Модель Бьянкони–Барабаши

Конденсат Бозе–Эйнштейна: концепция пригодности модели Бьянкони–Барабаши может быть использована для объяснения конденсата Бозе–Эйнштейна . Здесь пики показывают, что по мере понижения температуры все больше и больше атомов конденсируются на одном и том же энергетическом уровне. При более низкой температуре, когда «приспособленность» выше, эта модель предсказывает, что больше атомов будут связаны с одним и тем же энергетическим уровнем.

Модель Бьянкони–Барабаши — это модель в сетевой науке , которая объясняет рост сложных развивающихся сетей. Эта модель может объяснить, что узлы с разными характеристиками приобретают связи с разной скоростью. Она предсказывает, что рост узла зависит от его приспособленности, и может рассчитать распределение степеней. Модель Бьянкони–Барабаши ^{[1] [2]} названа в честь ее изобретателей Джинестры Бьянкони и Альберта-Ласло Барабаши . Эта модель является вариантом модели Барабаши–Альберта . Модель может быть отображена на газ Бозе, и это отображение может предсказать топологический фазовый переход между фазой «богатый становится еще богаче» и фазой «победитель получает все». ^[2]

Концепции

Модель Барабаши–Альберта (BA) использует две концепции: рост и предпочтительное присоединение . Здесь рост указывает на увеличение числа узлов в сети со временем, а предпочтительное присоединение означает, что больше связанных узлов получают больше связей. Модель Бьянкони–Барабаши ^[1] поверх этих двух концепций использует еще одну новую концепцию, называемую приспособленностью. Эта модель использует аналогию с эволюционными моделями. Она присваивает каждому узлу внутреннее значение приспособленности, которое воплощает все свойства, кроме степени. ^[3] Чем выше приспособленность, тем выше вероятность привлечения новых ребер. Приспособленность можно определить как способность привлекать новые связи – «количественная мера способности узла оставаться впереди конкурентов». ^[4]

В то время как модель Барабаши–Альберта (BA) объясняет феномен «преимущества первопроходца», модель Бьянкони–Барабаши объясняет, как опоздавшие также могут победить. В сети, где приспособленность является атрибутом, узел с более высокой приспособленностью будет приобретать связи с большей скоростью, чем менее приспособленные узлы. Эта модель объясняет, что возраст не является лучшим предиктором успеха узла, скорее опоздавшие также имеют шанс привлечь связи, чтобы стать хабом.

Модель Бьянкони–Барабаши может воспроизводить корреляции степеней автономных систем Интернета. ^[5] Эта модель также может показывать переходы фаз конденсации в эволюции сложной сети. ^{[6] [2]} Модель BB может предсказывать топологические свойства Интернета. ^[7]

Алгоритм

Фитнес-сеть начинается с фиксированного числа взаимосвязанных узлов. Они имеют различную фитнес-способность, которая может быть описана параметром фитнес-способности, который выбирается из распределения фитнес-способности  . ${\displaystyle \eta _{j}}$ ${\displaystyle \rho (\eta )}$

Рост

Здесь предполагается, что пригодность узла не зависит от времени и фиксирована. Новый узел j с m связями и пригодностью добавляется с каждым временным шагом. ${\displaystyle \eta _{j}}$

Преимущественное присоединение

Вероятность того, что новый узел подключится к одной из существующих связей с узлом в сети, зависит от количества ребер, и от приспособленности узла , таким образом, что, ${\displaystyle \Pi _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle \eta _{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \Pi _{i}={\frac {\eta _{i}k_{i}}{\sum _{j}\eta _{j}k_{j}}}.}$

Эволюцию каждого узла со временем можно предсказать с помощью теории континуума. Если начальное число узлов равно , то степень узла изменяется со скоростью: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\frac {\partial k_{i}}{\partial t}}=m{\frac {\eta _{i}k_{i}}{\sum _{j}\eta _{j}k_{j}}}}$

Предполагая, что эволюция следует степенному закону с показателем приспособленности ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle \beta (\eta _{i})}$

${\displaystyle k(t,t_{i},\eta _{i})=m\left({\frac {t}{t_{i}}}\right)^{\beta (\eta _{i})}}$,

где - время с момента создания узла . ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Здесь, ${\displaystyle \beta (\eta )={\frac {\eta }{C}}{\text{ and }}C=\int \rho (\eta ){\frac {\eta }{1-\beta (\eta )}}\,d\eta .}$

Характеристики

Равные возможности

Если все приспособленности в сети приспособленности равны, модель Бьянкони–Барабаши сводится к модели Барабаши–Альберта ; если степень не учитывается, модель сводится к модели приспособленности (теория сетей) .

