Модель Ходжкина–Хаксли

Описывает, как нейроны передают электрические сигналы

Базовые компоненты моделей типа Ходжкина-Хаксли, которые представляют биофизическую характеристику клеточных мембран . Липидный бислой представлен как емкость ( C _m ). Потенциал-управляемые ионные каналы утечки представлены нелинейной ( gn ) и линейной ( gL ) проводимостью соответственно. Электрохимические градиенты, управляющие потоком ионов _, представлены батареями (E), а ионные насосы и обменники представлены источниками тока ( _I p ₎ .

Модель Ходжкина–Хаксли , или модель на основе проводимости , — это математическая модель , описывающая, как инициируются и распространяются потенциалы действия в нейронах . Это набор нелинейных дифференциальных уравнений , который аппроксимирует электротехнические характеристики возбудимых клеток, таких как нейроны и мышечные клетки . Это динамическая система с непрерывным временем .

Алан Ходжкин и Эндрю Хаксли описали модель в 1952 году, чтобы объяснить ионные механизмы, лежащие в основе возникновения и распространения потенциалов действия в гигантском аксоне кальмара . ^[1] За эту работу они получили Нобелевскую премию по физиологии и медицине 1963 года.

Основные компоненты

Типичная модель Ходжкина-Хаксли рассматривает каждый компонент возбудимой клетки как электрический элемент (как показано на рисунке). Липидный бислой представлен как емкость (C _m ). Потенциал-зависимые ионные каналы представлены электрическими проводимостями ( g _n , где n — конкретный ионный канал), которые зависят как от напряжения, так и от времени. Каналы утечки представлены линейными проводимостями ( g _L ). Электрохимические градиенты , управляющие потоком ионов, представлены источниками напряжения ( E _n ), напряжения которых определяются соотношением внутри- и внеклеточных концентраций интересующих ионных видов. Наконец, ионные насосы представлены источниками тока ( I _p ). ^{[ необходимо разъяснение ]} Мембранный потенциал обозначается как V _m .

Математически ток, протекающий через липидный бислой, записывается как

${\displaystyle I_{c}=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}}$

а ток через данный ионный канал является произведением проводимости этого канала и движущего потенциала для конкретного иона.

${\displaystyle I_{i}={g_{i}}(V_{m}-V_{i})\;}$

где - потенциал реверсии конкретного ионного канала. Таким образом, для клетки с натриевыми и калиевыми каналами полный ток через мембрану определяется по формуле: ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle I=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}+g_{K}(V_{m}-V_{K})+g_{Na}(V_{m}-V_{Na})+g_{l}(V_{m}-V_{l})}$

где I — полный мембранный ток на единицу площади, C _m — мембранная емкость на единицу площади, g _K и g _Na — калиевая и натриевая проводимости на единицу площади соответственно, V _K и V _Na — калиевый и натриевый потенциалы реверсии соответственно, а g _l и V _l — проводимость утечки на единицу площади и потенциал реверсии утечки соответственно. Зависящие от времени элементы этого уравнения — V _m , g _Na и g _K , где последние две проводимости явно зависят также от мембранного напряжения ( V _{m ).}

Характеристика ионного тока

В ионных каналах с потенциал-управляемым типом проводимость канала является функцией как времени, так и напряжения ( на рисунке), тогда как в каналах утечки она является константой ( на рисунке). Ток, генерируемый ионными насосами, зависит от ионных видов, специфичных для этого насоса. В следующих разделах эти формулы будут описаны более подробно. ${\displaystyle g_{n}(t,V)}$ ${\displaystyle g_{l}}$ ${\displaystyle g_{L}}$

Потенциалзависимые ионные каналы

Используя серию экспериментов с зажимом напряжения и изменяя внеклеточные концентрации натрия и калия, Ходжкин и Хаксли разработали модель, в которой свойства возбудимой клетки описываются набором из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений . ^[1] Вместе с уравнением для полного тока, упомянутым выше, они имеют вид:

${\displaystyle I=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}+{\bar {g}}_{\text{K}}n^{4}(V_{m}-V_{K})+{\bar {g}}_{\text{Na}}m^{3}h(V_{m}-V_{Na})+{\bar {g}}_{l}(V_{m}-V_{l}),}$

