновешивает, перемещение всей параболы в уравновесит весь треугольник. Это означает, что если исходную неразрезанную параболу подвесить на крючок за точку (так, чтобы вся масса параболы была прикреплена к этой точке), она уравновесит треугольник, расположенный между и . $х=-1$ $х=-1$ $x=0$ $x=1$

Центр масс треугольника можно легко найти следующим методом, также принадлежащим Архимеду. ^[1]^{: 14} Если провести срединную линию от любой из вершин треугольника до противоположного края , треугольник будет балансировать на медиане, рассматриваемой как точка опоры. Причина в том, что если треугольник разделить на бесконечно малые отрезки, параллельные , каждый отрезок имеет одинаковую длину на противоположных сторонах медианы, поэтому равновесие следует из симметрии. Этот аргумент можно легко сделать строгим путем исчерпывания , используя маленькие прямоугольники вместо бесконечно малых линий, и именно это делает Архимед в своей работе « О равновесии плоскостей» . $E$ $E$

Итак, центр масс треугольника должен находиться в точке пересечения медиан. Для рассматриваемого треугольника одна медиана — это линия , а вторая медиана — это линия . Решая эти уравнения, мы видим, что пересечение этих двух медиан находится выше точки , так что общее воздействие треугольника на рычаг такое, как если бы вся масса треугольника давила вниз на эту точку (или свисала с нее). Общий крутящий момент, оказываемый треугольником, равен его площади, 1/2, умноженной на расстояние 2/3 его центра масс от точки опоры в . Этот крутящий момент 1/3 уравновешивает параболу, которая находится на расстоянии 1 от точки опоры. Следовательно, площадь параболы должна быть равна 1/3, чтобы придать ей противоположный крутящий момент. $y=x/2$ $y=1-x$ $x=2/3$ $x=0$

Этот тип метода можно использовать для нахождения площади произвольного сечения параболы, и аналогичные рассуждения можно использовать для нахождения интеграла любой степени , хотя более высокие степени усложняются без алгебры. Архимед дошел только до интеграла , который он использовал для нахождения центра масс полушария, а в других работах — центра масс параболы. $x$ $x^{3}$

Первое предложение в палимпсесте

Рассмотрим параболу на рисунке справа. Выберите две точки на параболе и назовите их A и B.

Предположим, что отрезок AC параллелен оси симметрии параболы. Далее предположим, что отрезок BC лежит на линии, касательной к параболе в точке B. Первое предложение гласит: ^[1]^{: 14}

Площадь треугольника ABC ровно в три раза больше площади, ограниченной параболой и секущей AB .

Доказательство : ^[1]^{: 15–18}

Пусть D будет серединой AC . Постройте отрезок JB через D , где расстояние от J до D равно расстоянию от B до D. Мы будем думать об отрезке JB как о «рычаге» с D в качестве его точки опоры. ^[3] Как ранее показал Архимед, центр масс треугольника находится в точке I на «рычаге», где DI : DB = 1:3. Поэтому достаточно показать, что если весь вес внутренней части треугольника покоится на I , а весь вес сечения параболы на J , рычаг находится в равновесии.

Рассмотрим бесконечно малое поперечное сечение треугольника, заданное отрезком HE , где точка H лежит на BC , точка E лежит на AB , а HE параллельна оси симметрии параболы. Назовем пересечение HE и параболы F , а пересечение HE и рычага G. Если вес всех таких отрезков HE покоится в точках G , где они пересекают рычаг, то они оказывают тот же крутящий момент на рычаг, что и весь вес треугольника, покоящегося в I. Таким образом, мы хотим показать, что если вес поперечного сечения HE покоится в G , а вес поперечного сечения EF сечения параболы покоится в J , то рычаг находится в равновесии. Другими словами, достаточно показать, что EF : GD = EH : JD . Но это обычное следствие уравнения параболы. ЧТЭК

Объем сферы

Опять же, чтобы прояснить механический метод, удобно использовать немного координатной геометрии. ^[4] Если сфера радиусом 1 размещена с центром в точке x = 1, то вертикальный радиус поперечного сечения при любом значении x между 0 и 2 определяется следующей формулой: $\rho _{S}$ $\rho _{S}(x)={\sqrt {x(2-x)}}.$