Когда приспособленности равны, вероятность того, что новый узел соединен с узлом, когда есть степень узла, равна, ${\displaystyle \Pi _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \Pi _{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}}.}$

Распределение степеней

Распределение степеней модели Бьянкони–Барабаши зависит от распределения приспособленности . Существует два сценария, которые могут произойти на основе распределения вероятностей. Если распределение приспособленности имеет конечную область, то распределение степеней будет иметь степенной закон, как и модель BA. Во втором случае, если распределение приспособленности имеет бесконечную область, то узел с наивысшим значением приспособленности привлечет большое количество узлов и покажет сценарий «победители забирают все». ^[8] ${\displaystyle \rho (\eta )}$

Измерение приспособленности узлов на основе эмпирических сетевых данных

Существуют различные статистические методы измерения приспособленности узлов в модели Бьянкони–Барабаши на основе данных реальной сети. ^{[9] [10]} Из измерений можно исследовать распределение приспособленности или сравнить модель Бьянкони–Барабаши с различными конкурирующими сетевыми моделями в этой конкретной сети. ^[10] ${\displaystyle \eta _{i}}$ ${\displaystyle \rho (\eta )}$

Вариации модели Бьянкони – Барабаши.

Модель Бьянкони–Барабаши была расширена до взвешенных сетей ^[11], демонстрирующих линейное и сверхлинейное масштабирование силы в зависимости от степени узлов, как это наблюдается в реальных сетевых данных. ^[12] Эта взвешенная модель может привести к конденсации весов сети, когда несколько связей приобретают конечную долю веса всей сети. ^[11] Недавно было показано, что модель Бьянкони–Барабаши можно интерпретировать как предельный случай модели для возникающей гиперболической геометрии сети ^[13], называемой сетевой геометрией со вкусом. ^[14] Модель Бьянкони–Барабаши также можно модифицировать для изучения статических сетей, где число узлов фиксировано. ^[15]

Конденсация Бозе-Эйнштейна

Конденсация Бозе-Эйнштейна в сетях — это фазовый переход, наблюдаемый в сложных сетях , который можно описать моделью Бьянкони-Барабаши. ^[1] Этот фазовый переход предсказывает явление «победитель получает все» в сложных сетях и может быть математически сопоставлен с математической моделью, объясняющей конденсацию Бозе-Эйнштейна в физике.

Фон

В физике конденсат Бозе -Эйнштейна — это состояние материи, которое возникает в некоторых газах при очень низких температурах. Любая элементарная частица, атом или молекула может быть отнесена к одному из двух типов: бозон или фермион . Например, электрон является фермионом, в то время как фотон или атом гелия являются бозоном. В квантовой механике энергия (связанной) частицы ограничена набором дискретных значений, называемых уровнями энергии. Важной характеристикой фермиона является то, что он подчиняется принципу исключения Паули , который гласит, что никакие два фермиона не могут занимать одно и то же состояние. Бозоны, с другой стороны, не подчиняются принципу исключения, и любое их количество может существовать в одном и том же состоянии. В результате при очень низких энергиях (или температурах) подавляющее большинство бозонов в бозе-газе может быть сосредоточено в состоянии с самой низкой энергией, создавая конденсат Бозе-Эйнштейна.

Бозе и Эйнштейн установили, что статистические свойства бозе-газа определяются статистикой Бозе–Эйнштейна . В статистике Бозе–Эйнштейна любое количество одинаковых бозонов может находиться в одном и том же состоянии. В частности, при заданном энергетическом состоянии ε количество невзаимодействующих бозонов в тепловом равновесии при температуре T = ⁠1/β⁠ задается числом заселения Бозе

${\displaystyle n(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}}$

где константа μ определяется уравнением, описывающим сохранение числа частиц

${\displaystyle N=\int d\varepsilon \,g(\varepsilon )\,n(\varepsilon )}$

где g ( ε ) — плотность состояний системы.