${\displaystyle {\frac {dn}{dt}}=\alpha _{n}(V_{m})(1-n)-\beta _{n}(V_{m})n}$

${\displaystyle {\frac {dm}{dt}}=\alpha _{m}(V_{m})(1-m)-\beta _{m}(V_{m})m}$

${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=\alpha _{h}(V_{m})(1-h)-\beta _{h}(V_{m})h}$

где I - ток на единицу площади, а и - константы скорости для i -го ионного канала, зависящие от напряжения, но не от времени. - максимальное значение проводимости. n , m и h - безразмерные вероятности между 0 и 1, связанные с активацией субъединицы калиевого канала, активацией субъединицы натриевого канала и инактивацией субъединицы натриевого канала соответственно. Например , учитывая, что калиевые каналы в гигантском аксоне кальмара состоят из четырех субъединиц, которые все должны находиться в открытом состоянии, чтобы канал мог пропускать ионы калия, n необходимо возвести в четвертую степень. Для и принимают вид ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle {\bar {g}}_{n}}$ ${\displaystyle p=(n,m,h)}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \beta _{p}}$

${\displaystyle \alpha _{p}(V_{m})=p_{\infty }(V_{m})/\tau _{p}}$

${\displaystyle \beta _{p}(V_{m})=(1-p_{\infty }(V_{m}))/\tau _{p}.}$

${\displaystyle p_{\infty }}$и являются значениями стационарного состояния для активации и инактивации соответственно и обычно представляются уравнениями Больцмана как функции . В оригинальной статье Ходжкина и Хаксли ^[1] функции и задаются как ${\displaystyle (1-p_{\infty })}$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\alpha _{n}(V_{m})={\frac {0.01(10-V)}{\exp {\big (}{\frac {10-V}{10}}{\big )}-1}}&\alpha _{m}(V_{m})={\frac {0.1(25-V)}{\exp {\big (}{\frac {25-V}{10}}{\big )}-1}}&\alpha _{h}(V_{m})=0.07\exp {\bigg (}-{\frac {V}{20}}{\bigg )}\\\beta _{n}(V_{m})=0.125\exp {\bigg (}-{\frac {V}{80}}{\bigg )}&\beta _{m}(V_{m})=4\exp {\bigg (}-{\frac {V}{18}}{\bigg )}&\beta _{h}(V_{m})={\frac {1}{\exp {\big (}{\frac {30-V}{10}}{\big )}+1}}\end{array}}}$

где обозначает отрицательную деполяризацию в мВ. ${\displaystyle V=V_{rest}-V_{m}}$

Во многих современных программах ^[2] модели типа Ходжкина-Хаксли обобщаются и ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {A_{p}(V_{m}-B_{p})}{\exp {\big (}{\frac {V_{m}-B_{p}}{C_{p}}}{\big )}-D_{p}}}}$

Для того чтобы охарактеризовать потенциалзависимые каналы, уравнения могут быть подогнаны к данным фиксации напряжения. Для вывода уравнений Ходжкина-Хаксли при фиксации напряжения см. ^[3]. Вкратце, когда мембранный потенциал удерживается на постоянном значении (т.е. с фиксацией напряжения), для каждого значения мембранного потенциала нелинейные уравнения стробирования сводятся к уравнениям вида:

${\displaystyle m(t)=m_{0}-[(m_{0}-m_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{m}})]\,}$

${\displaystyle h(t)=h_{0}-[(h_{0}-h_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{h}})]\,}$

${\displaystyle n(t)=n_{0}-[(n_{0}-n_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{n}})]\,}$

Таким образом, для каждого значения мембранного потенциала натриевые и калиевые токи можно описать выражением ${\displaystyle V_{m}}$

${\displaystyle I_{\mathrm {Na} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {Na} }m(V_{m})^{3}h(V_{m})(V_{m}-E_{\mathrm {Na} }),}$

${\displaystyle I_{\mathrm {K} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {K} }n(V_{m})^{4}(V_{m}-E_{\mathrm {K} }).}$

