Полиэдральное пространство — это определенное метрическое пространство . ( Евклидово ) полиэдральное пространство — это (обычно конечный) симплициальный комплекс , в котором каждый симплекс имеет плоскую метрику. (Другие пространства, представляющие интерес, — это сферические и гиперболические полиэдральные пространства, в которых каждый симплекс имеет метрику постоянной положительной или отрицательной кривизны). В дальнейшем все полиэдральные пространства считаются евклидовыми полиэдральными пространствами.
Все одномерные многогранные пространства являются всего лишь метрическими графами . Хорошим источником двумерных примеров являются триангуляции двумерных поверхностей. Поверхность выпуклого многогранника в является двумерным многогранным пространством.
Любое PL-многообразие (которое по сути то же самое, что и симплициальное многообразие , только с некоторыми техническими допущениями для удобства) является примером полиэдрального пространства. Фактически, можно рассматривать псевдомногообразия , хотя разумнее ограничить внимание нормальными многообразиями.
При изучении многогранных пространств (особенно тех, которые также являются топологическими многообразиями ) метрические особенности играют центральную роль. Пусть многогранное пространство является n-мерным многообразием. Если точка в многогранном пространстве, которое является n-мерным топологическим многообразием, не имеет окрестности, изометричной евклидовой окрестности в R^n, то эта точка называется метрической особенностью. Это особенность коразмерности k, если она имеет окрестность, изометричную R^{nk} с метрическим конусом. Особенности коразмерности 2 имеют большое значение; они характеризуются одним числом — коническим углом.
Сингулярности также можно изучать топологически. Тогда, например, не существует топологических сингулярностей коразмерности 2. В 3-мерном полиэдральном пространстве без границы (грани, не склеенные с другими гранями) любая точка имеет окрестность, гомеоморфную либо открытому шару, либо конусу над проективной плоскостью . В первом случае точка обязательно является метрической сингулярностью коразмерности 3. Общая проблема топологической классификации сингулярностей в полиэдральных пространствах в значительной степени не решена (за исключением простых утверждений, что, например, любая сингулярность локально является конусом над сферическим полиэдральным пространством на одно измерение меньше, и мы можем изучать сингулярности там).
Интересно изучить кривизну многогранных пространств (кривизну в смысле пространств Александрова ), в частности многогранных пространств неотрицательной и неположительной кривизны. Неотрицательная кривизна на особенностях коразмерности 2 подразумевает неотрицательную кривизну в целом. Однако это неверно для неположительной кривизны. Например, рассмотрим R^3 с одним удаленным октантом. Тогда на ребрах этого октанта (особенности коразмерности 2) кривизна неположительна (из-за ветвящихся геодезических), однако это не так в начале координат (особенность коразмерности 3), где такой треугольник, как (0,0,e), (0,e,0), (e,0,0), имеет медиану длиннее, чем она была бы в евклидовой плоскости, что характерно для неотрицательной кривизны.
Можно применить многие концепции римановой геометрии . Существует только одно очевидное понятие параллельного переноса и только одна естественная связь . Концепция голономии в этом случае поразительно проста. Ограниченная группа голономии тривиальна, и поэтому существует гомоморфизм из фундаментальной группы на группу голономии . Может быть особенно удобно удалить все особенности, чтобы получить пространство с плоской римановой метрикой и изучить там голономии. Одной из концепций, возникающих таким образом, являются многогранные кэлеровы многообразия, когда голономии содержатся в группе, сопряженной с унитарными матрицами . В этом случае голономии также сохраняют симплектическую форму вместе с комплексной структурой на этом многогранном пространстве (многообразии) с удаленными особенностями. Все концепции, такие как дифференциальная форма , дифференциальная форма L2 и т. д., корректируются соответствующим образом.
Другим направлением исследований являются разработки динамических биллиардов в многогранных пространствах, например, неположительной кривизны (гиперболические биллиарды). Положительно искривленные многогранные пространства возникают также как связи точек (обычно метрических особенностей) в евклидовых многогранных пространствах.
В полном смысле полиэдральные пространства впервые были определены Милкой [1]