Последнее уравнение может не иметь решения при достаточно низких температурах, когда g ( ε ) → 0 для ε → 0. В этом случае находится критическая температура T _{c ,} такая, что при T < T _c система находится в конденсированной фазе Бозе-Эйнштейна, а конечная доля бозонов находится в основном состоянии.

Плотность состояний g ( ε ) зависит от размерности пространства. В частности, поэтому g ( ε ) → 0 при ε → 0 только в размерностях d > 2. Следовательно, конденсация Бозе-Эйнштейна идеального бозе-газа может иметь место только для размерностей d > 2 . ${\displaystyle g(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{\frac {d-2}{2}}}$

Концепция

Эволюция многих сложных систем, включая Всемирную паутину, бизнес и сети цитирования, закодирована в динамической сети, описывающей взаимодействия между составляющими системы. Эволюция этих сетей описывается моделью Бьянкони-Барабаши, которая включает две основные характеристики растущих сетей: их постоянный рост за счет добавления новых узлов и связей и гетерогенную способность каждого узла приобретать новые связи, описываемые пригодностью узла. Поэтому модель также известна как модель пригодности . Несмотря на свою необратимую и неравновесную природу, эти сети следуют статистике Бозе и могут быть отображены в бозе-газ. В этом отображении каждый узел отображается в энергетическое состояние, определяемое его пригодностью, а каждая новая связь, прикрепленная к данному узлу, отображается в бозе-частицу, занимающую соответствующее энергетическое состояние. Это отображение предсказывает, что модель Бьянкони-Барабаши может претерпевать топологический фазовый переход в соответствии с конденсацией Бозе-Эйнштейна бозе-газа. Этот фазовый переход поэтому называется конденсацией Бозе-Эйнштейна в сложных сетях. Следовательно, рассмотрение динамических свойств этих неравновесных систем в рамках равновесных квантовых газов предсказывает, что явления «преимущество первого хода», «соответствие-богатство ( FGR )» и «победитель получает все», наблюдаемые в конкурентных системах, являются термодинамически различными фазами базовых эволюционирующих сетей. ^[2]

Схематическая иллюстрация сопоставления сетевой модели и бозе-газа. ^[2]

Математическое отображение эволюции сети на газ Бозе

Начиная с модели Бьянкони-Барабаши, отображение бозе-газа в сеть можно выполнить, присвоив каждому узлу энергию ε _i , определяемую его пригодностью через соотношение ^{[2] [16]}

${\displaystyle \varepsilon _{i}=-{\frac {1}{\beta }}\ln {\eta _{i}}}$

где β = 1 / T . В частности, когда β = 0 все узлы имеют одинаковую пригодность, когда вместо этого β ≫ 1 узлы с разной «энергией» имеют очень разную пригодность. Мы предполагаем, что сеть развивается посредством модифицированного механизма предпочтительного присоединения . В каждый момент времени новый узел i с энергией ε _{i ,} взятый из распределения вероятностей p ( ε ), входит в сеть и прикрепляет новую ссылку к узлу j , выбранному с вероятностью:

${\displaystyle \Pi _{j}={\frac {e^{-\beta \varepsilon _{j}}k_{j}}{\sum _{r}e^{-\beta \varepsilon _{r}}k_{r}}}.}$

При отображении на бозе-газ мы назначаем каждой новой связи, связанной преимущественным присоединением к узлу j, частицу в энергетическом состоянии ε _j .

Теория континуума предсказывает, что скорость, с которой связи накапливаются в узле i с «энергией» ε _i, определяется выражением

${\displaystyle {\frac {\partial k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})}{\partial t}}=m{\frac {e^{-\beta \varepsilon _{i}}k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})}{Z_{t}}}}$

где указывает количество связей, присоединенных к узлу i , который был добавлен в сеть на временном шаге . — это функция разделения , определяемая как: ${\displaystyle k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle Z_{t}}$

${\displaystyle Z_{t}=\sum _{i}e^{-\beta \varepsilon _{i}}k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i}).}$

Решение этого дифференциального уравнения:

${\displaystyle k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})=m\left({\frac {t}{t_{i}}}\right)^{f(\varepsilon _{i})}}$

где динамический показатель удовлетворяет , μ играет роль химического потенциала, удовлетворяя уравнению ${\displaystyle f(\varepsilon )}$ ${\displaystyle f(\varepsilon )=e^{-\beta (\varepsilon -\mu )}}$