Чтобы прийти к полному решению для распространяющегося потенциала действия, необходимо записать текущий член I в левой части первого дифференциального уравнения в терминах V , так что уравнение станет уравнением только для напряжения. Соотношение между I и V может быть выведено из теории кабеля и дается как

${\displaystyle I={\frac {a}{2R}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},}$

где a — радиус аксона , R — удельное сопротивление аксоплазмы , а x — положение вдоль нервного волокна. Подстановка этого выражения вместо I преобразует исходный набор уравнений в набор уравнений в частных производных , поскольку напряжение становится функцией как x, так и t .

Для подгонки этих уравнений к данным фиксации напряжения часто используется алгоритм Левенберга-Марквардта. [ 4 ^]

Хотя в первоначальных экспериментах рассматривались только натриевые и калиевые каналы, модель Ходжкина–Хаксли можно расширить и для учета других видов ионных каналов .

Каналы утечки

Каналы утечки учитывают естественную проницаемость мембраны для ионов и принимают форму уравнения для потенциал-зависимых каналов, где проводимость является константой. Таким образом, ток утечки из-за пассивных каналов утечки ионов в формализме Ходжкина-Хаксли равен . ${\displaystyle g_{leak}}$ ${\displaystyle I_{l}=g_{leak}(V-V_{leak})}$

Насосы и теплообменники

Мембранный потенциал зависит от поддержания градиентов концентрации ионов через него. Поддержание этих градиентов концентрации требует активного транспорта ионных видов. Наиболее известны из них натрий-калиевые и натрий-кальциевые обменники . Некоторые из основных свойств Na/Ca обменника уже хорошо известны: стехиометрия обмена составляет 3 Na ⁺ : 1 Ca ²⁺ , и обменник является электрогенным и чувствительным к напряжению. Na/K обменник также был подробно описан со стехиометрией 3 Na ⁺ : 2 K ⁺ . ^{[5] [6]}

Математические свойства

Модель Ходжкина–Хаксли можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений с четырьмя переменными состояния , и , которые изменяются со временем . Систему трудно изучать, поскольку она является нелинейной системой , не может быть решена аналитически и, следовательно, не имеет решения в замкнутой форме . Однако существует множество численных методов анализа системы. Можно доказать существование определенных свойств и общих поведений, таких как предельные циклы . ${\displaystyle V_{m}(t),n(t),m(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle t}$

Симуляция модели Ходжкина–Хаксли в фазовом пространстве в терминах напряжения v(t) и переменной калиевого затвора n(t). Замкнутая кривая известна как предельный цикл .

Центральный коллектор

Поскольку существует четыре переменных состояния, визуализация пути в фазовом пространстве может быть затруднена. Обычно выбирают две переменные, напряжение и переменную калиевого затвора , что позволяет визуализировать предельный цикл . Однако следует быть осторожным, поскольку это специальный метод визуализации 4-мерной системы. Это не доказывает существование предельного цикла. ${\displaystyle V_{m}(t)}$ ${\displaystyle n(t)}$

Лучшая проекция может быть построена из тщательного анализа якобиана системы , оцененного в точке равновесия . В частности, собственные значения якобиана указывают на существование центрального многообразия . Аналогично, собственные векторы якобиана показывают ориентацию центрального многообразия . Модель Ходжкина–Хаксли имеет два отрицательных собственных значения и два комплексных собственных значения со слегка положительными действительными частями. Собственные векторы, связанные с двумя отрицательными собственными значениями, будут уменьшаться до нуля по мере увеличения времени t . Оставшиеся два комплексных собственных вектора определяют центральное многообразие. Другими словами, 4-мерная система коллапсирует на 2-мерную плоскость. Любое решение, начинающееся с центрального многообразия, будет затухать по направлению к центральному многообразию. Более того, предельный цикл содержится на центральном многообразии.

Напряжение v ( t ) (в милливольтах) модели Ходжкина–Хаксли, построенное на графике за 50 миллисекунд. Введенный ток варьируется от −5 наноампер до 12 наноампер. График проходит через три стадии: стадию равновесия, стадию одиночного скачка и стадию предельного цикла.

