В алгебраической геометрии модель Нерона (или минимальная модель Нерона , или минимальная модель ) для абелева многообразия A K, определенного над полем дробей K дедекиндовой области R, является «продвижением» A K из Spec( K ) в Spec( R ), другими словами, «наилучшей возможной» групповой схемой A R, определенной над R, соответствующей A K .
Они были введены Андре Нероном (1961, 1964) для абелевых многообразий над полем частных дедекиндовой области R с совершенными полями вычетов, а Рейно (1966) распространил эту конструкцию на полуабелевы многообразия над всеми дедекиндовыми областями.
Предположим, что R — дедекиндова область с полем дробей K , и предположим, что A K — гладкая разделенная схема над K (такая как абелево многообразие). Тогда модель Нерона для A K определяется как гладкая разделенная схема A R над R со слоем A K , которая универсальна в следующем смысле.
В частности, каноническое отображение является изоморфизмом. Если модель Нерона существует, то она единственна с точностью до единственного изоморфизма.
В терминах пучков любая схема A над Spec( K ) представляет собой пучок в категории схем, гладких над Spec( K ) с гладкой топологией Гротендика, и это имеет pushforward с помощью отображения инъекции из Spec( K ) в Spec( R ), который является пучком над Spec( R ). Если этот pushforward представим схемой, то эта схема является моделью Нерона для A .
В общем случае схема A K не обязательно должна иметь какую-либо модель Нерона. Для абелевых многообразий A K модели Нерона существуют и единственны (с точностью до единственного изоморфизма) и являются коммутативными квазипроективными групповыми схемами над R . Слой модели Нерона над замкнутой точкой Spec( R ) является гладкой коммутативной алгебраической группой , но не обязательно должен быть абелевым многообразием: например, он может быть несвязным или тором. Модели Нерона существуют также для некоторых коммутативных групп, отличных от абелевых многообразий, таких как торы, но они только локально конечного типа. Модели Нерона не существуют для аддитивной группы.
Модель Нерона эллиптической кривой A K над K может быть построена следующим образом. Сначала сформируем минимальную модель над R в смысле алгебраических (или арифметических) поверхностей. Это регулярная собственная поверхность над R, но она не является, вообще говоря, гладкой над R или групповой схемой над R. Ее подсхема гладких точек над R — это модель Нерона, которая является гладкой групповой схемой над R, но не обязательно собственной над R. В общем случае волокна могут иметь несколько неприводимых компонент, и для формирования модели Нерона отбрасываются все кратные компоненты, все точки пересечения двух компонентов и все особые точки компонентов.
Алгоритм Тейта вычисляет специальное волокно модели Нерона эллиптической кривой или, точнее, волокна минимальной поверхности, содержащей модель Нерона.