${\displaystyle \int d\varepsilon \,p(\varepsilon ){\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}=1}$

где p ( ε ) — вероятность того, что узел имеет «энергию» ε и «приспособленность» η = e ^−βε . В пределе, t → ∞ , число занятости, дающее число связей, связанных с узлами с «энергией» ε , следует известной статистике Бозе

${\displaystyle n(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}.}$

Определение константы μ в сетевых моделях удивительно похоже на определение химического потенциала в бозе-газе. В частности, для вероятностей p ( ε ) таких, что p ( ε ) → 0 для ε → 0 при достаточно высоком значении β мы имеем фазовый переход конденсации в сетевой модели. Когда это происходит, один узел, имеющий более высокую приспособленность, приобретает конечную долю всех связей. Конденсация Бозе–Эйнштейна в сложных сетях, таким образом, является топологическим фазовым переходом, после которого сеть имеет звездообразную доминирующую структуру.

Фазовый переход Бозе-Эйнштейна в сложных сетях

Численные доказательства конденсации Бозе-Эйнштейна в сетевой модели. ^[2]

Отображение бозе-газа предсказывает существование двух различных фаз в зависимости от распределения энергии. В фазе fit-get-rich, описывающей случай равномерной приспособленности, более приспособленные узлы приобретают ребра с большей скоростью, чем более старые, но менее приспособленные узлы. В конце концов, наиболее приспособленный узел будет иметь больше всего ребер, но наиболее богатый узел не является абсолютным победителем, поскольку его доля ребер (т. е. отношение его ребер к общему числу ребер в системе) уменьшается до нуля в пределе больших размеров системы (рис. 2(b)). Неожиданным результатом этого отображения является возможность конденсации Бозе–Эйнштейна при T < T _BE , когда наиболее приспособленный узел приобретает конечную долю ребер и сохраняет эту долю ребер с течением времени (рис. 2(c)).

Репрезентативное распределение приспособленности , приводящее к конденсации, определяется выражением ${\displaystyle \rho (\eta )}$

${\displaystyle \rho (\eta )=(\lambda +1)(1-\eta )^{\lambda },}$

где . ${\displaystyle \lambda =1}$

Однако существование конденсации Бозе-Эйнштейна или фазы fit-get-rich не зависит от температуры или β системы, а зависит только от функциональной формы распределения пригодности системы. В конце концов, β выпадает из всех топологически важных величин. Фактически, можно показать, что конденсация Бозе-Эйнштейна существует в модели пригодности даже без отображения на бозе-газ. ^[17] Подобное гелеобразование можно увидеть в моделях со сверхлинейным преимущественным присоединением , ^[18] однако, неясно, является ли это случайностью или между этим и моделью пригодности лежит более глубокая связь. ${\displaystyle \rho (\eta )}$

