Полиномы Рака

В математике многочлены Рака — это ортогональные многочлены, названные в честь Джулио Рака , поскольку их соотношения ортогональности эквивалентны его соотношениям ортогональности для коэффициентов Рака .

Полиномы Рака были впервые определены Уилсоном (1978) и задаются формулой

${\displaystyle p_{n}(x(x+\gamma +\delta +1))={}_{4}F_{3}\left[{\begin{matrix}-n&n+\alpha +\beta +1&-x&x+\gamma +\delta +1\\\alpha +1&\gamma +1&\beta +\delta +1\\\end{matrix}};1\right].}$

Ортогональность

${\displaystyle \sum _{y=0}^{N}\operatorname {R} _{n}(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\operatorname {R} _{m}(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ){\frac {\gamma +\delta +1+2y}{\gamma +\delta +1+y}}\omega _{y}=h_{n}\operatorname {\delta } _{n,m},}$^[1]

когда , ${\displaystyle \alpha +1=-N}$

где — полином Рака, ${\displaystyle \operatorname {R} }$

${\displaystyle x=y(y+\gamma +\delta +1),}$

${\displaystyle \operatorname {\delta } _{n,m}}$— это дельта-функция Кронекера , а весовые функции — это

${\displaystyle \omega _{y}={\frac {(\alpha +1)_{y}(\beta +\delta +1)_{y}(\gamma +1)_{y}(\gamma +\delta +2)_{y}}{(-\alpha +\gamma +\delta +1)_{y}(-\beta +\gamma +1)_{y}(\delta +1)_{y}y!}},}$

и

${\displaystyle h_{n}={\frac {(-\beta )_{N}(\gamma +\delta +1)_{N}}{(-\beta +\gamma +1)_{N}(\delta +1)_{N}}}{\frac {(n+\alpha +\beta +1)_{n}n!}{(\alpha +\beta +2)_{2n}}}{\frac {(\alpha +\delta -\gamma +1)_{n}(\alpha -\delta +1)_{n}(\beta +1)_{n}}{(\alpha +1)_{n}(\beta +\delta +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}},}$

${\displaystyle (\cdot )_{n}}$является символом Поххаммера .

Формула типа Родригеса

${\displaystyle \omega (x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=(\gamma +\delta +1)_{n}{\frac {\nabla ^{n}}{\nabla \lambda (x)^{n}}}\omega (x;\alpha +n,\beta +n,\gamma +n,\delta ),}$^[2]

где — оператор обратной разности , ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \lambda (x)=x(x+\gamma +\delta +1).}$

Генерация функций

Существует три производящие функции для ${\displaystyle x\in \{0,1,2,...,N\}}$

когда или ${\displaystyle \beta +\delta +1=-N\quad }$ ${\displaystyle \quad \gamma +1=-N,}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x+\alpha -\gamma -\delta ;\alpha +1;t){}_{2}F_{1}(x+\beta +\delta +1,x+\gamma +1;\beta +1;t)}$

${\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\beta +\delta +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}{(\beta +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n},}$

когда или ${\displaystyle \alpha +1=-N\quad }$ ${\displaystyle \quad \gamma +1=-N,}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x+\beta -\gamma ;\beta +\delta +1;t){}_{2}F_{1}(x+\alpha +1,x+\gamma +1;\alpha -\delta +1;t)}$

${\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}{(\alpha -\delta +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n},}$

когда или ${\displaystyle \alpha +1=-N\quad }$ ${\displaystyle \quad \beta +\delta +1=-N,}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x-\delta ;\gamma +1;t){}_{2}F_{1}(x+\alpha +1;x+\beta +\gamma +1;\alpha +\beta -\gamma +1;t)}$

${\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +1)_{n}(\beta +\delta +1)_{n}}{(\alpha +\beta -\gamma +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n}.}$

Формула связи для полиномов Вильсона

Когда ${\displaystyle \alpha =a+b-1,\beta =c+d-1,\gamma =a+d-1,\delta =a-d,x\rightarrow -a+ix,}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{n}(\lambda (-a+ix);a+b-1,c+d-1,a+d-1,a-d)={\frac {\operatorname {W} _{n}(x^{2};a,b,c,d)}{(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}}},}$

где — полиномы Вильсона. ${\displaystyle \operatorname {W} }$

q-аналог

Аски и Уилсон (1979) ввели q -полиномы Рака, определенные в терминах основных гипергеометрических функций следующим образом:

${\displaystyle p_{n}(q^{-x}+q^{x+1}cd;a,b,c,d;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&q^{x+1}cd\\aq&bdq&cq\\\end{matrix}};q;q\right].}$

Иногда они задаются с изменениями переменных, как

${\displaystyle W_{n}(x;a,b,c,N;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&cq^{x-n}\\aq&bcq&q^{-N}\\\end{matrix}};q;q\right].}$

Ссылки

1. Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Класс Уилсона: Определения», в Олвере, Фрэнке У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
2. Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (1998), Схема Аски гипергеометрических ортогональных многочленов и ее q-аналог

• Аски, Ричард; Уилсон, Джеймс (1979), «Набор ортогональных многочленов, обобщающих коэффициенты Рака или символы 6-j» (PDF) , SIAM Journal on Mathematical Analysis , 10 (5): 1008–1016, doi :10.1137/0510092, ISSN  0036-1410, MR  0541097, архивировано из оригинала 25 сентября 2017 г.
• Уилсон, Дж. (1978), Рекуррентные соотношения гипергеометрических рядов и некоторые новые ортогональные функции , докторская диссертация, Висконсинский университет, Мэдисон