Масса этого поперечного сечения, для целей балансировки на рычаге, пропорциональна площади:

$\пи \ро _{S}(x)^{2}=2\пи x-\пи x^{2}.$

Затем Архимед рассмотрел вращение треугольной области между y = 0 и y = x и x = 2 на плоскости x - y вокруг оси x , чтобы образовать конус. ^[1]^{: 18–21} Поперечное сечение этого конуса представляет собой окружность радиуса $\rho _{C}$

$\rho _{C}(x)=x$

и площадь этого поперечного сечения равна

$\pi \rho _{C}^{2}=\pi x^{2}.$

Таким образом, если части конуса и сферы взвесить вместе, то общая площадь поперечного сечения составит:

$M(x)=2\пи x.$

Если два ломтика поместить вместе на расстоянии 1 от точки опоры, их общий вес будет точно уравновешен кругом площадью на расстоянии x от точки опоры с другой стороны. Это означает, что конус и сфера вместе, если весь их материал переместить в точку x = 1, уравновесят цилиндр с радиусом основания 1 и длиной 2 с другой стороны. $2\пи$

Поскольку x изменяется от 0 до 2, центр тяжести цилиндра будет находиться на расстоянии 1 от точки опоры, поэтому весь вес цилиндра можно считать находящимся в положении 1. Условие равновесия гарантирует, что объем конуса плюс объем сферы равны объему цилиндра.

Объем цилиндра равен площади поперечного сечения, умноженной на высоту, которая равна 2, или . Архимед также мог найти объем конуса, используя механический метод, поскольку, выражаясь современным языком, используемый интеграл точно такой же, как и для площади параболы. Объем конуса равен 1/3 площади его основания, умноженной на высоту. Основание конуса представляет собой круг радиусом 2, с площадью , в то время как высота равна 2, поэтому площадь равна . Вычитание объема конуса из объема цилиндра дает объем сферы: $2\пи$ $4\пи$ $4\пи$ $8\пи /3$

$V_{S}=4\пи -{8 \более 3}\пи ={4 \более 3}\пи .$

Зависимость объема сферы от радиуса очевидна из масштабирования, хотя тогда это тоже было не так просто сделать строгим. Затем метод дает знакомую формулу для объема сферы . Масштабируя размеры линейно, Архимед легко распространил результат объема на сфероиды . ^[1]^{: 21-23}

Аргумент Архимеда почти идентичен аргументу выше, но его цилиндр имел больший радиус, так что конус и цилиндр находились на большем расстоянии от точки опоры. Он считал этот аргумент своим величайшим достижением, требуя, чтобы сопутствующая фигура сбалансированной сферы, конуса и цилиндра была выгравирована на его надгробии.

Площадь поверхности сферы

Чтобы найти площадь поверхности сферы, Архимед утверждал, что так же, как площадь круга можно представить как бесконечное множество бесконечно малых прямоугольных треугольников, расположенных по окружности (см. Измерение круга ), объем сферы можно представить как разделенный на множество конусов с высотой, равной радиусу, и основанием на поверхности. Все конусы имеют одинаковую высоту, поэтому их объем составляет 1/3 площади основания, умноженной на высоту.

Архимед утверждает, что общий объем сферы равен объему конуса, основание которого имеет ту же площадь поверхности, что и сфера, а высота равна радиусу. ^[1]^{: 20-21} Подробности аргументации не приводятся, но очевидная причина заключается в том, что конус можно разделить на бесконечно малые конусы, разделив площадь основания, и тогда каждый конус вносит вклад в соответствии со своей площадью основания, точно так же, как в сфере.