Смотрите также

• Модель Барабаши–Альберта

Ссылки

1. Bianconi, Ginestra; Barabási, Albert-László (2001). «Конкуренция и мультимасштабирование в развивающихся сетях». Europhysics Letters . 54 (4): 436–442. arXiv : cond-mat/0011029 . Bibcode : 2001EL.....54..436B. doi : 10.1209/epl/i2001-00260-6. S2CID  250871164.
2. Bianconi, Ginestra; Barabási, Albert-László (2001). «Бозе-Эйнштейновская конденсация в сложных сетях». Physical Review Letters . 86 (24): 5632–5635. arXiv : cond-mat/0011224 . Bibcode :2001PhRvL..86.5632B. doi :10.1103/physrevlett.86.5632. PMID  11415319. S2CID  18375451.
3. Пастор-Саторрас, Ромуальдо; Веспиньяни, Алессандро (2007). Эволюция и структура Интернета: статистический физический подход (1-е изд.). Cambridge University Press. стр. 100.
4. Барабаси, Альберт-Ласло (2002). Связано: Новая наука о сетях . Книжная группа «Персей». п. 95.
5. Васкес, Алексей; Пастор-Саторрас, Ромуальдо; Веспиньяни., Алессандро (2002). "Крупномасштабные топологические и динамические свойства Интернета". Physical Review E. 65 ( 6): 066130. arXiv : cond-mat/0112400 . Bibcode : 2002PhRvE..65f6130V. doi : 10.1103/physreve.65.066130. PMID  12188806. S2CID  9944774.
6. Су, Гуйфэн; Сяобин, Чжан; Чжан, И (2012). «Фазовый переход конденсации в нелинейных сетях фитнеса». EPL . 100 (3): 38003. arXiv : 1103.3196 . Bibcode :2012EL....10038003S. doi :10.1209/0295-5075/100/38003. S2CID  14821593.
7. Кальдарелли, Гвидо; Катандзаро, Микеле (2012). Сети: очень краткое введение . Издательство Оксфордского университета. п. 78.
8. Гуаньжун, Чэнь; Сяофань, Ван; Сян, Ли (2014). Основы сложных сетей: модели, структуры и динамика . стр. 126.
9. Конг, Джозеф С.; Саршар, Нима; Ройчоудхури, Ввани П. (16.09.2008). «Опыт против таланта формирует структуру Сети». Труды Национальной академии наук . 105 (37): 13724–13729. arXiv : 0901.0296 . Bibcode : 2008PNAS..10513724K. doi : 10.1073/pnas.0805921105 . ISSN  0027-8424. PMC 2544521. PMID 18779560  . 
10. Pham, Thong; Sheridan, Paul; Shimodaira, Hidetoshi (2016-09-07). "Совместная оценка предпочтительного прикрепления и приспособленности узлов в растущих сложных сетях". Scientific Reports . 6 (1): 32558. Bibcode :2016NatSR...632558P. doi :10.1038/srep32558. ISSN  2045-2322. PMC 5013469 . PMID  27601314. 
11. Bianconi, Ginestra (2005). "Возникновение корреляций веса и топологии в сложных безмасштабных сетях". Europhysics Letters . 71 (6): 1029–1035. arXiv : cond-mat/0412399 . Bibcode : 2005EL.....71.1029B. doi : 10.1209/epl/i2005-10167-2. S2CID  119038738.
12. Баррат, Алан; Бартелеми, Марк; Вепсиньяни, Алессандро (2004). «Архитектура сложных взвешенных сетей». Труды Национальной академии наук . 101 (11): 3747–3752. arXiv : cond-mat/0311416 . Bibcode : 2004PNAS..101.3747B. doi : 10.1073/pnas.0400087101 . PMC 374315. PMID  15007165 . 
13. Бьянкони, Джинестра; Рахмед, Кристоф (2017). «Возникающая гиперболическая сетевая геометрия». Scientific Reports . 7 : 41974. arXiv : 1607.05710 . Bibcode : 2017NatSR...741974B. doi : 10.1038/srep41974 . PMC 5294422 . PMID  28167818. 
14. Бьянкони, Джинестра; Рахмед, Кристоф (2016). «Сетевая геометрия со вкусом: от сложности к квантовой геометрии». Physical Review E. 93 ( 3): 032315. arXiv : 1511.04539 . Bibcode : 2016PhRvE..93c2315B. doi : 10.1103/PhysRevE.93.032315. PMID  27078374. S2CID  13056697.
15. Кальдарелли, Гвидо; Катандзаро, Микеле (2012). Сети: очень краткое введение . Издательство Оксфордского университета. п. 77.
16. Альберт, Река; Барабаши, Альберт-Ласло (30 января 2002 г.). «Статистическая механика сложных сетей». Обзоры современной физики . 74 (1): 47–97. arXiv : cond-mat/0106096 . Бибкод : 2002РвМП...74...47А. doi : 10.1103/revmodphys.74.47. ISSN  0034-6861. S2CID  60545.
17. Дороговцев, SN; Мендес, JFF (2001-04-26). "Масштабные свойства масштабно-свободных эволюционирующих сетей: непрерывный подход". Physical Review E. 63 ( 5): 056125. arXiv : cond-mat/0012009 . Bibcode : 2001PhRvE..63e6125D. doi : 10.1103/physreve.63.056125. ISSN  1063-651X. PMID  11414979. S2CID  11295775.
18. Крапивский, ПЛ; Реднер, С.; Лейвраз, Ф. (2000-11-20). «Связность растущих случайных сетей». Physical Review Letters . 85 (21). Американское физическое общество (APS): 4629–4632. arXiv : cond-mat/0005139 . Bibcode : 2000PhRvL..85.4629K. doi : 10.1103/physrevlett.85.4629. ISSN  0031-9007. PMID  11082613. S2CID  16251662.

Внешние ссылки

• Сети: очень краткое введение
• Расширенная сетевая динамика