многообразие Адамара

В математике многообразие Адамара , названное в честь Жака Адамара — чаще называемое многообразием Картана–Адамара , в честь Эли Картана — это риманово многообразие , которое является полным и односвязным и имеет всюду неположительную секционную кривизну . ^{[1] [2]} По теореме Картана–Адамара все многообразия Картана–Адамара диффеоморфны евклидову пространству. Кроме того, из теоремы Хопфа–Ринова следует , что любые пары точек в многообразии Картана–Адамара могут быть соединены единственным геодезическим отрезком. Таким образом, многообразия Картана–Адамара являются одними из ближайших родственников ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Примеры

Евклидово пространство с его обычной метрикой представляет собой многообразие Картана–Адамара с постоянной секционной кривизной, равной ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 0.}$

Стандартное -мерное гиперболическое пространство представляет собой многообразие Картана–Адамара с постоянной секционной кривизной, равной ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle -1.}$

Характеристики

В многообразиях Картана-Адамара отображение является диффеоморфизмом для всех ${\displaystyle \exp _{p}:\operatorname {T} M_{p}\to M}$ ${\displaystyle p\in M.}$

Смотрите также

• Гипотеза Картана–Адамара
• Теорема Картана–Адамара  – О структуре полных римановых многообразий неположительной секционной кривизны
• Пространство Адамара  – геодезически полное метрическое пространство неположительной кривизныСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва

Ссылки

1. Ли, Питер (2012). Геометрический анализ . Cambridge University Press. стр. 381. doi :10.1017/CBO9781139105798. ISBN 9781107020641.
2. Ланг, Серж (1989). Основы дифференциальной геометрии, том 160. Springer. стр. 252–253. ISBN 9780387985930.