Бифуркации

Если инжектируемый ток используется как параметр бифуркации , то модель Ходжкина–Хаксли претерпевает бифуркацию Хопфа . Как и в большинстве нейронных моделей, увеличение инжектируемого тока увеличит частоту срабатывания нейрона. Одним из следствий бифуркации Хопфа является то, что существует минимальная частота срабатывания. Это означает, что нейрон либо вообще не срабатывает (что соответствует нулевой частоте), либо срабатывает с минимальной частотой. Из-за принципа «все или ничего» не происходит плавного увеличения амплитуды потенциала действия , а вместо этого происходит внезапный «скачок» амплитуды. Результирующий переход известен как «утка». ${\displaystyle I}$

Улучшения и альтернативные модели

Модель Ходжкина–Хаксли считается одним из величайших достижений биофизики 20-го века. Тем не менее, современные модели типа Ходжкина–Хаксли были расширены в нескольких важных направлениях:

• На основе экспериментальных данных были включены дополнительные популяции ионных каналов.
• Модель Ходжкина–Хаксли была модифицирована для включения теории переходного состояния и создания термодинамических моделей Ходжкина–Хаксли. ^[7]
• Модели часто включают в себя очень сложную геометрию дендритов и аксонов , часто основанную на данных микроскопии.
• Модели, основанные на проводимости, подобные модели Ходжкина-Хаксли, включают знания о типах клеток, определенных с помощью транскриптомики отдельных клеток. ^[8]
• Стохастические модели поведения ионного канала, приводящие к стохастическим гибридным системам. ^[9]
• Модель Пуассона–Нернста–Планка (ПНП) ​​основана на приближении среднего поля взаимодействий ионов и континуальных описаниях концентрации и электростатического потенциала. ^[10]

Также было разработано несколько упрощенных нейронных моделей (например, модель Фицхью–Нагумо ), облегчающих эффективное крупномасштабное моделирование групп нейронов, а также математическое понимание динамики генерации потенциала действия.

Смотрите также

• Возбуждение анодного пробоя
• Автоволна
• Нейронная цепь
• Уравнение потока ГХК
• Уравнение Голдмана
• Мемристор
• Нейронная аккомодация
• Реакция-диффузия
• Тета-модель
• Карта Рулькова
• Карта Киалво

Ссылки

1. Hodgkin AL, Huxley AF (август 1952). «Количественное описание мембранного тока и его применение к проводимости и возбуждению в нерве». Журнал физиологии . 117 (4): 500–44. doi :10.1113/jphysiol.1952.sp004764. PMC  1392413. PMID  12991237 .
2. Nelson ME (2005) Электрофизиологические модели в: Базирование данных мозга: от данных к знаниям. (С. Кослоу и С. Субраманиам, ред.) Wiley, Нью-Йорк, стр. 285–301
3. Gray DJ, Wu SM (1997). Основы клеточной нейрофизиологии (3-е изд.). Кембридж, Массачусетс [ua]: MIT Press. ISBN 978-0-262-10053-3.
4. Крапивин, Владимир Ф.; Варотсос, Костас А.; Солдатов, Владимир Ю. (2015). Новые инструменты экоинформатики в науке об окружающей среде: приложения и принятие решений. Springer. стр. 37–38. ISBN 9783319139784.
5. Раковски RF, Гэдсби DC, Де Вир P (май 1989). «Стехиометрия и зависимость от напряжения натриевого насоса в зажатом напряжении, внутренне диализованном гигантском аксоне кальмара». Журнал общей физиологии . 93 (5): 903–41. doi :10.1085/jgp.93.5.903. PMC 2216238. PMID  2544655. 
6. Хилле Б. (2001). Ионные каналы возбудимых мембран (3-е изд.). Сандерленд, Массачусетс: Sinauer. ISBN 978-0-87893-321-1.
7. Форрест, Мэриленд (май 2014). «Может ли термодинамическая модель Ходжкина–Хаксли для проводимости, зависящей от напряжения, экстраполироваться на температуру?» (PDF) . Вычисления . 2 (2): 47–60. doi : 10.3390/computation2020047 .
8. Нанди, Анирбан; Шартран, Томас; Ван Гейт, Вернер; Бучин, Анатолий; Яо, Цзычжэнь; Ли, Су Ён; Вэй, Йина; Калмбах, Брайан; Ли, Брайан; Лейн, Эд; Берг, Джим; Сюмбюль, Уйгар; Кох, Кристоф; Тасич, Босилька; Анастасиу, Костас А. (2022-08-09). "Модели отдельных нейронов, связывающие электрофизиологию, морфологию и транскриптомику между типами корковых клеток". Cell Reports . 40 (6): 111176. doi : 10.1016/j.celrep.2022.111176 . ISSN  2211-1247. PMC 9793758 . PMID  35947954. S2CID  215790820. 
9. Пакдаман, К.; Тиеллен, М.; Вайнриб, Г. (2010). «Предельные теоремы жидкости для стохастических гибридных систем с приложениями к нейронным моделям». Adv. Appl. Probab . 42 (3): 761–794. arXiv : 1001.2474 . Bibcode :2010arXiv1001.2474P. doi :10.1239/aap/1282924062. S2CID  18894661.
10. Zheng, Q.; Wei, GW (май 2011). "Модель Пуассона-Больцмана-Нернста-Планка". Журнал химической физики . 134 (19): 194101. Bibcode : 2011JChPh.134s4101Z. doi : 10.1063/1.3581031. PMC 3122111. PMID  21599038 . 