Пусть поверхность сферы равна S . Объем конуса с площадью основания S и высотой r равен , что должно быть равно объему сферы: . Следовательно, площадь поверхности сферы должна быть , или «в четыре раза больше ее наибольшего круга». Архимед строго доказывает это в работе « О сфере и цилиндре» . $Ср/3$ $4\пи r^{3}/3$ $4\пи г^{2}$

Криволинейные формы с рациональными объемами

Одной из замечательных особенностей Метода является то, что Архимед находит две формы, определяемые сечениями цилиндров, объем которых не включает , несмотря на то, что формы имеют криволинейные границы. Это центральный пункт исследования — некоторые криволинейные формы могут быть выпрямлены линейкой и циркулем, так что существуют нетривиальные рациональные соотношения между объемами, определяемыми пересечениями геометрических тел. $\пи$

Архимед подчеркивает это в начале трактата и предлагает читателю попытаться воспроизвести результаты каким-либо другим методом. В отличие от других примеров, объем этих фигур не вычисляется строго ни в одной из его других работ. Из фрагментов в палимпсесте следует, что Архимед действительно вписывал и описывал фигуры, чтобы доказать строгие границы объема, хотя подробности не сохранились.

Две рассматриваемые им формы — это пересечение двух цилиндров под прямым углом ( бицилиндр ), представляющее собой область ( x , y , z ), подчиняющуюся: и круговая призма, представляющая собой область, подчиняющуюся: Обе задачи имеют нарезку, которая дает простой интеграл для механического метода. Для круговой призмы разрежьте ось x на срезы. Область в плоскости y - z при любом x является внутренней частью прямоугольного треугольника со стороной длиной , площадь которой равна , так что общий объем равен: что можно легко исправить с помощью механического метода. Добавление к каждому треугольному сечению сечения треугольной пирамиды с площадью уравновешивает призму, поперечное сечение которой постоянно. $x^{2}+y^{2}<1,\quad y^{2}+z^{2}<1,$ $x^{2}+y^{2}<1,\quad 0<z<y.$ ${\sqrt {1-x^{2}}}$ ${1 \over 2}(1-x^{2})$ $\displaystyle \int _{-1}^{1}{1 \over 2}(1-x^{2})\,dx$ $x^{2}/2$

Для пересечения двух цилиндров разрезание потеряно в рукописи, но его можно реконструировать очевидным образом параллельно с остальной частью документа: если плоскость xz является направлением разреза, уравнения для цилиндра дают, что в то время как , что определяет область, которая является квадратом в плоскости x - z со стороной длиной , так что общий объем равен: И это тот же интеграл, что и для предыдущего примера. Ян Хогендейк утверждает, что, помимо объема бицилиндра, Архимед знал его площадь поверхности , которая также является рациональной. ^[5] $x^{2}<1-y^{2}$ $z^{2}<1-y^{2}$ $2{\sqrt {1-y^{2}}}$ $\displaystyle \int _{-1}^{1}4(1-y^{2})\,dy.$

Другие предложения в палимпсесте

Ряд положений геометрии доказывается в палимпсесте с помощью подобных аргументов. Одна из теорем заключается в том, что центр масс полушария находится на расстоянии 5/8 от полюса до центра сферы. Эта задача примечательна тем, что она вычисляет кубический интеграл.

Смотрите также

Ссылки

^ abcdefghi Архимед (1912), Метод Архимеда, недавно открытый Гейбергом; приложение к Трудам Архимеда, переведенное Томасом Литтл Хитом , Cambridge University Press
^ Нетц, Ревиэль ; Сайто, Кен; Чернецка, Натали (2001), «Новое прочтение предложения метода 14: предварительные доказательства из палимпсеста Архимеда, I», Sciamvs , 2 : 9–29, MR 1837052
^ Например, Моррис Клайн (1972). Математическая мысль от древних времен до наших дней, т. 1. Oxford University Press. С. 110–112.
^ Габриэла Р. Санчис (2016). "Метод Архимеда для вычисления площадей и объемов — цилиндры, конусы и сферы". Сходимость . Архивировано из оригинала 23 февраля 2017 г.
^ Хогендейк, Январь (2002), «Площадь поверхности бицилиндра и метод Архимеда », Historia Mathematica , 29 (2): 199–203, doi : 10.1006/hmat.2002.2349 , MR 1896975