Модальный анализ с использованием МКЭ

Целью модального анализа в строительной механике является определение естественных форм мод и частот объекта или конструкции во время свободных колебаний . Для выполнения этого анализа обычно используют метод конечных элементов (МКЭ), поскольку, как и в других расчетах с использованием МКЭ, анализируемый объект может иметь произвольную форму, а результаты расчетов приемлемы. Типы уравнений, возникающие в результате модального анализа, — это те, которые можно увидеть в собственных системах . Физическая интерпретация собственных значений и собственных векторов , которые получаются при решении системы, заключается в том, что они представляют частоты и соответствующие формы мод. Иногда единственными желаемыми модами являются самые низкие частоты, поскольку они могут быть наиболее заметными модами, на которых объект будет вибрировать, доминируя над всеми более высокочастотными модами.

Также возможно протестировать физический объект, чтобы определить его собственные частоты и формы колебаний. Это называется экспериментальным модальным анализом . Результаты физического теста можно использовать для калибровки модели конечных элементов, чтобы определить, были ли верны сделанные базовые предположения (например, были ли использованы правильные свойства материала и граничные условия).

Собственные системы FEA[ жаргон ]

Для наиболее простой проблемы, включающей линейный упругий материал, подчиняющийся закону Гука , матричные уравнения принимают форму динамической трехмерной системы пружинных масс. Обобщенное уравнение движения задается как: ^[1]

${\displaystyle [M][{\ddot {U}}]+[C][{\dot {U}}]+[K][U]=[F]}$

где — матрица масс, — 2-я производная смещения по времени (т. е. ускорение), — скорость, — матрица затухания, — матрица жесткости, — вектор силы. Общая задача с ненулевым затуханием — это квадратичная задача на собственные значения . Однако для вибрационного модального анализа затухание обычно игнорируется, и в левой части остаются только 1-й и 3-й члены: ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle [{\ddot {U}}]}$ ${\displaystyle [U]}$ ${\displaystyle [{\dot {U}}]}$ ${\displaystyle [C]}$ ${\displaystyle [K]}$ ${\displaystyle [F]}$

${\displaystyle [M][{\ddot {U}}]+[K][U]=[0]}$

Это общая форма собственной системы, встречающейся в структурной инженерии с использованием МКЭ . Для представления решений свободных колебаний конструкции предполагается гармоническое движение. ^[2] Это предположение означает, что принимается равным , где — собственное значение (с единицами обратного времени в квадрате, например, ). Используя это, уравнение сводится к: ^[3] ${\displaystyle [{\ddot {U}}]}$ ${\displaystyle \lambda [U]}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {s} ^{-2}}$

${\displaystyle [M][U]\lambda +[K][U]=[0]}$

Напротив, уравнение для статических задач имеет вид:

${\displaystyle [K][U]=[F]}$

что ожидается, когда все члены, имеющие производную по времени, установлены равными нулю.

Сравнение с линейной алгеброй

В линейной алгебре чаще встречается стандартная форма собственной системы, которая выражается как:

${\displaystyle [A][x]=[x]\lambda }$

Оба уравнения можно рассматривать как одно и то же, поскольку если общее уравнение умножить на обратную величину массы, , оно примет форму последнего. ^[4] Поскольку желательны более низкие моды, решение системы, скорее всего, включает эквивалент умножения на обратную величину жесткости, , процесс, называемый обратной итерацией . ^[5] Когда это сделано, полученные собственные значения, , связаны с исходным следующим образом: ${\displaystyle [M]^{-1}}$ ${\displaystyle [K]^{-1}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\lambda }}}$

но собственные векторы одинаковы.

Смотрите также

• Метод конечных элементов
• Метод конечных элементов в строительной механике
• Модальный анализ
• Сейсмический анализ
• Структурная динамика
• Собственная система
• Собственная мода
• Квадратичная задача на собственные значения

Ссылки

1. Клаф, Рэй У. и Джозеф Пензиен, Динамика структур , 2-е изд., McGraw-Hill Publishing Company, Нью-Йорк, 1993, стр. 173
2. Бате, Клаус Юрген, Методы конечных элементов , 2-е изд., Prentice-Hall Inc., Нью-Джерси, 1996, стр. 786
3. Клаф, Рэй У. и Джозеф Пензиен, Динамика структур , 2-е изд., McGraw-Hill Publishing Company, Нью-Йорк, 1993, стр. 201
4. Томсон, Уильям Т., Теория вибрации и ее применение , 3-е изд., Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, 1988, стр. 165
5. Хьюз, Томас Дж. Р., Метод конечных элементов , Prentice-Hall Inc., Энглвуд Клиффс, 1987 г., стр. 582-584.

Внешние ссылки

• Frame3DD программа с открытым исходным кодом для 3D структурного модального анализа