Дальнейшее чтение

• Hodgkin AL, Huxley AF (апрель 1952 г.). «Токи, переносимые ионами натрия и калия через мембрану гигантского аксона Loligo». Журнал физиологии . 116 (4): 449–72. doi :10.1113/jphysiol.1952.sp004717. PMC  1392213. PMID  14946713 .
• Hodgkin AL, Huxley AF (апрель 1952 г.). «Компоненты мембранной проводимости в гигантском аксоне Loligo». Журнал физиологии . 116 (4): 473–96. doi :10.1113/jphysiol.1952.sp004718. PMC 1392209.  PMID 14946714  .
• Hodgkin AL, Huxley AF (апрель 1952 г.). «Двойной эффект мембранного потенциала на проводимость натрия в гигантском аксоне Loligo». Журнал физиологии . 116 (4): 497–506. doi :10.1113/jphysiol.1952.sp004719. PMC  1392212. PMID  14946715 .
• Hodgkin AL, Huxley AF (август 1952 г.). «Количественное описание мембранного тока и его применение к проводимости и возбуждению в нерве». Журнал физиологии . 117 (4): 500–44. doi :10.1113/jphysiol.1952.sp004764. PMC  1392413. PMID  12991237 .
• Hodgkin AL, Huxley AF, Katz B (апрель 1952 г.). «Измерение отношений тока и напряжения в мембране гигантского аксона Loligo». Журнал физиологии . 116 (4): 424–48. doi :10.1113/jphysiol.1952.sp004716. PMC  1392219. PMID  14946712 .

Внешние ссылки

• Интерактивная симуляция Javascript модели HH. Работает в любом браузере с поддержкой HTML5. Позволяет изменять параметры модели и текущей инъекции.
• Интерактивный Java-апплет модели HH. Параметры модели могут быть изменены, также как и параметры возбуждения и возможно построение графиков фазового пространства всех переменных.
• Прямая ссылка на модель Ходжкина–Хаксли и описание в базе данных BioModels
• Нейронные импульсы: потенциал действия в действии Гаррета Неске, проект Wolfram Demonstrations
• Интерактивная модель Ходжкина–Хаксли от Шимона Марома, The Wolfram Demonstrations Project
• ModelDB База данных исходного кода вычислительной нейронауки, содержащая 4 версии (в разных симуляторах) оригинальной модели Ходжкина–Хаксли и сотни моделей, которые применяют модель Ходжкина–Хаксли к другим каналам во многих типах электрически возбудимых клеток.
• Несколько статей о стохастической версии модели и ее связи с оригинальной.